高考數(shù)學(xué)立體幾何備考復(fù)習(xí)教案Word版

1、立體幾何點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【最新考綱透析】1理解空間直線平面位置關(guān)系的定義。2了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理。3認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理。4能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題?！竞诵囊c(diǎn)突破】要點(diǎn)考向1：線線、線面的位置關(guān)系考情聚焦：1空間直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系是最基本的關(guān)系，是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容，幾乎年年都考。2題目基本上以柱體、錐體為背景，重點(diǎn)考查異面直線及線面關(guān)系。3三種題型均可出現(xiàn)，屬較容易或中檔題?？枷蜴溄樱?解決此類問題時(shí)要特別注意線線平行與垂直、線在平行與垂直、面面平行與垂直間的相互轉(zhuǎn)化。2證明

2、線線平行的常用方法：（1）利用定義，證兩線共面且無公共點(diǎn)；（2）利用公理4，證兩線同時(shí)平行于第三條直線；（3）利用線面平行的性質(zhì)定理把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行。2 / 353證明線面平行常用方法：（1）利用線面平行的判定定理把證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行；（2）利用性質(zhì)4證明線面垂直的方法有：（1）定義；（2）判定定理；例1：（2010·天津高考文科·9）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ADEF是正方形，F(xiàn)A平面ABCD，BCAD，CD=1，AD=，BADCDA45°.（）求異面直線CE與AF所成角的余弦值； （）證明CD平面ABF；（）求二面角B-EF-A的

3、正切值?！久}立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力，運(yùn)算能力和推理論證能力。【思路點(diǎn)撥】（1）CED即為異面直線CE與AF所成角；（2）證明CD垂直于兩條相交直線AB、FA;（3）做輔助線構(gòu)造二面角的平面角?！疽?guī)范解答】(I)解：因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA/ED.故為異面直線CE與AF所成的角.因?yàn)镕A平面ABCD，所以FACD.故EDCD.在RtCDE中，CD=1，ED=，CE=3,故cos=.所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為.()證明：過點(diǎn)B作BG/CD,交AD于點(diǎn)G，則.由,可得BGAB,從而CDAB,又CDFA,FAA

4、B=A,所以CD平面ABF.()解：由（）及已知，可得AG=，即G為AD的中點(diǎn).取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GNEF,因?yàn)锽C/AD,所以BC/EF.過點(diǎn)N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM.從而BCGM.由已知，可得GM平面MAB.由NG/FA,FAGM,得NGGM.在RtNGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值為.要點(diǎn)考向2：面面位置關(guān)系考情聚焦：1在高考中，本部分內(nèi)容幾乎年年考查，主要考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力。2題目基本上以棱柱、棱錐為背景，考查面面平行或垂直。3選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，題目難度為低檔或

5、中檔。考向鏈接：1證明面面平行，依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可。從而將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，再轉(zhuǎn)化為線線平行。 2證明面面垂直的方法：證明一個(gè)面過另一個(gè)面的垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點(diǎn)、高線或添加輔助線解決。例2：（2010·遼寧高考文科·19） 如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.()證明：平面AB1C平面A1BC1;（)設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)，且A1B平面B1CD，求A1D:DC1的值. 【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、

6、以及幾何體的計(jì)算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力。 【思路點(diǎn)撥】（I）先證明B1C平面A1BC1.再證明平面AB1C平面A1BC1; （II）利用線面平行的性質(zhì)，得到DE/A1B，判斷出D點(diǎn)是中點(diǎn)，從而可解 【規(guī)范解答】（I）（II）【方法技巧】1、證明面面垂直，一般通過證明一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線和哪個(gè)平面垂直。2、證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來，如本題中強(qiáng)調(diào)了A1BBC1B要點(diǎn)考向3：與折疊有關(guān)的問題考情聚焦：1空間圖形的折疊問題是近幾年高考命題的一個(gè)新的亮點(diǎn),它通

7、常與其他知識(shí)相結(jié)合,能夠較好地考查學(xué)生的空間想象能力、圖形變換能力及識(shí)圖能力。2選擇題、填空題、解答題均可出現(xiàn)，尤其解答題為多，屬中檔題。例3：（2010·浙江高考文科·20）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，ABC=120°。E為線段AB的中點(diǎn)，將ADE沿直線DE翻折成ADE，使平面ADE平面BCD，F(xiàn)為線段AC的中點(diǎn)。（）求證：BF平面ADE；（）設(shè)M為線段DE的中點(diǎn)，求直線FM與平面ADE所成角的余弦值?！久}立意】本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，線面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理論證能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】（1）可以在面內(nèi)找一條直線

