統(tǒng)計學(xué)區(qū)間估計詳細講解

1、教學(xué)重點教學(xué)過程教學(xué)總結(jié)第八章第八章 區(qū)間估計區(qū)間估計statstat 一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，每天的產(chǎn)量約為8000袋左右。按規(guī)定每袋的重量應(yīng)不低于100克，否則即為不合格。為對產(chǎn)量質(zhì)量進行檢測，企業(yè)設(shè)有質(zhì)量檢查科專門負責質(zhì)量檢驗，并經(jīng)常向企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)提交質(zhì)檢報告。質(zhì)檢的內(nèi)容之一就是每袋重量是否符合要求。 由于產(chǎn)品的數(shù)量大，進行全面的檢驗是不可能的，可行的辦法是抽樣，然后用樣本數(shù)據(jù)估計平均每袋的重量。質(zhì)檢科從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機抽取了25袋，下表1是對每袋食品重量的檢驗結(jié)果。實踐中的統(tǒng)計stat 根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，質(zhì)檢科估計出該天生產(chǎn)的食品每袋的平均重量在101.38109.3

2、4克之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過4克。產(chǎn)品的合格率在96.07%73.93%之間，其中，估計的可信程度為95%，估計誤差不超過16%。表1 25袋食品的重量（克）112.5102.6100.0116.6136.8101.0107.5123.595.4102.8103.095.0102.097.8101.5102.010808101.6108.498.4100.5115.6102.2105.093.3stat 質(zhì)檢報告提交后，企業(yè)高層領(lǐng)導(dǎo)人提出幾點意見：一是抽取的樣本大小是否合適？能不能用一個更大的樣本進行估計？二是能否將估計的誤差在縮小一點？比如，估計平均重量時估計誤差不

3、超過3克，估計合格率時誤差不超過10%。三是總體平均重量的方差是多少？因為方差的大小說明了生產(chǎn)過程的穩(wěn)定性，過大或過小的方差都意味著應(yīng)對生產(chǎn)過程進行調(diào)整。stat1、抽樣誤差的概率表述；、抽樣誤差的概率表述；2、區(qū)間估計的基本原理；、區(qū)間估計的基本原理；3、小樣本下的總體參數(shù)估計方法；、小樣本下的總體參數(shù)估計方法；4、樣本容量的確定方法；、樣本容量的確定方法；1、一般正態(tài)分布、一般正態(tài)分布標準正態(tài)分布；標準正態(tài)分布；2、t分布；分布；3、區(qū)間估計的原理；、區(qū)間估計的原理；4、分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。、分層抽樣、整群抽樣中總方差的分解。stat點估計的缺點：不能反映估計的誤差和精確程度

4、區(qū)間估計：利用樣本統(tǒng)計量和抽樣分布估計總體參數(shù)的可能區(qū)間【例例1 1】cjw公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量， cjw公司每月都要隨即的抽取一個顧客樣本進行調(diào)查以了解顧客的滿意分數(shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分數(shù)的標準差穩(wěn)定在20分左右。最近一次對100名顧客的抽樣顯示，滿意分數(shù)的樣本均值為82分，試建立總體滿意分數(shù)的區(qū)間。8.1.1抽樣誤差抽樣誤差抽樣誤差：一個無偏估計與其對應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對值。抽樣誤差 = （實際未知）8.1總體均值的區(qū)間估計（大樣本n30）xxstat要進行區(qū)間估計，關(guān)鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為： 此時，可以利用樣本均值的抽樣

5、分布對抽樣誤差的大小進行描述。 上例中，已知，樣本容量n=100,總體標準差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時樣本均值服從均值為 ，標準差為 的正態(tài)分布。即：xxxxxx,20210020nx)2 ,82(2nxstat8.1.2抽樣誤差的概率表述抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標準正態(tài)分布，即，有以下關(guān)系式成立：一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計結(jié)果的可信程度。若事先給定一個置信度，則可根據(jù)標準正態(tài)分布找到其對應(yīng)的臨界值 。進而計算抽樣誤差)2 ,82(2nxxxz) 1 , 0( nz1)(2zxpx12zxxzx2stat若，則查標準正態(tài)分布表可得，抽樣誤差 此時抽樣誤差的意義

