第14講兩圓相切的存在性問題-教師版

1、兩圓相切的存在性問題知識結(jié)構(gòu)以函數(shù)為背景的兩圓相切問題兩圓相切的存在性問題模塊一：以函數(shù)為背景的兩圓相切問題知識精講1、知識內(nèi)容:（I）如果兩圓的半徑長分別為&和心，圓心距為，那么兩圓的位置關(guān)系可用心、r2 和之間的數(shù)量關(guān)系表達(dá)，具體表達(dá)如下：兩圓外離0d > R、+ R2 ；兩圓外切Od = & +R> :兩圓相交ok-RjvdvR+Rj兩圓內(nèi)切00<訥-凡|；兩圓內(nèi)含注：兩圓相切包含外切和內(nèi)切兩種情況.（2）設(shè)B（兀2*2），則A、B兩點間的距離公式為：AB = y(x-x2)2 +(7, -y2)2 2、兩圓相切本質(zhì)：線段的和差：3、解題思路：（1）利用

2、兩點距離公式或者是題目中已知條件表示出圓心距及兩圓半徑:（2）根據(jù)條件列方程（可采用相似或勾股泄理等其它方法）；（3）根據(jù)題意對所求的解進(jìn)行取舍.例題解析【例1】如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，拋物線y = ax2 -2ax-4與x軸交于/、B兩點，與y軸交于點C,其中點zl的坐標(biāo)為(-3, 0),點D在線段腦上Q=dC如果以 場 為半徑的OD與OC外切，求0C的半徑.【答案】見解析【解析】拋物線)=“十-2心-4經(jīng)過點d (-3, 0), “(-3)2-2“(-3)-4 = 0,4解得：a =15所求拋物線的關(guān)系式為：y =一4-1515拋物線的對稱軸是直線x = l.當(dāng)x = O時，y = 4,

3、即得 C (0, -4).又由 X (-3, 0),得 AC = J(-3-0)2+(0 + 4)2 =5 = AC = 5.又由/ (-3, 0),得D (2, 0),CD = 7(2-0/+(0 + 47 = 2>/5 .4 Q又由直線x = l為拋物線y = -x2-x-4的對稱軸，得B (5, 0).:BD = 3設(shè)圓C的半徑為兒.圓D與圓C外切,/. CD = BD + r.即得：2弱= 3i解得：/' = 2/5 3 e圓C的半徑長為2點-3【總結(jié)】本題比較基礎(chǔ)，主要考查函數(shù)背景下的兩圓外切問題，注意將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量 關(guān)系進(jìn)行求解即可.10【例2】如圖，在平而直角

4、坐標(biāo)系中，四邊形OABC是等腰梯形，其中OA=.1B=BC = 4,tan= JJ（1）若點P在第四象限，且ATOC與AAOB相似，求滿足條件的所有點P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若OP與以O(shè)C為直徑的OD相切，請直接寫出OP的半徑【答案】見解析【解析】(1) V tanZ5C0= 3 > ZAOC =ZBCO = 60°,等腰梯形OABC,:AB / CO, ZCBA= 120° =ZBAO = 120。. 在 AOAB 中，9：OA=AB=BC = 4.：.ZOBA=ZBOA = 30°. OC = 8要使APOCZMOB,則APOC必為等腰三角形，

5、存在兩種情況.如圖1,當(dāng)PO=PC時，則Z（?PC= 120°:.ZPOC=ZPCO 30° , :.P （4,3如圖2,當(dāng)oc=cp時，則zocp=no ZCOP=ZCPO=30：OC = PC = &:.ZPCD = 60c ,:PD=4 冬,3=4,:.P (12, 一4厲),綜上所述，滿足條件的所有點P的坐標(biāo)為（4,43)或(12, -4>/3 )：(2) OP的半徑4土亠和4“±43如圖1, 加=土匹，3A OP的半徑為4+土色或4-土仝.33如圖2,取0C中點0,作QM丄OP. ZPOC = 30%:.QM =OQ = OC = 2, O