8、與BF平行，從而證明線面平行；（2）求線面角的關(guān)鍵是找到對應(yīng)的平面角?！疽?guī)范解答】 ()取AD的中點(diǎn)G，連結(jié)GF，CE，由條件易知FGCD，F(xiàn)G=CD. BECD,BE=CD.所以FGBE,FG=BE. 故四邊形BEGF為平行四邊形, 所以BFEG因?yàn)槠矫?，BF平面，所以 BF/平面（）在平行四邊形ABCD中，設(shè)BC=a，則AB=CD=2a, AD=AE=EB=a, 連CE。因?yàn)?，在BCE中，可得CE=a, 在ADE中，可得DE=a,在CDE中，因?yàn)镃D2=CE2+DE2，所以CEDE,在正三角形ADE中，M為DE中點(diǎn)，所以AMDE.由平面ADE平面BCD, 可知AM平面BCD, AMCE.取

9、AE的中點(diǎn)N，連線NM、NF，所以NFDE,NFAM.因?yàn)镈E交AM于M, 所以NF平面ADE,則FMN為直線FM與平面ADE所成的角.在RtFMN中，NF=a, MN=a, FM=a,則cos=.所以直線FM與平面ADE所成角的余弦值為.【方法技巧】找線面所成角時(shí)，可適當(dāng)?shù)淖饕粭l面的垂線，從而把線面角轉(zhuǎn)化為線線夾角。注：（1）解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會(huì)發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口。（2）在解決問題時(shí)，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形。【高考真題探究】1（2010

10、83;山東高考理科·3）在空間，下列命題正確的是（ ）（A）平行直線的平行投影重合（B）平行于同一直線的兩個(gè)平面平行（C）垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行（D）垂直于同一平面的兩條直線平行【命題立意】 本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力.【思路點(diǎn)撥】 可利用特殊圖形進(jìn)行排除.【規(guī)范解答】選D，在正方體中，但它們在底面上的投影仍平行，故A選項(xiàng)不正確；平面與平面都平行于直線，但平面與平面相交，故B選項(xiàng)不正確；平面與平面都垂直于平面，但平面與平面相交，故C選項(xiàng)不正確；而由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可

11、以證明選項(xiàng)D正確.2（2010·浙江高考理科·6）設(shè)，是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（ ）（A）若，則 （B）若，則（C）若，則 （D）若，則【命題立意】本題考查空間中的線線、線面位置關(guān)系，考查空間想象能力?！舅悸伏c(diǎn)撥】利用線面平行、線面垂直的判定定理。【規(guī)范解答】選B。如圖（1），選項(xiàng)A不正確；如圖（2），選項(xiàng)B正確；如圖（3）選項(xiàng)C不正確；如圖（4）選項(xiàng)D不正確。3（2010·廣東高考理科·18） 如圖5，是半徑為a的半圓，AC為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C為線段AD的三等分點(diǎn)。平面AEC外一點(diǎn)F滿足FB=FD=a，F(xiàn)E=a 證明

12、：EBFD；已知點(diǎn)Q,R分別為線段FE,FB上的點(diǎn)，使得FQ=FE,FR=FB,求平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值?！久}立意】本題考察空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系以及空間幾何體的相關(guān)計(jì)算.【思路點(diǎn)撥】（1）點(diǎn)E為的中點(diǎn)，AC為直徑是，又面 EBFD.作出二面角的棱證明為所求二面角的平面角求、【規(guī)范解答】（1）證明：連結(jié).因?yàn)槭前霃綖閍的半圓，為直徑，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以，在中，在中，所以是等腰三角形，且點(diǎn)是底邊的中點(diǎn)，所以 在中，所以是，所以.由，且，所以面又 面，所以，所以平面，而平面，所以（2）過點(diǎn)作， FQ=FE,FR=FB， ， ， 與共面且與共面， 為平面BED與平面RQD的棱.

