軌跡方程求法

1、軌跡方程的求解策略一、 直接法直接法也可稱為五步法：按求動點軌跡方程的一般步驟求，其過程是建系設點，列出幾何等式，坐標代換，化簡整理，主要用于動點具有的幾何條件比較明顯時例1（2013年陜西卷（文）已知動點m(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點n(1,0)的距離的2倍. 求動點m的軌跡c的方程; 解: 設點m(x,y)，以為點m到直線x=4的距離,是到點n(1,0)的距離的2倍,則 . 所以,動點m的軌跡為橢圓,方程為： 二、幾何法幾何法就是根據(jù)某些圖形的幾何特征或者關系，找到所求動點滿足的幾何等式，進一步使用五步法得到動點軌跡的方法例2. （2013年陜西卷）已知動圓過定點a(4,0

2、), 且在y軸上截得的弦mn的長為8. () 求動圓圓心的軌跡c的方程; () 已知點b(-1,0), 設不垂直于x軸的直線與軌跡c交于不同的兩點p, q, 若x軸是的角平分線, 證明直線過定點. 解:() a(4,0),設圓心，mn的中點為e，由幾何圖像知：，,即：，整理得：() 點b(-1,0), . 直線pq方程為: 所以,直線pq過定點(1,0) 三、代入法（相關點法）若動點m（x，y）依賴已知曲線上的動點n而運動，則可將轉(zhuǎn)化后的動點n的坐標入已知曲線的方程或滿足的幾何條件，從而求得動點m的軌跡方程，此法稱為代入法，一般用于兩個或兩個以上動點的情況例3（2013年上海春招）已知拋物線

3、的焦點為.(1)點滿足.當點在拋物線上運動時,求動點的軌跡方程;(2)在軸上是否存在點,使得點關于直線的對稱點在拋物線上?如果存在,求所有滿足條件的點的坐標;如果不存在,請說明理由.解：(1)設動點的坐標為,點的坐標為,則, 因為的坐標為,所以, 由得：. 即 解得 代入,得到動點的軌跡方程為. (2)設點的坐標為.點關于直線的對稱點為, 則 解得 若在上,將的坐標代入,得,即或. 所以存在滿足題意的點,其坐標為和. 四、定義法若動點運動的規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程比如：圓的定義，橢圓的定義，雙曲線的定義等。例4.（2013年新課標1）已知圓,圓，動圓與圓

4、外切并且與圓內(nèi)切,圓心的軌跡為曲線.求曲線的方程;解:由已知得圓m的圓心為m(-1,0),半徑;圓n的圓心為n(1,0),半徑. 設知p的圓心為p(x,y),半徑為r. 因為圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切,所以 . 由橢圓的定義可知,曲線c是以m,n為左.右焦點,長半軸長為2,短半軸長為的橢圓(左定點除外),其方程為. 五、參數(shù)法若動點p（x，y）的坐標x與y之間的關系不易直接找到，而動點變化受到另一變量（角度、斜率、比值、截距或時間等）的制約，則可求出x、y關于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程選定參變量還要特別注意它的取值范圍對動點坐標取值范圍的影響.例5設橢圓中心為原點o，一個焦點為f（0

5、，1），長軸和短軸的長度之比為t（a）求橢圓的方程；（2）設經(jīng)過原點且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點為q，點p在該直線上，且，當t變化時，求點p的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形解：（1）設所求橢圓方程為由題意得解得 ，所以橢圓方程為(2)設點解方程組得由和得其中t1消去t，得點p軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分六、交軌法一般用于求二動曲線交點的軌跡方程其過程是選出一個適當?shù)膮?shù)，求出二動曲線的方程或動點坐標適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動點軌跡的方程例6已知兩點以及一條直線：y=x，設長為的線段ab在直線上移動，求直線pa和qb交點m的軌跡方程解：