高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.1 函數(shù)與方程 3.1.1 方程的根與函數(shù)的零點學案 新人教A版必修1

1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點學習目標：1.理解函數(shù)零點的概念以及函數(shù)零點與方程根的關(guān)系(易混點)2.會求函數(shù)的零點(重點)3.掌握函數(shù)零點的存在性定理并會判斷函數(shù)零點的個數(shù)(難點)自 主 預(yù) 習·探 新 知1函數(shù)的零點對于函數(shù)yf(x)，把使f(x)0的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)的零點思考1：函數(shù)的零點是函數(shù)與x軸的交點嗎？提示不是函數(shù)的零點不是個點，而是一個數(shù)，該數(shù)是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標2方程、函數(shù)、函數(shù)圖象之間的關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點3函數(shù)零點的存在性定理如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且

2、有f(a)·f(b)<0.那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得f(c)0，這個c也就是方程f(x)0的根思考2：該定理具備哪些條件？提示定理要求具備兩條：函數(shù)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；f(a)·f(b)<0.基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)所有的函數(shù)都有零點()(2)若方程f(x)0有兩個不等實根x1，x2，則函數(shù)yf(x)的零點為(x1,0)(x2,0)()(3)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，則一定有f(a)·f(b)<0.()答案(1)×(2)×(3)×2函數(shù)

3、y2x1的零點是()a.b.c. d2a由2x10得x.3函數(shù)f(x)3x4的零點所在區(qū)間為()【導學號：37102345】a(0,1) b(1,0)c(2,3) d(1,2)d由f(1)341<0，f(2)945>0得f(x)的零點所在區(qū)間為(1,2)4二次函數(shù)yax2bxc中，a·c<0，則函數(shù)有_個零點兩由b24ac>0得二次函數(shù)yax2bxc有兩個零點合 作 探 究·攻 重 難求函數(shù)的零點(1)求函數(shù)f(x)的零點；(2)已知函數(shù)f(x)axb(a0)的零點為3，求函數(shù)g(x)bx2ax的零點. 【導學號：37102346】解(1)當x0時，

4、令x22x30，解得x3；當x>0時，令2ln x0，解得xe2.所以函數(shù)f(x)的零點為3和e2.(2)由已知得f(3)0即3ab0，即b3a.故g(x)3ax2axax(3x1)令g(x)0，即ax(3x1)0，解得x0或x.所以函數(shù)g(x)的零點為0和.規(guī)律方法函數(shù)零點的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實數(shù)根.(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程f(x)0，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來.圖象與x軸的交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.跟蹤訓練1判斷下列函數(shù)是否存在零點，如果存在，請求出；否則，請說明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x

5、)2x13；(4)f(x).解(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函數(shù)的零點是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函數(shù)的零點是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函數(shù)的零點是log26.(4)解方程f(x)0，得x6，所以函數(shù)的零點為6.判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間(1)函數(shù)f(x)ln(x1)的零點所在的大致區(qū)間是()a(3,4)b(2，e)c(1,2) d(0,1)(2)根據(jù)表格內(nèi)的數(shù)據(jù)，可以斷定方程exx30的一個根所在區(qū)間是() 【導學號：37102347】x10123ex0.3712.727.3920.08x323456a.(1

6、,0) b(0,1)c(1,2) d(2,3)(1)c(2)c(1)因為f(1)ln 2<0，f(2)ln 31>0，且函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為(1,2)故選c.(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)exx3，由上表可得f(1)0.3721.63<0，f(0)132<0，f(1)2.7241.28<0，f(2)7.3952.39>0，f(3)20.08614.08>0，f(1)·f(2)<0，所以方程的一個根所在區(qū)間為(1,2)，故選c.規(guī)律方法判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的三個步驟(1)代入：將區(qū)間端點值代入函數(shù)求出函數(shù)的值