13、由（1）知，平面， 平面，而平面，平面， ，是平面BED與平面RQD所成二面角的平面角.在中， ， =.由余弦定理得： 又由正弦定理得： ，即 所以平面BED與平面RQD所成二面角的正弦值為4（2010·北京高考理科·6）如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。 【命題立意】本題考查了線面平行、線面垂直及二面角的求法。一般的，運(yùn)用幾何法（方法一）對空間想象能力，空間運(yùn)算能力要求較高，關(guān)鍵是尋找二面角的平面角；運(yùn)用向量法（方法二）思路

14、簡單，但運(yùn)算量較大，熟練掌握向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵?！舅悸伏c(diǎn)撥】立體幾何問題一般有兩種方法：幾何法與向量法。幾何法：（1）證明AF與面BDE內(nèi)的某條線平行；（2）證明CF垂直于面BDE內(nèi)的兩條相交直線；（3）由第（2）問的結(jié)論，可過A作一直線與CF平行，從而垂直于面BDE，再過A和垂足向二面角A-BE-D的菱BE作垂線，找到二面角的平面角。向量法：利用三個(gè)垂直關(guān)系CE，CD，CB，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的平行、垂直和數(shù)量積求二面角的大小?！疽?guī)范解答】方法一： （I） 設(shè)AC與BD交點(diǎn)G。因?yàn)镋F/AG，且EF=1，AG=AC=1.所以四邊形AGEF為平行四邊形. 所以AF

15、/EG，因?yàn)槠矫鍮DE，AF平面BDE，所以AF/平面BDE.(II)連接FG，為平行四邊形，又，CEFG為菱形，。在正方形ABCD中，。正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，又，。（III）在平面ACEF內(nèi)，過A作，垂足為H，連接HB。則AH/CF。AH平面BDE，。又面ABCD面ACEF，CEAC，面ABCD，。又，面BCE，。面ABH。為所求的二面角A-BE-D的平面角。由得，為銳角，。方法二：（I）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面相互垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C（0，0，0），B（0，0），所以，.設(shè)為平

16、面BDE的法向量，則，即，令，得，。，又面BDE，AF/平面BDE。（II）由（I）知，所以,所以,.又因?yàn)椋云矫鍮DE.(III)設(shè)平面ABE的法向量, 由（I）知=，則，.即所以且令則. 所以. 從而。所以。 因?yàn)槎娼菫殇J角， 所以二面角的大小為.5（2010·福建高考文科·20）如圖，在長方體ABCD A1B1C1D1中，E，H分別是棱A1B1,D1C1上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B1不重合），且EH/A1D1。過EH的平面與棱BB1,CC1相交，交點(diǎn)分別為F，G。 （I）證明：AD/平面EFGH； （II）設(shè)AB=2AA1=2a。在長方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)選取

17、一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A1ABFE D1DCGH內(nèi)的概率為p。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱A1B1, B1B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值?！久}立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。 【思路點(diǎn)撥】第一步由線線平行得到線面平行；第二步求出（1）首先求出三棱柱的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，然后求解圓柱的體積，利用體積比計(jì)算出幾何概率。 【規(guī)范解答】 ( I ) 證明：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，又，又平面，所以平面；（I

18、I）設(shè)，則在長方體ABCD-A1B1C1D1的體積，幾何體的體積，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，從而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以得最小值等于?！痉椒记伞苛Ⅲw幾何中的證明問題，一定要把條件寫完整了，保證邏輯合理，如：本題一定要寫出。6（2010·江蘇高考·6）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900。求證：PCBC；求點(diǎn)A到平面PBC的距離?！久}立意】本題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查幾何體的體積，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力。【思路點(diǎn)撥】（1）可證明BC與PC所在的某一個(gè)平面垂直

19、；（2）點(diǎn)A到平面PBC的距離是點(diǎn)D到平面PBC的距離的2倍?！疽?guī)范解答】（1）因?yàn)镻D平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC。由BCD=900，得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD。因?yàn)镻C平面PCD，故PCBC。（2）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等。又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因?yàn)镻D=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于?！痉椒?/p>

20、技巧】一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，其體積是不變的.如果一個(gè)幾何體的底面積和高較難求解時(shí)，我們可考慮利用等體積法求解。等體積法也稱等積轉(zhuǎn)換或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，把底面積和高的求解轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系清晰的底面及其對應(yīng)的高，減少運(yùn)算量，這也是轉(zhuǎn)化與化歸思想在立體幾何中的具體體現(xiàn)。本題也可利用等體積法求解：連結(jié)AC。設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h。因?yàn)锳BDC，BCD=900，所以ABC=900。從而AB=2，BC=1，得的面積。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積。因?yàn)镻D平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC。又PD=D

21、C=1，所以。由PCBC，BC=1，得的面積。由，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于?！靖櫮M訓(xùn)練】一、選擇題（每小題6分，共36分）1.給出以下三個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,那么這條直線和交線平行;如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面;如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.其中真命題的個(gè)數(shù)是( )(A)3(B)2(C)1(D)02.給定空間中的直線l及平面,條件“直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面垂直”的（ ）(A)充要條件(B)充分非必要條件(C)必要非充分條件(D)