6、可表述為：以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間包含總體均值的概率是95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。 常用的置信度還有90%，95.45%，99.73%，他們對應(yīng)的臨界值分別為1.645，2和3，可以分別反映各自的估計區(qū)間所對應(yīng)的精確程度和把握程度。%95196. 12z92. 32*96. 196. 12xxxzstat8.1.3計算區(qū)間估計：計算區(qū)間估計： 在cjw公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是3.92或更小的概率是0.95。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為，由于，從一個總體中抽取到的樣本具有隨機性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計算所的區(qū)間并不總

7、是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示：92.85,08.7892. 382,92. 382,xxxx已知時的大樣本情況statx 的抽樣分布2x95%x的所有 的值3.923.923x1x x2 13.92x 基于的 區(qū)間23.92x 基于的 區(qū)間33.92x基于的區(qū)間(該區(qū)間不包含 )圖1 根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間1x x2 3xstat 上圖中，有95%的樣本均值落在陰影部分，這個區(qū)域的樣本均值3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有95%的把握認為，以樣本均值為中心的3.92的區(qū)間能夠包含總體均值。 通常，稱該區(qū)間為

8、置信區(qū)間，其對應(yīng)的置信水平為 置信區(qū)間的估計包含兩個部分：點估計和描述估計精確度的正負值。也將正負值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍?？偨Y(jié)：1已知時的大樣本下的區(qū)間估計nzx2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標準正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（z212zstat8.1.4計算區(qū)間估計：計算區(qū)間估計： 在大多數(shù)的情況下，總體的標準差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標準差s作為總體標準差的點估計值，仍然采用上述區(qū)間估計的方法進行總體參數(shù)的估計。未知時的大樣本下的區(qū)間估計nzx2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標準正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)

9、；式中，（z212z未知時的大樣本情況stat【例例2 2】 斯泰特懷特保險公司每年都需對人壽保險單進行審查，現(xiàn)公司抽取36個壽保人作為一個簡單隨即樣本，得到關(guān)于、投保人年齡、保費數(shù)量、保險單的現(xiàn)金值、殘廢補償選擇等項目的資料。為了便于研究，某位經(jīng)理要求了解壽險投保人總體平均年齡的90%的區(qū)間估計。投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡投保人投保人年齡年齡12345678932504024334445484410111213141516171847313639464539384519202122232425262727435436344823364228 29303132

10、33343536343934354253284939stat上表是一個由36個投保人組成的簡單隨機樣本的年齡數(shù)據(jù)?，F(xiàn)求總體的平均年齡的區(qū)間估計。分析：區(qū)間估計包括兩個部分點估計和誤差邊際，只需分別求出即可到的總體的區(qū)間估計。解：已知（1）樣本的平均年齡（2）誤差邊際645. 1%901362zn，（大樣本），5 .393636405032 nxxs2樣本標準差（未知）總體標準差nzxstat樣本標準差誤差邊際（3）90%的置信區(qū)間為39.5 2.13 即（37.37，41.63）歲。 注意注意（1）置信系數(shù)一般在抽樣之前確定，根據(jù)樣本所建立的區(qū)間能包含總體參數(shù)的概率為（2）置信區(qū)間的長度（準確

11、度）在置信度一定的情況下，與樣本容量的大小呈反方向變動，若要提高估計準確度，可以擴大樣本容量來達到。77. 71)(2nxxs13. 23677. 7*645. 122nsznzxstat8.2總體均值的區(qū)間估計：小樣本的情況在小樣本的情況下，樣本均值的抽樣分布依賴于總體的抽樣分布。我們討論總體服從正態(tài)分布的情況。t分布的圖形和標準正態(tài)分布的圖形類似，如下圖示：)(30nstxx分布服從未知總體標準差服從正態(tài)分布已知總體標準差小樣本stat0標準正態(tài)分布t分布（自由度為20）t分布（自由度為10）圖2標準正態(tài)分布與t分布的比較stat在分布中，對于給定的置信度，同樣可以通過查表找到其對應(yīng)的臨界

