計(jì)算機(jī)控制技術(shù)13離散系統(tǒng)的能控(觀測)性及穩(wěn)定性

1、11/5/202111/5/20211 1第三節(jié)第三節(jié) 線性離散定常系統(tǒng)的線性離散定常系統(tǒng)的能控能控( (觀測觀測) )性及穩(wěn)定性性及穩(wěn)定性11/5/202111/5/20212 2若存在若存在控制序列控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(l n)能將任意初始狀態(tài)能將任意初始狀態(tài)x(0)=x0在在第第l步步上到達(dá)零態(tài)上到達(dá)零態(tài)x(l)0，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的。)()()1(khukgxkx 對于對于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：若存在若存在控制序列控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(l n)能將初始狀態(tài)能將初始狀態(tài)x(0)=x0 =0在在第

2、第l步步上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能上到達(dá)任意終端狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能達(dá)的。達(dá)的。11/5/202111/5/20213 3：對于：對于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：定義判別陣如下：定義判別陣如下： hgghhqnc1 )()()1(khukgxkx 如果如果g非奇異陣，則式非奇異陣，則式(1)是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充分必要條件；充分必要條件；如果如果g是奇異陣，則式是奇異陣，則式(1)是系統(tǒng)是系統(tǒng) 狀態(tài)完全能控的狀態(tài)完全能控的充分條件。充分條件。 nhgghhrankrankqnc 1則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的則系統(tǒng)狀態(tài)完全能達(dá)的充分必要條件充分必要

3、條件是：是：（1）11/5/202111/5/20214 4)()0()(101ihugxgkxkiikk )()()1(khukgxkx uquunuhgghhnhunghuhugihugnxcnnniin )0()1()1()1()2()0()()(11101線性定常離散系統(tǒng)線性定常離散系統(tǒng)解為解為所以所以0)0( x)()0()(101ihugxgnxniinn 所以所以11/5/202111/5/20215 5 uquunuhgghhnhunghuhugihugxgcnnniinn )0()1()1()1()2()0()()0(111010)( nx所以所以ng)0(xgnng)0(x

4、gnnr)0(xgnnr)0(xgn11/5/202111/5/20216 6如果一個離散時間系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時如果一個離散時間系統(tǒng)為連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的時間離散化，由于不論間離散化，由于不論a是否為非奇異陣，是否為非奇異陣， 必可必可逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng)，逆，即是非奇異的。所以，連續(xù)系統(tǒng)離散后得到的系統(tǒng)，其能控性和能達(dá)性等價。其能控性和能達(dá)性等價。ateg 連續(xù)時間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價，而離散時間系統(tǒng)則連續(xù)時間系統(tǒng)可達(dá)性和可控性等價，而離散時間系統(tǒng)則不完全相同。離散時間系統(tǒng)，如果矩陣不完全相同。離散時間系統(tǒng)，如果矩陣g非奇異，則系非奇異，則系統(tǒng)

5、的能控性和能達(dá)性等價。如果統(tǒng)的能控性和能達(dá)性等價。如果g奇異，則不可達(dá)的系奇異，則不可達(dá)的系統(tǒng)，也可能可控。所以：統(tǒng)，也可能可控。所以：可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng)可達(dá)系統(tǒng)一定可控，可控系統(tǒng)不一定可達(dá)。不一定可達(dá)。0 ng此時，對任意的此時，對任意的x(0)，均有，均有 ，不管，不管qc是否滿秩，均是否滿秩，均能找到能找到u0。所以，當(dāng)。所以，當(dāng)g是奇異時，是奇異時， qc滿秩是判斷能控性的充滿秩是判斷能控性的充分條件，而不是必要條件分條件，而不是必要條件0)0( xgn11/5/202111/5/20217 7：1 1）只討論使任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終）只討論使任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)

6、移到零態(tài)，或零態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步。端狀態(tài)的控制序列是否存在，不涉及具體轉(zhuǎn)移幾步。2 2）對于）對于n n階階sisi定常系統(tǒng)，若在第定常系統(tǒng)，若在第n n步上不能將初始狀態(tài)（零態(tài)）步上不能將初始狀態(tài)（零態(tài)）轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在轉(zhuǎn)移到零態(tài)（任意終端狀態(tài)），則在n+1n+1及以后的任何一及以后的任何一步都不能轉(zhuǎn)移。步都不能轉(zhuǎn)移。)(101)()()(011220001)1()1()1(321321kukxkxkxkxkxkx 系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能達(dá)性和能控性。11/5/2021

