迭代法解非線性方程ppt課件

1、求解非線性方程求解非線性方程的迭代法的迭代法數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件一、迭代法原理一、迭代法原理 二、弦截法二、弦截法 三、牛頓法三、牛頓法四、小結(jié)四、小結(jié)目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法一、迭代法原理一、迭代法原理 1. 迭代法的思想迭代法的思想 迭代法是數(shù)值計算中的一類典型方法，不僅用于方程求根，而且迭代法是數(shù)值計算中的一類典型方法，不僅用于方程求根，而且可用于方程組求解，矩陣求特征值等許多問題。可用于方程組求解，矩陣求特征值等許多問題。 迭代法的基本思想是一種逐次逼近的方法。首先取一個粗糙的近似迭代法的基本思想是一種逐次逼近的方法。首先取一個粗

2、糙的近似值，然后用同一個遞推公式，反復(fù)校正這個初值，直到滿足給定的精度值，然后用同一個遞推公式，反復(fù)校正這個初值，直到滿足給定的精度為止。迭代法的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推公式。為止。迭代法的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推公式。目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法u 構(gòu)造構(gòu)造 f (x) = 0 的一個等價方程：的一個等價方程： ( )xx u 從某個近似根從某個近似根 x0 出發(fā)，計算出發(fā)，計算得到一個迭代序列得到一個迭代序列 0kkx 1()kkxx k = 0, 1, 2, . . (x) 的不動點的不動點f (x) = 0 x = (x)等價變換等價變換f (x

3、) 的零點的零點當(dāng)?shù)蛄惺諗繒r，稱迭代公式收斂或迭代收斂，否則稱迭代發(fā)散。當(dāng)?shù)蛄惺諗繒r，稱迭代公式收斂或迭代收斂，否則稱迭代發(fā)散。這種求非線性方程根的方法稱為迭代法。這種求非線性方程根的方法稱為迭代法。 迭代迭代公式公式迭迭代代函函數(shù)數(shù)目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法 2. 迭代法的收斂性迭代法的收斂性關(guān)于迭代法的收斂性與迭代函數(shù)之間的關(guān)系，我們不加證明地給出如下幾關(guān)于迭代法的收斂性與迭代函數(shù)之間的關(guān)系，我們不加證明地給出如下幾個定理。個定理。目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法 2. 迭

4、代法的收斂性迭代法的收斂性目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法定理定理1的兩個條件有時較難驗證也較難滿足，這時常用的是局部收斂條件。的兩個條件有時較難驗證也較難滿足，這時常用的是局部收斂條件。所謂局部收斂，指的是迭代公式在所謂局部收斂，指的是迭代公式在x*的某個鄰域是收斂的。的某個鄰域是收斂的。關(guān)于局部收斂有如下的定理。關(guān)于局部收斂有如下的定理。 目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法 3.迭代法的局部收斂性迭代法的局部收斂性目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程

5、的迭代法4.收斂的階收斂的階為了進一步研究收斂速度問題，引入階的概念：為了進一步研究收斂速度問題，引入階的概念： 特別地特別地,1階收斂稱為線性收斂，階收斂稱為線性收斂，2階收斂稱為平方收斂；階收斂稱為平方收斂；若若p=1,c=0時，通常稱為超線性收斂時，通常稱為超線性收斂.顯然，顯然，p越大收斂越快。越大收斂越快。 目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法4.收斂的階收斂的階定理定理3可以利用泰勒展開式加以證明可以利用泰勒展開式加以證明目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法二、弦截法二、弦截法 1. 弦

6、截法的算法過程弦截法的算法過程(1)過兩點過兩點(a,f (a),(b,f (b)作一直線作一直線,它與它與x軸有一個交點軸有一個交點,記為記為x1;(2)如果如果f (a)f (x1)0,過兩點過兩點(a,f (a),(x1,f (x1 )作一直線作一直線,它與它與x軸的交點軸的交點記為記為x2, 否則過兩點否則過兩點(b,f (b),(x1,f (x1 )作一直線作一直線,它與它與x軸的交點記為軸的交點記為x2；(3)如此下去如此下去,直到直到|xn- -xn- -1|e e , 就可認為就可認為xn為為 f (x)=0在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一上的一個根。個根。目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回