6、M = 2VP (12, -43 ),/. OP = &J:.PM =OP-OM =6®:.PQ = JPM+QM2 = 47 .A OP的半徑為4>/7-4或40 + 4 .綜上，OP的半徑為4+也3或4-土5或40-4或4“ + 433【總結(jié)】本題主要考査平而直角坐標(biāo)系背景下的相似問題及相切問題，注意進(jìn)行分類討論, 并對相應(yīng)的解題方法進(jìn)行歸納整理.11【例3】如圖，線段Rl=l.點刀是線段延長線上的點，lD = a (>1),點0是線段AP延長線上的點，OA2 = OP.OD ,以O(shè)圓心，0A為半徑作扇形OAB. ABOA = 90Q , 點C是弧，毎上的點，

7、聯(lián)結(jié)PC、DC.(1) 聯(lián)結(jié)交弧毎于E,當(dāng)a = 2時，求BE的長:(2) 當(dāng)以PC為半徑的0P和以CD為半徑的°C相切時，求a的值；(3) 當(dāng)直線DC經(jīng)過點D且滿足PC.OA = BC.OP時，求扇形O,購的半徑長.【答案】見解析.【解析】(1)過點O作OF丄BE,垂足為F. 設(shè)Q4 = x,貝lJOP = x-l, OD = x+a；： OA2 = OP OD、即 A2 =Cv-l)(X + d),解得：X = :"一1：.OA = ,=丄，OD = ；"一 1 “ 一 1 "一 1當(dāng)a = 2時，可得：04 = 2，OD = 4, ：BD = 2$

8、易得 ABOFsbdO, OB OD又03 = OA = 2. :.BF =邁、:.BE = KL 55(2)當(dāng)點C與點A重合時,CD AD當(dāng)點C與點A不重合時，聯(lián)結(jié)OC.VOC = Q4, A OC2=OP OD；OP oc即= t XZCOP=ZDOC, oc OD: NOCPs gg、2 = 22 = “,PC ocCD = aPC；又n>l,:CD>PC；VOP和OC相切，PC是圓心距,.-.OP和OC相只能內(nèi)切：:.CD-PC = PC； 即 uPC - PC = PC ； 解得：“ =2(3) 聯(lián)結(jié)BP、OC: OCPsODC、:. ZOCP = ZD:： OC = O

9、B、:. AOBC = ZOCB : ZD + ZOBC = 90°, Z(7CP + ZOC = 90。，即 Z2?CP = 90。.: PC OA = BC OP，OA = OB , PC _OP又 ABOP = ZBCP = 90°, M3OP s SBCP: OB BP , = = 1:CB BPCB = OB , CB = OB = OC；OBC是等邊三角形， Z(?BC = 60°:在 RtBOD 中，ZfiOD = 90°> tanZDOB = = 6/> OB即 a = tan 60° = >/3 OA = &

10、quot; = § + 忑. “一1 2即扇形OAB的半徑長為上空.2【總結(jié)】本題主要考查扇形背景下的兩圓相切問題，注意將位置關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)呈:關(guān)系進(jìn)行計算，另外第(3)問中注意對所給岀的條件進(jìn)行分析，從而找岀相似的三角形進(jìn)行求解.模塊二：以幾何圖形為背景的兩圓相切問題）知識精講1、知識內(nèi)容：（1）如果兩圓的半徑長分別為&和仏，圓心距為，那么兩圓的位置關(guān)系可用&、心和 之間的數(shù)量關(guān)系表達(dá)，具體表達(dá)如下：兩圓外離Od >盡+鳥；兩圓外切Od = & + R,;兩圓相交 oR-Rj<d<R+/?2；兩圓內(nèi)切=兩圓內(nèi)含 <=>o<j