12、值，利用臨界值也可計算區(qū)間估計的誤差邊際因此，總體均值的區(qū)間估計在總體標準差未知的小樣本情況下可采用下式進行：假定總體服從正態(tài)分布；2tnst2nszx2值。的供的面積為分布的右側(cè)尾部中所提）的自由度為（為在為樣本的標準差；）為置信系數(shù)；式中，（t2t1-n12tsstat【例例3 3】謝爾工業(yè)公司擬采用一項計算機輔助程序來培訓(xùn)公司的維修支援掌握及其維修的操作，以減少培訓(xùn)工人所需要的時間。為了評價這種培訓(xùn)方法，生產(chǎn)經(jīng)理需要對這種程序所需要的平均時間進行估計。以下是利用新方對名職員進行培訓(xùn)的培訓(xùn)天數(shù)資料。根據(jù)上述資料建立置信度為的總體均值的區(qū)間估計。（假定培訓(xùn)時間總體服從正態(tài)分布）。職員時間職員

13、時間職員時間職員時間職員時間職員時間stat解：依題意，總體服從正態(tài)分布，（小樣本），此時總體方差未知?？捎米杂啥葹椋╪-1）=14的t分布進行總體均值的區(qū)間估計。樣本平均數(shù)樣本標準差誤差邊際95%的置信區(qū)間為87.531563554452 nxx82. 61473.6511)(2nxxs78. 31582. 6*145. 22nstx53.87 3.78 即（50.09，57.65）天。stat8.3確定樣本容量誤差邊際其計算需要已知若我們選擇了置信度由此，得到計算必要樣本容量的計算公式：nzx2。和樣本容量n,2z2,1z就可以確定2zn在已知 和后，我們可以求出誤差邊際為任何數(shù)值時的樣本

14、容量等于期望的誤差邊際。令e)(222222ezneznnzestat【例例4】在以前的一項研究美國租賃汽車花費的研究中發(fā)現(xiàn)，租賃一輛中等大小的汽車，其花費范圍為，從加利福尼亞州的奧克蘭市的每天36美元到康涅狄格州的哈特福德市的每天73.50美元不等，并且租金的標準差為9.65美元。假定進行該項研究的組織想進行一項新的研究，以估計美國當前總體平均日租賃中等大小汽車的支出。在設(shè)計該項新的研究時，項目主管指定對總體平均日租賃支出的估計誤差邊際為2美元，置信水平為95%。解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（90）即為必要的樣本容量。2,65. 9,96. 1%,9512ez43.89265. 9

15、96. 1)(2222222eznstat 說明： 由于總體標準差 在大多數(shù)情況下 是未知的，可以有以下方法取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本標準差；（2）抽取一個預(yù)備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的標準差作為 的估計值。（3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”，例如，通?？捎萌嗟淖鳛?的近似值。stat8.4總體比例的區(qū)間估計8.4.1區(qū)間估計區(qū)間估計 對總體比例 的區(qū)間估計在原理上與總體均值的區(qū)間估計相同。同樣要利用樣本比例 的抽樣分布來進行估計。若， 則樣本比例近似服從正態(tài)分布。同樣，抽樣誤差類似的，利用抽樣分布（正態(tài)分布）來計算抽樣誤差pp5)1 (, 5,3

16、0pnnpnppp222(1)ppppppzzznn stat上式中， 是正待估計的總體參數(shù)，其值一般是未知，通常簡單的用 替代 。即用樣本方差 替代總體方差 。則， 誤差邊際的計算公式為：ppp)1 (pp)1 (ppnppzp)1 (2的置信區(qū)間則為：1nppzp)1 (2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標準正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（z212zstat【例例5】1997年菲瑞卡洛通訊公司對全國范圍每內(nèi)的902名女子高爾夫球手進行了調(diào)查，以了解美國女子高爾夫球手對自己如何在場上被對待的看法。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，397名女子高爾夫球手對得到的球座開球次數(shù)感到滿意。試在95%的置信水平下估計總體比

