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文檔簡介

1、1 1、向量的概念、向量的概念定義定義: :既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量. .相等向量相等向量:大小相等大小相等,方向相同方向相同負(fù)向量負(fù)向量:大小相同大小相同,方向相反方向相反向徑向徑: :起點(diǎn)為原點(diǎn)起點(diǎn)為原點(diǎn)零向量零向量:模為模為0的向量的向量,方向不固定方向不固定向量的模向量的模:向量的長度向量的長度(大小大小)單位向量單位向量:模為模為1的向量的向量一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)第1頁/共34頁(2)向量的分解式:)向量的分解式:,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx在三個坐標(biāo)軸上的分向量:

2、在三個坐標(biāo)軸上的分向量:kajaiazyx,(3)向量的坐標(biāo)表示式:)向量的坐標(biāo)表示式:向量的坐標(biāo):向量的坐標(biāo):zyxaaa,2 2、向量的表示法、向量的表示法(1)有向線段)有向線段 (模和方向模和方向余弦余弦)第2頁/共34頁(1)加法:cba 3 3、向量的線性運(yùn)算、向量的線性運(yùn)算dba ab(2)減法:cba dba (3)(3)向量與數(shù)的乘法:向量與數(shù)的乘法:設(shè)設(shè) 是一個數(shù),向量是一個數(shù),向量a與與 的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為 , 0)1( a 與與a同向,同向, |aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向,反向, |aa 第3頁/共34頁線性運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式線性運(yùn)

3、算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 第4頁/共34頁222|zyxaaaa 向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式)1coscoscos(222 第5頁/共34頁4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角 zz

4、yyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式aprjbbprjaba0baaaa2第6頁/共34頁運(yùn)算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實(shí)數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba第7頁/共34頁5、 向量積向量積定義:向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,,的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba 幾何意義:右圖三角形面

5、積abba21S第8頁/共34頁性質(zhì)為非零向量, 則aa) 1 (0ba,)2(0baba運(yùn)算律運(yùn)算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(cbcaba )()( ba)(baba) 1 (第9頁/共34頁kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式ba zyxzyxbbbaaakjiba bazzyyxxbababa0ba第10頁/共34頁例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a,2 , 2, 1 b,求(,求(1)ba ;(;(2)a與與b的夾角;(的夾角;(3)a在在b上的投影上的投影. 解解ba )1(2)4()2(11

6、1 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 第11頁/共34頁例例 2 2 求與求與kjia423 ,kjib2 都垂都垂直的單位向量直的單位向量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj 55510|22c|0ccc .5152 kj第12頁/共34頁22343cos322)2(17例例3. 已知向量的夾角且解:解:,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba第13頁/共34頁例

7、4. 已知三點(diǎn)已知三點(diǎn), )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(CBA角形 ABC 的面積 解解: 如圖所示,CBAS ABC21kji222124)(21,4,622222)6(4211421ACAB求三第14頁/共34頁x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o1 1、空間直角坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx二、空間解析幾何二、空間解析幾何第15頁/共34頁 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為空間兩點(diǎn)為空間兩點(diǎn) 兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式: :點(diǎn)到平面的距離公式:點(diǎn)

8、到平面的距離公式:的距離為到平面點(diǎn)0),(0000DCzByAxzyxM222000CBADCzByAxd第16頁/共34頁(1 1)旋轉(zhuǎn)曲面)旋轉(zhuǎn)曲面定義:以一條平面曲線繞定義:以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面一周所成的曲面. .這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸. .2 2、曲面、曲面.),(對對應(yīng)應(yīng)與與三三元元方方程程空空間間曲曲面面0zyxFS第17頁/共34頁方程特點(diǎn)方程特點(diǎn): :0),()2(0),() 1 (00),(:2222yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線

9、方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設(shè)有平面曲線設(shè)有平面曲線第18頁/共34頁(2 2) 柱面柱面定義:定義:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C C移動的直線移動的直線L L所形成的曲面所形成的曲面. .這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準(zhǔn)線準(zhǔn)線,動直線叫,動直線叫柱面的柱面的母線母線. .從柱面方程看柱面的特征:從柱面方程看柱面的特征: 只含只含yx,而缺而缺z的方程的方程0),( yxF,在,在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱軸的柱面,其準(zhǔn)線為面,其準(zhǔn)線為xoy面上曲線面上曲線C. . 第19頁/共34頁zyx橢

10、球面橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(3) 二次曲面第20頁/共34頁 拋物面拋物面zqypx2222 橢圓拋物面( p , q 同號) 雙曲拋物面(鞍形曲面)zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)zyx第21頁/共34頁雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyaxzxyo第22頁/共34頁3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF(1 1) 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx

11、(2 2) 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程第23頁/共34頁空間平面空間平面一般式點(diǎn)法式截距式0DCzByAx)0(222CBA1czbyax三點(diǎn)式0131313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx4. 4. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程),( :000zyx點(diǎn)0)()()(000zzCyyBxxA),(:CBAn 法向量第24頁/共34頁特殊情形 當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點(diǎn)通過原點(diǎn)的平面; 當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸; A x+C z+D = 0 表

12、示 A x+B y+D = 0 表示 C z + D = 0 表示 A x + D =0 表示 B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面;平行于 z 軸的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面;平行于 zox 面 的平面.,), 0(iCBn第25頁/共34頁例例5. 求通過求通過 x 軸和點(diǎn)軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平的平面方程面方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點(diǎn)) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy第26頁/共34頁為直線的方向向量.空間直線一般式對稱式參數(shù)式0

13、022221111DzCyBxADzCyBxAtpzztnyytmxx000pzznyymxx000),(000zyx),(pnms 為直線上一點(diǎn); 第27頁/共34頁例例6.6.用對稱式及參數(shù)式表示直線用對稱式及參數(shù)式表示直線解解: :先在直線上找一點(diǎn).043201 zyxzyx632zyzy再求直線的方向向量2,0zy令 x = 1, 解方程組,得交已知直線的兩平面的法向量為是直線上一點(diǎn) .)2,0, 1(故.s, ) 1, 1, 1 (1n)3, 1,2(2n21ns,ns21nns第28頁/共34頁故所給直線的對稱式方程為參數(shù)式方程為tztytx32 41t41x1y32z解題思路解題

14、思路: 先找直線上一點(diǎn);再找直線的方向向量.)3, 1,4(21nns312111kji第29頁/共34頁241312zyx例例7 7. 求直求直線線與平面062zyx的交點(diǎn) . 提示提示: : 化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得 1t從而確定交點(diǎn)為(1,2,2).tztytx2432t第30頁/共34頁面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系0212121CCBBAA212121CCBBAA平面平面垂直:平行:夾角公式:5.5.線面之間的相互關(guān)系線面之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBAnDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA021nn021nn2121cosnnnn 第31頁/共34頁,1111111pzznyymxxL:直線0212

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