7、.(2)判斷：把所得的函數(shù)值相乘，并進行符號判斷.(3)結(jié)論：若符號為正且函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)是單調(diào)函數(shù)， 則在該區(qū)間內(nèi)無零點，若符號為負且函數(shù)連續(xù)，則在該區(qū)間內(nèi)至少有一個零點.跟蹤訓練2若函數(shù)f(x)x(ar)在區(qū)間(1,2)上有零點，則a的值可能是()a2b0c1d3af(x)x(ar)的圖象在(1,2)上是連續(xù)不斷的，逐個選項代入驗證，當a2時，f(1)121<0，f(2)211>0.故f(x)在區(qū)間(1,2)上有零點，同理，其他選項不符合，選a.函數(shù)零點的個數(shù)探究問題1方程f(x)a的根的個數(shù)與函數(shù)yf(x)及ya的圖象交點個數(shù)什么關(guān)系？提示：相等2若函數(shù)f(x)x22xa有零點

8、，如何求實數(shù)a的取值范圍？提示：法一：若函數(shù)f(x)x22xa有零點，則方程x22xa0有根故(2)24a0，故a1.法二：由f(x)0有解可知ax22x(x1)211，即a的范圍為a1.法三：在同一坐標系中分別畫出ya及yx22x的圖象，數(shù)形結(jié)合得a的范圍為a1.已知0<a<1，則函數(shù)ya|x|logax|的零點的個數(shù)為()a1 b2 c3 d4思路探究：b函數(shù)ya|x|logax|(0<a<1)的零點的個數(shù)即方程a|x|logax|(0<a<1)的根的個數(shù)，也就是函數(shù)f(x)a|x|(0<a<1)與g(x)|logax|(0<a<

9、1)的圖象的交點的個數(shù)畫出函數(shù)f(x)a|x|(0<a<1)與g(x)|logax|(0<a<1)的圖象，如圖所示，觀察可得函數(shù)f(x)a|x|(0<a<1)與g(x)|logax|(0<a<1)的圖象的交點的個數(shù)為2，從而函數(shù)ya|x|logax|的零點的個數(shù)為2.母題探究：1.把本例函數(shù)“ya|x|logax|”改為“y2x|logax|1”，再判斷其零點個數(shù)解由2x|logax|10得|logax|x，作出yx及y|logax|(0<a<1)的圖象如圖所示由圖可知，兩函數(shù)的圖象有兩個交點，所以函數(shù)y2x|logax|1有兩個零點

10、2若把本例條件換成“函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點”，求實數(shù)b的取值范圍解由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中分別畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示則當0<b<2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點當 堂 達 標·固 雙 基1函數(shù)f(x)2x23x1的零點個數(shù)是()【導學號：37102348】a0b1c2 d3c由f(x)0得2x23x10，x或x1，所以函數(shù)f(x)有2個零點2函數(shù)f(x)2x3的零點所在的區(qū)間是()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3,4)bf(1)231<0，f(2)43

11、1>0，f(1)·f(2)<0，即f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)3對于函數(shù)f(x)，若f(1)·f(3)<0，則()【導學號：37102349】a方程f(x)0一定有實數(shù)解b方程f(x)0一定無實數(shù)解c方程f(x)0一定有兩實根d方程f(x)0可能無實數(shù)解d函數(shù)f(x)的圖象在(1,3)上未必連續(xù)，故盡管f(1)·f(3)<0，但方程f(x)0在(1,3)上可能無實數(shù)解4若f(x)xb的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，則b的取值范圍為_(1,0)f(x)xb是增函數(shù)，又f(x)xb的零點在區(qū)間(0,1)內(nèi)，1<b<0.5已知函數(shù)f(x)x2x2a.(1)若a1，求函數(shù)f(x)的零點；(2)若f(x)有零點，求實數(shù)a的取值范圍. 【導學號：37102350】解(1)當a1時，f(x)x2x2.令f(x)x2x20，得x1或x2.即函數(shù)f(x)的零點為1和2.(2)要使f(x)有零點，則18a0，解得a，所以a的取值范圍是a.6edbc3191f