17、例的區(qū)間。分解：解：依題意已知，（1）樣本比例（2）誤差邊際誤差邊際點估計區(qū)間96. 1%9519022zn，（大樣本），44. 0902397nmp0324. 090256. 044. 096. 1)1 (2nppzpstat （3）95%的置信區(qū)間0.44 0.0324 即（0.4076，0.4724）。 結(jié)論：在置信水平為95%時，所有女子高爾夫球手中有40.76%到47.24%的人對得到的球座開球數(shù)感到滿意。 8.4.2 確定樣本容量確定樣本容量 在建立總體比例的區(qū)間估計時，確定樣本容量的原理與8.3節(jié)中使用的為估計總體均值時確定樣本容量的原理相類似。22222(1)e(1)(1)()

18、ppeznppppnznzee令 等于期望的誤差邊際stat【例例6】在例中，該公司想在1997年結(jié)果的基礎(chǔ)上進行一項新的調(diào)查，以重新估計女子高爾夫球手的總體中對得到的球座開球此數(shù)感到滿意的人數(shù)所占的比例。調(diào)查主管希望這項新的調(diào)查在誤差邊際為0.025、置信水平為95%的條件下來進行，那么，樣本容量應(yīng)該為多大？解：依題意，可得將以上結(jié)果取下一個整數(shù)（1515）即為必要的樣本容量。025. 0,44. 0,96. 1%,9512epz51.1514025. 056. 044. 096. 1)1 ()(22222eppznstat 說明：說明： 由于總體比例 在大多數(shù)情況下是未知的，可以有以下方法

19、取得 的值。（1）使用有同樣或者類似單元的以前樣本的樣本比例；（2）抽取一個預(yù)備樣本進行試驗性研究。用實驗性樣本的比例作為 的估計值。（3）運用對 值的判斷或者“最好的猜測”；（4）如果上面的方法都不適用，采用 。0.5p ppppstat8.5其他抽樣方法下總方差的計算 在第六章中學(xué)習(xí)到，除簡單隨機抽樣方法外，在現(xiàn)實中還可運用分層抽樣、整群抽樣、系統(tǒng)抽樣等抽樣方法，每一次抽樣都涉及到對總體參數(shù)的估計過程。 通過前面的知識，可知對總體參數(shù)的估計過程中比較關(guān)鍵的因素是計算總體方差。如果已知總體方差，總體參數(shù)區(qū)間估計的過程與前面介紹的方法相同。stat8.5.1分層抽樣分層抽樣在簡單隨機抽樣中，我

20、們計算總方差是采用的公式是在分層抽樣中，我們事先將總體按一定的標志進行分層，所形成的數(shù)據(jù)實際等同于組距式數(shù)列，在組距式數(shù)列中，總方差需要運用方差加法定理來計算。22()xxn222i方差加法定理：總方差組間方差平均組內(nèi)方差stat 這就是說，如果要計算總方差，則需分別將組間方差和平均組內(nèi)方差先計算出來。在分層抽樣下，是否真的需要由組間方差和平均組內(nèi)方差相加來計算總方差呢？ 我們來考察一下分層抽樣的實施過程： 層間抽樣：在每一層抽取 全面調(diào)查 層間方差 層內(nèi)抽樣：抽取部分樣本單位 抽樣調(diào)查 層內(nèi)方差 我們說抽樣誤差是抽樣調(diào)查這種調(diào)查方式所特有的誤差，因此上述兩部分誤差中只有由于抽樣調(diào)查所形成的層

21、內(nèi)方差才是抽樣誤差的組成部分，而由于全面調(diào)查所形成的層間方差不是抽樣誤差的組成部分。stat因此，22i總方差平均組內(nèi)方差2222:n:n :iiiiiiins nsnnin：總體單位數(shù)；n各層的總體單位數(shù)；樣本容量；各層的樣本單位數(shù)；當總體方差未知時，用相應(yīng)的樣本方差替代。22ixzn 此時，誤差邊際【例例7】某廠有甲、乙兩個車間生產(chǎn)保溫瓶，乙車間產(chǎn)量是甲車間的2倍?，F(xiàn)按產(chǎn)量比例共抽查了60支，結(jié)果如下。試以95.45%的可靠程度推斷該廠生產(chǎn)的保溫瓶的平均保溫時間的可能范圍。車間車間代碼代碼平均保溫時間平均保溫時間標準差標準差 s s甲甲乙乙1 12 22525（小時）（小時）2828（小時