11、 <!/?,-/?，!，注：兩圓相切包含外切和內(nèi)切兩種情況.2、兩圓相切本質(zhì)：線段的和差；3、解題思路：（1）根據(jù)動點的運(yùn)動方式表示出相關(guān)線段的長度；（2）利用幾何圖形的相關(guān)性質(zhì)表示岀線段間的關(guān)系：（3）根據(jù)相似的性質(zhì)或者是勾股左理或者是兩圓相切的關(guān)系等列出有關(guān)未知數(shù)的方程;（4）求出方程的解，并根據(jù)題意進(jìn)行取舍.例題解析【例4】 如圖，已知：在比ABC中，射線2M/EC, P是邊EC上一動點，ZAPS. PD 交射線zL憶于點聯(lián)結(jié)CD. .IB = 4, BC=0 乙8 = 60°（1）求證：AP2 = AD.BP :【答案】見解析.M（2）如果以,3為半徑的04與以BP為半

12、徑的03相切，求線段腫的長度.V ZAPD=ZB. :.MPD s SPBA AD AP* A?" BP AP1 = ADBP （2）過點/作，血丄EC,垂足為點H【解析】(1) 9：AM/BC. :. ZR1D=ZAPB.TZB = 60° , AB = 4. :.BH=2, AH =2爲(wèi).設(shè) BP = x、那么 PH =|x-2| AP2 =(x-2)2+(2V3 )2 =x2-4x + 16 .初工 / j+16BPx 4 r + 16(i)當(dāng) OA 與外切時，AB = AD+BP 即:+ .v = 4.x整理，得：x2-4a + 8 = 0.VA = 42-4x8&

13、lt;0. 此方程無實數(shù)解.v 4 Y + 6(ii)當(dāng)04與03 內(nèi)切時，AB = AD-BP 即 -x =4.當(dāng)斗' + 16_兀=4吋,解得x = 2；x當(dāng)x_4.°16=4,此方程無解.x綜上所述，如果兩圓相切，那么BP=2.【總結(jié)】本題比較基礎(chǔ)，主要考査幾何背景下的兩圓相切問題，注意將位巻關(guān)系轉(zhuǎn)化為相應(yīng) 的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行分類討論.【例5】如圖，在AABC中，=BC= 12,點E、卩分別在邊BC. AC上（點F不與點A. C重合）,EF/AB.把AABC沿直線翻折，點C與點D重合，設(shè)FC = x.（1）求ZB的余切值；（2）當(dāng)點刀在的外部時，DE、DF分別交，購于M

14、、N、若MN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出定義域:（3）（直接寫出結(jié)果即可）以點E為圓心，BE為半徑的OE與邊FC, 有公共點時，求X的取值范圍：/ 一個公共點時，求X的取值范圍；/ 個公共點時，求X的取值范國./【答案】見解析.B 7e圖1【解析】（1）如圖1作AH丄BC垂足為/ AB = AC=O. BC = 12>:. BH = CH=6:.ah = Jab'1bh'=8,6_384(2) :EFHAB、%, A 5E = 12-x 55: /CEF = ZDEF , EF仆 AB,:.ZBME = ZDEF , /CEF = ZB、:.ZBME = ZB, :

15、. ME = BE = 2-x,512 DM = DE-ME =厶一2 512 10.DM> -DE.fKr x 2MN _ 5£F 6x/ y = 2x-10 （5 < x< 10）（3）當(dāng)0<x< 或巴vx<10時，OE與邊AC沒有公共點：189 當(dāng)"¥或善3<5時，©E與邊AC有一個公共點： 5<x< IM, OE與邊AC有兩個公共點.9【總結(jié)】本題主要考査幾何圖形背景下的銳角三角比及相似的綜合，第（3）問中，主要從 臨界點區(qū)分即可，由于是圓與邊的交點個數(shù)，因此要從多個角度考慮.隨堂檢測【習(xí)題1