22、既非充分又非必要條件3.設(shè)有直線m、n和平面、.下列四個(gè)命題中,正確的是（ ）(A)若m,n,則mn(B)若m,n,m,n,則(C)若,m,則m(D)若,m,m,則m4.對于平面和直線m、n，給出下列命題若mn,則m、n與所成的角相等；若m,mn,則n;若m與n是異面直線，且m,則n與相交.其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）(A)0(B)1(C)2(D)35.已知平面外不共線的三點(diǎn)A、B、C到的距離都相等，則正確的結(jié)論是（ ）(A)平面ABC必不垂直于(B)平面ABC必平行于(C)平面ABC必與相交(D)存在ABC的一條中位線平行于或在內(nèi)6（2010北京模擬）設(shè)A、B、C、D是空間四個(gè)不同的點(diǎn)，在下列命

23、題中，不正確的是（ ）A若AC與BD共面，則AD與BC共面B若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線C若AB = AC，DB = DC，則AD = BCD若AB = AC，DB = DC，則ADBC二、填空題（每小題6分，共18分）7.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中,MN在平面BCC1B1內(nèi),MNBC于M，則MN與平面AB1的位置關(guān)系是_.8.如果一條直線與一個(gè)平面垂直,那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.在一個(gè)正方體中,由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個(gè)數(shù)是_.9.設(shè)、表示平面，a、b表示不在內(nèi)也不在內(nèi)的兩條直線.給出下列四個(gè)論斷:ab;a

24、;b.若以其中三個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,可以構(gòu)造出一些命題.寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題_.三、解答題（10、11題每題15分，12題16分，共46分）10.如圖，在四棱錐P-ABCD中.PD平面ABCD,ADCD.DB平分ADC,E為PC的中點(diǎn),AD=CD.(1)證明PA平面BDE;(2)證明AC平面PBD;11.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA底面ABC，ABC為正三角形，D、E分別是BC、CA的中點(diǎn).(1)證明：平面PBE平面PAC.(2)在BC上是否存在一點(diǎn)F，使AD平面PEF？說明理由.12.(探究創(chuàng)新題)如圖,A、B、C、D為空間四點(diǎn),在ABC中,AB=2，AC=BC=，等邊三

25、角形ADB以AB為軸轉(zhuǎn)動(dòng).（1）當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，求CD的長;（2）當(dāng)ADB轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),是否總有ABCD?證明你的結(jié)論.參考答案一、選擇題1. 【解析】選B.由直線與平面平行的性質(zhì)定理知正確；由直線與平面垂直的判定定理知正確；若兩條直線都平行于一個(gè)平面,則這兩條直線平行或相交或異面，故不正確.2. 【解析】選C.由直線與平面垂直的定義知,當(dāng)直線l與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直時(shí),直線l與平面不一定垂直;反之成立.3. 【解析】選D.m,nmn或m與n相交或m,n異面,故A不對.m,n,m,n,相交或平行,故B不對.,mm或m或m與斜交,故C不對.,m,mm正確.故選D.4. 【解析】選B.正確；

26、對，若m,mn,則n或n；對，若m與n異面，m,則n與相交或平行或在內(nèi).5. 【解析】選D.如圖，A、B、C三點(diǎn)不共線且到的距離都相等，可得A、B、C皆錯(cuò).6. 【解析】選C.A若AC與BD共面，則A ，B ，C，D四點(diǎn)共面，則AD與BC共面；B若AC與BD是異面直線，則A ，B ，C，D四點(diǎn)不共面，則AD與BC是異面直線；C若AB = AC，DB = DC，四邊形ABCD可以是空間四邊形，AD不一定等于 BC；D若AB = AC，DB = DC，可以證明ADBC。二、填空題7. 【解析】MNBC，MNBB1,而BB1平面AB1，MN平面AB1.答案：MN平面AB18. 【解析】AB面BCC1

27、B1,AB面ADD1A1，AB與面BCC1B1，AB與面ADD1A1各構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.這樣的“正交線面對”共有12×2=24個(gè)，又A1B面AB1C1D.A1B與面AB1C1D構(gòu)成一個(gè)“正交線面對”.這樣的“正交線面對”共有12×1=12個(gè)，共有24+12=36個(gè).答案：369. 【解析】由ab,a,b可得.答案：三、解答題10. 【證明】(1)設(shè)ACBD=H,連結(jié)EH.在ADC中,因?yàn)锳D=CD,且DB平分ADC,所以H為AC的中點(diǎn).又由題設(shè),E為PC的中點(diǎn),故EHPA.又EH平面BDE且PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)因?yàn)镻D平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.結(jié)合（1）易知DB