22、）（小時）1.21.2（小時）（小時）0 0.8.8（小時）（小時）)(276040282025小時nnxxii64. 0,44. 1,28,25,40,20:22212121ssxxnn解91. 0604064. 02044. 122nnssiii222220.12()0.24()iixszznn小時小時)24.27,76.26(),(xxxx【例例8】某地一萬住戶，按城鄉(xiāng)比例抽取一千戶，進行彩電擁有量調(diào)查，結(jié)果如下。試以95.45%的概率推斷該地彩電擁有戶比率的范圍。14. 0100070085. 015. 03002 . 08 . 0)1 ()1 (nnppppiii代碼代碼抽樣戶數(shù)抽樣

23、戶數(shù)比重比重（% %）城城鄉(xiāng)鄉(xiāng)1 12 2300300(n(n1 1) )700700(n(n2 2) ) 8080)(1p1515)(2p%5 .34100070015. 03008 . 0:nnppii解2(1)2 1.12%2.24%pppzn),(pppp區(qū)間估計：%)74.36%,26.32(stat8.5.2整群抽樣整群抽樣與分層抽樣類似，整群抽樣下，總方差的計算仍然需要分解：同樣考察整群抽樣的實施過程：層間抽樣：在部分層中抽取 抽樣調(diào)查 群間方差層內(nèi)抽樣：抽取全部樣本單位 全面調(diào)查 群內(nèi)方差類似的，只有群間方差是抽樣誤差的組成部分。222i方差加法定理：總方差組間方差平均組內(nèi)方差

24、 stat因此，22總方差群間方差222()()iixxxmxxmrmrm用樣本方差替代m:每群內(nèi)的總體單位數(shù)；r:總體群數(shù)；r:樣本群數(shù)。22xxzr 此時，誤差邊際【例例9】某鄉(xiāng)播種某種農(nóng)作物3000畝，分布在60塊地段上，每塊地段50畝?，F(xiàn)抽取5塊地，得資料如下?，F(xiàn)要求以95%的概率估計這種農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)。樣樣本本平平均均畝畝產(chǎn)產(chǎn)受受災(zāi)災(zāi)面面積積1 12 23 34 45 58 8. .2 25 5 百百斤斤9 9. .5 50 0 百百斤斤8 8. .5 50 0 百百斤斤9 9. .0 00 0 百百斤斤8 8. .7 75 5 百百斤斤2 2. .0 0% % 1 1. .6 6

25、% % 1 1. .4 4% % 1 1. .9 9% %2 2. .1 1% %8 . 8575. 800. 950. 850. 925. 8rxxi185. 05)8 . 875. 8()8 . 825. 8()(2222rxxix2221.96 0.1760.36xzr 8.80.36(844,916)xx 斤總體：r=60群樣本：r=5群兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計兩個總體參數(shù)的區(qū)間估計總體參數(shù)總體參數(shù)符號表示符號表示樣本統(tǒng)計量樣本統(tǒng)計量均值之差比例之差方差比兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立大樣本)兩個總體均值之差的估計(大樣本)1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布，1、 2已知若不是正態(tài)分布

26、, 可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)兩個樣本是獨立的隨機樣本2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計量 z兩個總體均值之差的估計 (大樣本)1.1， 2已知時，兩個總體均值之差1-2在1- 置信水平下的置信區(qū)間為兩個總體均值之差的估計(例題分析) 兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù)兩個樣本的有關(guān)數(shù)據(jù) 中學(xué)中學(xué)1中學(xué)中學(xué)2n1=46n1=33s1=5.8 s2=57.2861x782x兩個總體均值之差的估計(例題分析)兩個總體均值之差的區(qū)間估計(獨立小樣本)兩個總體均值之差的估計(小樣本: 12 22 )1.假定條件兩個總體都服從正態(tài)分布兩個總體方差未知但相等：1=2兩個獨立的小樣本(n130和n230)2.總體方差的合并估計