7、11/5/20218 8 321121011220001121101011220001,1012hgghh故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。故系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控。：首先構(gòu)造能控判別陣：首先構(gòu)造能控判別陣：nrankqc 3 3112201112hgghhqc所以能控性判別陣為：所以能控性判別陣為：求能控性判別陣的秩：求能控性判別陣的秩：11/5/202111/5/20219 9, 2 , 1 , 0, )(21)(4623)1( kkukxkx系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判定系統(tǒng)的狀態(tài)能控性。：g為奇異陣，且有：為奇異陣，且有： nrankghhrankrankqc

8、2114271則系統(tǒng)不完全能達(dá)，由于則系統(tǒng)不完全能達(dá)，由于g奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控。奇異，系統(tǒng)狀態(tài)有可能可控。)0(21)0(4)0(6)0(2)0(3)0(21)0(4623)1(2121uxxxxuxx )0(2)0(3()0(21xxu 如果取：如果?。?)1( x則則x一步回零：一步回零：所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。所以，系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。11/5/202111/5/20211010：對于對于n階線性定常離散系統(tǒng)，階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能其狀態(tài)完全能控且能觀測的充分必要條件是：以下的觀測的充分必要條件是：以下的z z傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)或z z傳遞矩陣的傳遞矩陣的分子分母間沒

9、有零、極點(diǎn)對消。分子分母間沒有零、極點(diǎn)對消。hgziczg1)()( 特征值互異時，特征值互異時，h中不包含元素全為中不包含元素全為0的行；的行；重特征根時，一定不可控。重特征根時，一定不可控。中與每個約當(dāng)小塊首行所對應(yīng)的行，其元素中與每個約當(dāng)小塊首行所對應(yīng)的行，其元素不全為零。不全為零。2個推論（個推論（si系統(tǒng)必不可控；系統(tǒng)必不可控；mi系統(tǒng)，同一特征值對系統(tǒng)，同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)應(yīng)的約當(dāng)塊最后一行所對應(yīng)h中的行，行線性無關(guān)則可控）中的行，行線性無關(guān)則可控）11/5/202111/5/20211111如果根據(jù)有限個采樣周期內(nèi)測量的如果根據(jù)有限個采樣周期內(nèi)測量的y(0)，y(

10、1)，y(l)，可以唯，可以唯一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)一地確定出系統(tǒng)的任意初始狀態(tài)x0 ，則稱，則稱x0為能觀測狀態(tài)。如果為能觀測狀態(tài)。如果系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能觀測的，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)能觀測的。定理：對于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測的充要條件定理：對于線性離散定常系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能觀測的充要條件是其能觀測性判別矩陣：是其能觀測性判別矩陣：nrankqo 滿秩滿秩即：即： ttnttttnocgcgccgcgcq11)( )()()()()()1(kdukcxkykhukgxkx對于對于n階線性定常離散系統(tǒng)：階線性定常離散系統(tǒng)：11/5

11、/202111/5/20211212)(010001)(),(210021002)1(kxkykxkx ：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測性：設(shè)線性定常離散系統(tǒng)方程如下，試判斷其能觀測性 0400042100210020210020210022100210020100012cgcg：320400040210020100012 rankcgcgcrankrankqo系統(tǒng)狀態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)不完全能觀測不完全能觀測11/5/202111/5/20211313：對于對于n階線性定常離散系統(tǒng)，階線性定常離散系統(tǒng)，其狀態(tài)完全能控且能觀測的其狀態(tài)完全能控且能觀測的充分必要條件是：以下的充分必要條件是：以

12、下的z z傳遞函數(shù)或傳遞函數(shù)或z z傳遞矩陣的分子分母間傳遞矩陣的分子分母間沒有零、極點(diǎn)對消。沒有零、極點(diǎn)對消。hgziczg1)()( 特征值互異時，特征值互異時，c中不包含元素全為中不包含元素全為0的列；的列；重特征根時，一定不可觀測。重特征根時，一定不可觀測。中與每個約當(dāng)小塊首列所對應(yīng)的列，其元素中與每個約當(dāng)小塊首列所對應(yīng)的列，其元素不全為零。不全為零。2個推論（個推論（so系統(tǒng)必不可觀；系統(tǒng)必不可觀；mo系統(tǒng)，同一特征值系統(tǒng)，同一特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對應(yīng)對應(yīng)的約當(dāng)塊首列所對應(yīng)c中的列，列線性無關(guān)，則可觀測）中的列，列線性無關(guān)，則可觀測）11/5/202111/5/20211414：