16、】如圖，在梯形2BCD中、AD卄BC、ZJ = 90° 0 = 615 = 8, sinC = ,點P在射線DC匕 點0在射線.15上，且卩0丄3設(shè)DP = x.若以點E為圓心、BQ為 半徑的OB與以點C為圓心.CP為半徑的°C相切，求線段”的長.【答案】見解析【解析】延長B、CQ相交于點S,由題意條件，易得BC=12.:ADHBC 且 PC =12, :.AD=-BC,2聖=聖=豈丄:.SD = DC=10, SA = = 8.SB SC BC 2VZ)P = x, :.SP = x+l0 由感PQs £AD、得： =-SP SA 45557 S0 = -(x+

17、lO) t BQ = 16一尹+ 10) = 一寸x +當(dāng)03與oc相切時，有三種情況：（二）當(dāng)點P在線段DC上，且點。在線段.毎上時，只有可能兩圓外切,S 7O由 BO+CP = BC, 一二 x + f + 10 x = 12,解得：a=-:彳 23（二）當(dāng)點P在線段DC上，且點0在線段的延長線上時，兩圓不可能相切;（二）當(dāng)點P在線段DC的延長線上，且點。在線段MB的延長線上時，氣 7此時= -丄，CP = x10,42若兩圓外切，BO+CP = BC,即？x-? + x-10 = 12,解得：x =:若兩圓內(nèi)切，BQ-CP = BC, El卩詁 f 10） =12：57由一x （x 10

18、） = 12 ,解得：x = 22 ：42c 7由一/一一一&一10） = 12,解得：x = -7442綜上所述，與OC相切時，線段DP的長為2或聖或22.33【總結(jié)】本題主要考查梯形背景下的兩圓相切問題，本題綜合性較強(qiáng)，要從多個角度考慮問題，首先要分析動點的位置，其次相切問題下要分為內(nèi)切和外切兩種情況進(jìn)行討論.【習(xí)題2】如圖 1,已知梯形中,ADHBC、ZP = 90c , BC=5, CP = 3, cotB=l.點P是邊BC上的一個動點（不與點B、C重合），過點P作射線PE,使射線PE交射線 于點 E, ZBPE= ZCPD（1）如圖2,當(dāng)點E與點/重合時，求ZDPC的正切值：

19、（2）當(dāng)點E落在線段M上時，設(shè)BP = x, BE = y,試求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫岀x的取值范圍；（3）設(shè)以恥長為半徑的03和以.3為直徑的0O相切，求BP的長.【解析】（1）過點A作丄BC,垂足為點H. 由題意得，AH = DC = 3.在RtMPH中，V cotB = U 3, AB = 3邁由BC = 5 ,可得C7/=2 易證WHP竺3CP HP = CP=.:.taiiZ£)PC = 3.（2）過點E作£G丄BC,垂足為點G 在加嚨中,BG = EG = y,.S爭. ZBPE = ZCPD,tail ZBPE = tail 乙CPD 可得W?A-Ty

20、解得：$=仝8-x兀的取值范用為0<x<4.II（3）聯(lián)結(jié)80,過點O作O0丄BC, 在RtAOBQ中，得BO = 5和0。外切時，BE + AO = BO,即 y + l = 5,將=也代入上式，8-x得分式方程竺=48-x解得：-¥ = 48>/2 64 :經(jīng)檢驗.x = 48V2-64是方程的根且符合題意.E當(dāng) 03 和 0O 外切時，x = 48x/2-64.QB和0。內(nèi)切時，BE-AO = BO,得BE = 6設(shè)EP與AD的交點為M,rln 6 3>/2 2x 8、卩=6x解得牙=16_8血:經(jīng)檢驗.x = 16-8>/2是方程的根且符合題意.

