《微積分II》(層次)學期期中練習題

1、微積分II(第一層次)第二學期期中練習題一1/ 4x y -1z + 11. 求直線繞 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面的方程2 1 22 2z = xy2. 求曲線22在點(1，-1，2 )處的切線方程x + y =2xF2Z3. 設(shè)由F(y -x, z) =0確定z = z(x, y), F C，求.x .y4. 求函數(shù)u =x exsin(y-z)在點(1 , 1 , 1)處沿l =(1,2,-2)的方向?qū)?shù)5. 已知u =xy-z2，求u在點M (-9,12,10)梯度grad u(M ).6. 求曲面z仝仝y的切平面，使其通過直線.1 1 237. 證明曲面xyz = a(a 0)上任何一點處的

2、切平面與坐標面所圍成的四面體的體積等于個常數(shù).8. 求函數(shù)x2xy 2y x 3y 3的極值.- 2 2 -9. 設(shè)二為由Z二Xy,z=2所圍曲面，求3的內(nèi)接長方體體積的最大值.10. 求Usin(yx) dxdy, D : x + y = ，x =0, y = 0所圍區(qū)域x2y2z2x2y2z213.計算三重積分III(1- 22)dxdydz,其中門為橢球體： 1.abcabc14. 求曲環(huán)面：x = (b a cos- )cos:, y = (b a cos- )sin ,z=asin-(0：aFb)所界的物體體積15.計算(x2y2z2)dS，其中 C 為螺旋線：x=acost, y=

3、asin t,z =bt(0 _t _ 2 二)的部分16.計算曲線積分.：(y)ex-mydx (y)ex-mdy，式中(y)與(V)為連續(xù)函AnB數(shù)，AmB為連接點A(X1,yJ和B(X2,y2)的任意逐段光滑曲線，但與線段AB圍成的面積為A 的平面區(qū)域D = AmB.2/ 4D211. 求i i(x2y2)dxdy, D : x2y2- 2x, x2y2 4x.D12.計算.xd二，其中 D 為第一象限內(nèi)x2y1與x軸，V軸所圍的閉區(qū)域.D微積分II(第一層次)第二學期期中練習題一3/ 4微積分II(第一層次)第二學期期中練習題二X Z(1)X :z:z2. 設(shè)由F (, )= 0確定z

4、 - z(x, y), F C，求 -y yycy3. 求函數(shù)u二xy2z3在點(1 , 2, -1 )處沿I = 2i - j 2k的方向?qū)?shù)2 2 24. 求橢球面x 2 y 3z =21上某點處的切平面二的方程，使平 面二過已知直 線x 6y-3 2z-1L:2 1 -22 2 2xyz5.求橢球面+lr+ =1的切平面(x, y, z蘭0)，使其與三個坐標平面所圍的立體的abc體積最小，并求最小值.26. 求曲面z -xy =1上到原點最近的點.7. 求II、. x2y2dxdy, D :x2y2乞2y.D8. 設(shè)函數(shù)f (x)連續(xù)，滿足f (t) = 2亠11f(、.x2y2)dxd

5、y，這里 D 為x2yt2，求Df(x).21. dl，其中丨的參數(shù)方程是：x=3cost,y=3sin t, z =3t (0 _ t _ 2二).2.(exsiny+8y)dx (excosy7x)dy,其中】為由點A(2,0)沿(x-4)2y2=9到點B(6,0)的一段12.計算曲面積分(2X10 分=20 分).2 2 2 2 2 21.X2+y2求以72y為準線，以(2,0,0)為頂點的錐面的直角坐標方程1t t70dxxsin(xy)dy10.計算三重積分II.I.JXy2z2dxdydz，其中 門 是球體x2y2z2z.9.求11.計算曲線積分4/ 41.求Ii._(x y z

6、)dS，其中二為x y - z = 2z (1乞z乞2).微積分II(第一層次)第二學期期中練習題一5/ 4X 1 y z 11.求直線L :在平面二：x_y2z_1=0上的投影直線L0的方程，并求1 1-1繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程 2函數(shù)z二f(x, y)由方程x2(yz) -4, x2y2z2= 0 確定，求z在點P(-2,2,1)處的全微分dz.3.設(shè)函數(shù)z =z(x, y)由方程F(x z, y z) = 0所確定，其中F可微，計算并化簡y x.:z.:zx y.x4.求函數(shù)z = x2 y3- 2xy - y的極值.2 2 25.已知u =x 2y 3z 3x-2y，求u在點M

7、(1,1,2)的梯度gradu(M).26.求函數(shù)u =arctan(x - 2y z )在點A(0,1, 0)處沿空間曲線B(2,0, .2)的切向量的方向?qū)?shù)r2y = x7.試求一平面兀，使它通過空間曲線在y=1處的切線,且與曲面尸3(y-1)2 21: x y =4z相切.8.設(shè)常數(shù)a 0，平面二通過點M (4a, -5a,3a)，且在三個坐標軸上的截距相等.在平面:9.已知曲面工的方程為x 、y 、z = 2，設(shè)!0(x0 ,y0 ,z0)為曲面藝上的一點1.求曲面工在點F0(x0, y0,z)的切平面方程；2.求該切平面在各個坐標軸上的截距之和.(10 分)1H-arcsin y3

8、10.計算二重積分dysin xdx.0Jarcsin y11. 計算二重積分x2y2z2_ 3x = 02x-y-4 = 0位于第一卦限部分求一點P(x0,y,20)，使得函數(shù)u(x, y,z)=1x-3y -z2在 P 點處取最小6/ 4D =( x, y) | , 2x x2_ y _ 2,0 _ x _ 213.計算三重積分i.i.i z2dxdydz，其中 V 是橢球體 篤V14.計算l(x2+y2)ds，其中 C 為曲線x二二a (cost t si nt), y二a(si n tt cost),(0乞t遼2二).15.判斷曲線積分：y2dx xy2dy是否與路徑無關(guān)？當 C 為曲線LC x + y x + yx=2cost,y=sint（0乞心2二），并且沿t增加的方向時，計算該曲線積分.（10 分）16.計算曲面積分J