7、返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法2. 弦截法的迭代公式弦截法的迭代公式 0)()(),()()(0)()(),()()(),()()(111kkkkkkkkxfafbfbfxfbxbxxfafafafxfaxaxafafbfabax目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法 3.弦截法的弦截法的Matlab編程實現(xiàn)編程實現(xiàn)function root=chord_cut(f,a,b,e)%弦截法求函數(shù)弦截法求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個零點上的一個零點%f函數(shù)名函數(shù)名,a區(qū)間左端點區(qū)間左端點,b區(qū)間右端點區(qū)間右端點,e根的精度

8、根的精度,root函數(shù)的零點函數(shù)的零點function root,n=chord_cut2(f,a,b,e)%弦截法求函數(shù)弦截法求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個零點上的一個零點%f函數(shù)名函數(shù)名,a區(qū)間左端點區(qū)間左端點,b區(qū)間右端點區(qū)間右端點,e根的精度根的精度,root函數(shù)的零點函數(shù)的零點,n迭代次數(shù)迭代次數(shù)目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法三、牛頓法三、牛頓法 1. 牛頓法的基本思想牛頓法的基本思想用線性方程來近似非線性方程，即采用線性化方法，用線性方程來近

9、似非線性方程，即采用線性化方法，對于非線性方程對于非線性方程 f (x)=0 ,將將 f (x) 在在 xk 處作處作 Taylor 展開展開,去掉高去掉高階項后得階項后得)()()(kkkxxxfxfxf 如果如果f(xk)0,用用xk+1代替代替x,由由f(x)=0可得下列迭代公式可得下列迭代公式, 2 , 1,)( )(1 kxfxfxxkkkk目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法2. 牛頓迭代公式牛頓迭代公式 , 2 , 1,)( )(1 kxfxfxxkkkk稱上式為方程稱上式為方程f(x)=0的牛頓迭代公式的牛頓迭代公式, 簡稱牛頓法

10、。簡稱牛頓法。牛頓法具有明顯的幾何意義，牛頓法具有明顯的幾何意義， )( )(kkkxxxfxfy 是曲線在點是曲線在點(xk, f(xk)處的切線方程。處的切線方程。xk+1就是切線與就是切線與x軸交點的橫坐標(biāo)，軸交點的橫坐標(biāo)，所以牛頓法就是用切線與所以牛頓法就是用切線與x軸交點的橫坐標(biāo)近似代替曲線與軸交點的橫坐標(biāo)近似代替曲線與x軸交點軸交點的橫坐標(biāo)。的橫坐標(biāo)。因此牛頓法也稱切線法。因此牛頓法也稱切線法。 目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法xy)(xfy )(,(kkxfx*xkx1 kx目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程

11、的迭代法求解非線性方程的迭代法3. 牛頓法的收斂速度牛頓法的收斂速度,)( )()(xfxfxx 經(jīng)計算得經(jīng)計算得 *)( *)(*)(,*)( (*)(*)(*)( 2xfxfxxfxfxfx 因此因此,若若x*是是f(x)=0的單根的單根,則牛頓法是至少則牛頓法是至少2階收斂的；階收斂的；進一步分析還可以發(fā)現(xiàn)進一步分析還可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)當(dāng)x*是是f(x)=0的重根時的重根時,牛頓法只是牛頓法只是1階收斂階收斂的，的，并且重數(shù)越高，收斂越慢。并且重數(shù)越高，收斂越慢。 牛頓法的迭代牛頓法的迭代函數(shù)函數(shù)目錄目錄上頁上頁下頁下頁返回返回結(jié)束結(jié)束求解非線性方程的迭代法求解非線性方程的迭代法4. 牛頓法的編程實現(xiàn)牛頓法的編程實現(xiàn)function root=newton1(f,a,b,e)%牛頓法求函數(shù)牛頓法求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個零點上的一個零點 %f函數(shù)名函數(shù)名,a區(qū)間左端點區(qū)間左端點,b區(qū)間右端點區(qū)間右端點,e根的精度根的精度,root函數(shù)的零點函數(shù)的零點function root,n=newton2(f,a,b,e)%牛頓法求函數(shù)牛頓法求函數(shù)f在區(qū)間在區(qū)間a,b上的一個零點上的一個零點 %f函數(shù)名函數(shù)名,a區(qū)間左端點區(qū)間左端點,b區(qū)間右端點區(qū)間右端點,e根的精度根的精度,root函數(shù)