13、對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)，離散化后其狀態(tài)能控性和能觀測性是否發(fā)生變化。能觀測性是否發(fā)生變化。：已知連續(xù)系統(tǒng)：已知連續(xù)系統(tǒng)：是狀態(tài)完全能控且能觀測的。請寫出其離散化方程，并確是狀態(tài)完全能控且能觀測的。請寫出其離散化方程，并確定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期定使相應(yīng)的離散化系統(tǒng)能控且能觀測的采樣周期t的范圍。的范圍。 xyuxx01,100110 ： 先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：先求連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣： ttttsssssslsslasiletatcossinsincos)1/()1/(1)1/(1)1/(11)()(222211111 11

14、/5/202111/5/20211515所以：所以：tttttgcossinsincos)( ttdtttttbdtthttsincos110cossinsincos)(00 0)1(cossin2sincossin2sinsincoscoscos122 ttttttttttghhqc要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能控，則能控判別陣的行列式非零，即：0sinsincos01 tttcgcqo要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即：要使系統(tǒng)狀態(tài)能觀測，則能觀測判別陣的行列式非零，即：), 2 , 1(, kkt 聯(lián)立上聯(lián)立上2式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控

15、且能觀測，式可知，要使離散化后系統(tǒng)能控且能觀測，t必須滿足：必須滿足：11/5/202111/5/20211616：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測的，：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是不能控和不能觀測的，則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測的。則其離散化后的系統(tǒng)也必是不能控和不能觀測的。：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測的，則：對于線性連續(xù)定常系統(tǒng)如果是能控和能觀測的，則其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測的。其離散化后的系統(tǒng)不一定是能控和能觀測的。：離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測性，取決于：離散化后的系統(tǒng)能否保持能控和能觀測性，取決于采樣周期采樣周期t的選擇。的選擇。：線

16、性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測性：線性連續(xù)定常系統(tǒng)離散化后，系統(tǒng)的能控和能觀測性變差了。變差了。11/5/202111/5/20211717z傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即：傳遞函數(shù)的極點(diǎn)全部位于單位圓內(nèi)。即：等價于系統(tǒng)的等價于系統(tǒng)的s平面中所有極點(diǎn)位于平面中所有極點(diǎn)位于s的左半平面。的左半平面。1| z與線性連續(xù)時間系統(tǒng)相似，線性離散時間系統(tǒng)也具有以下與線性連續(xù)時間系統(tǒng)相似，線性離散時間系統(tǒng)也具有以下穩(wěn)定性定理。穩(wěn)定性定理。11/5/202111/5/20211818線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)則系統(tǒng)在平衡點(diǎn)xe=0xe=0處漸近穩(wěn)

17、定的充要條件是：對于處漸近穩(wěn)定的充要條件是：對于任意給定的對稱正定矩陣任意給定的對稱正定矩陣q q，都存在對稱正定矩陣，都存在對稱正定矩陣p p，使得：使得：)()1(kgxkx qppggt 且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是：且系統(tǒng)的李亞普諾夫函數(shù)是： )()()(kpxkxkxvt ： 代替，則有：代替，則有：的導(dǎo)數(shù)用的導(dǎo)數(shù)用對于線性離散時間系統(tǒng)對于線性離散時間系統(tǒng))()(,kxvkxv )()()()()()()()()()()1()1()()1()(kqxkxkxppggkxkpxkxkpgxkgxkpxkxkpxkxkxvkxvkxvttttttt 11/5/202111/5/2021191

18、9 當(dāng)取當(dāng)取 時：時：如果如果 沿任意一解序列不沿任意一解序列不恒等于零，恒等于零，q也可取為也可取為半正定半正定的。的。 )()()(kqxkxkxvt iq ippggt qppggt 仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對稱矩陣仿線性連續(xù)系統(tǒng)，先給出正定對稱矩陣q q，從以下方程中解出實(shí)，從以下方程中解出實(shí)對稱陣對稱陣p p，然后驗(yàn)證，然后驗(yàn)證p p是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。是否正定，是則系統(tǒng)是李氏漸近穩(wěn)定的。 負(fù)定，即：負(fù)定，即：正定正定要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則要使系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則)(,)(kxvkxv 為正定。為正定。ppggqt 11/5/202111/5/20212020試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)試用李氏第二法確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn) 為漸近穩(wěn)定的為漸近穩(wěn)定的k值范圍。值范圍。0 ex根據(jù)根據(jù) 得：得：iq qppggt ?。喝。?100010001020100010010201000332313232212131211332313232212131211pppppppppkpppppppppk：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：已知線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：)()1(kgxkx 其中：其中：0,020100010 kkg11/5/202111/5/20212121 222)2/(13000)2/(1)2/(20001kkkp解得：解得：根據(jù)賽爾維斯特法則：如