21、當(dāng)0B和0O內(nèi)切時，乂 = 16-8返綜上所述：當(dāng)0B與0O相切時，腫的長是4&/I-64或16-8血【總結(jié)】本題考查的是直角梯形、相似三角形、銳角三角比及兩圓相切的相關(guān)知識，綜合性 較強(qiáng).解答時要注意數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論思想的綜合運(yùn)用.圖3【習(xí)題3】如圖，在梯形皿）中，3C" 3磁,込8亦"亠¥，點P從點B開始沿BC邊向終點C以每秒3個單位的速度移動，點O從點D開始沿DA 邊向終點/以每秒2個單位的速度移動，設(shè)運(yùn)動時間為/秒.如果0P的半徑為6, O（2 的半徑為4,在移動的過程中，試探索：f為何值時OP與OQ外離、外切、相交？【答案】見解析【解析】

22、過點D作皿丄BC于點E （如圖1）.v ZJ5C= 90° , ADHBC、. .DE = AB = S DF 4 vsinZBCD = =-,CD 5/.CD = 10當(dāng)OP與O0外切時，P0 = 6 + 4 = 1O,此時PQ = CD故當(dāng)OP與OQ外切時，四邊形PQDC為等腰梯形或平行四邊形.當(dāng)四邊形PQDC為等腰梯形時（如圖2）,過點0作0F丄BC于點F,則QF = AB = 8,所以PF = 6BP = 3 DQ = 2t, AQ = BP + PF = 3f + 6 AD = AQ + QD = 3t + 6 + 2t = 2,6:.t = 一 5當(dāng)四邊形PQDC為平行四

23、邊形時（如圖3）, 過點0作©W丄BC于點M ,同理，得：AQ = BM =BP-PM =3/-6, AD = AQ + DQ = 3t -6 + 2t = 2 ,185二當(dāng)或蘭</M6時，0P與00外離;5、當(dāng)/=$或/ =竺時，OP與00外切；55當(dāng).<t<-時，0P與02相交.55【總結(jié)】本題主要考查梯形背景下的兩元位置關(guān)系的討論，綜合性較強(qiáng)，主要從外切的關(guān)系 入手，求出相應(yīng)的值，再進(jìn)行討論，同時注意動點所處的問題的討論.【作業(yè)1】如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD H BC、ZABC = 90° , .15 = 4,= 3,sinZBCD =,點

24、尸是對角線肋上一動點，過點P作陽丄CD垂足為H5(1) 求證：ZBCD= ZBDC；(2) 如圖，若以P為圓心、"為半徑的圓和以H為圓心、HD為半徑的圓外切時,求DP的長.【答案】見解析.【解析】(1)過點刀作刀G丄EC,垂足為G.在 RtABD 中，ZJ5C= 90°, -45 = 4, -W = 3,:BD=5在 RrADCG 中，ZDGC = 90% sinZBCD = =,5 DC9：AD/BC. ：.1B = DG = 4, AD = BG = 3,:.DC = 2& :.CG = 2,A5C = 3 + 2 = 5,:BD=BC、:二BCD=：BDC.(

25、2)設(shè)= 貝Rp=PB=5-x 二BCD =：BDC、:. sin 乙BCD = sin 乙BDC =跡 5任 R2DH 中，ZPHD = 9$, sinZBDC = - = =,5 PD x:.PH=Lx,:DH=邑,:.Rh=HD=x.555V OP 與 0H 外切，: Rp+Rh=PH .5-x +邏x =匹x,解得：x =蘭仝.554即4【總結(jié)】本題主要考查直角梯形背景下的銳角三角比與兩圓相切的綜合運(yùn)用，由于本題強(qiáng)調(diào) 的是外切，因此只要考慮一種情況即可.【作業(yè)2】如圖，RtMBC中，ZACB = 90° , AC = 4厘米，BC = 3厘米，0O為的 內(nèi)切圓.（1）求0O的半徑：（2）動點P從點3沿向點/以每秒1厘米的速度勻速運(yùn)動，以P為圓心，PB為半 徑作圓.設(shè)點P運(yùn)動的時間為F秒，若OP與0O相切，求r的值.【答案】見解析.【解析】解：（1）如圖1,設(shè)0O與毎、BC、CU分別相切于點I）、E、F,連接 OD、OE、OF,貝BD = BE, CE=CF.圖1.0O為WC的內(nèi)切圓，：.OF 丄 AC，OE 丄 BC，即 ZOFC = ZOE