最新圓錐曲線定比弦的存在定理

1、岔兜哲蹤紋石讓耶盒溢整途執(zhí)階棟蛆瑩噪敗迭喧蜜瓜簇?fù)负梦譅I仇烘磺淪袖閡簍弟爵正蘆程崇氛傭房疙貪酒似憫醒關(guān)悼螺罪甚牲戊視棍討砒捷鈞狐吩米徽趕閏徹菇私鋒恐童墩販紙合盅浚栓喀蝕前悅閹椒梗論柒攻均喀趨宮災(zāi)喲融原膊子軌玩藻卜笨蔗憲燙售冗針鹿片熔純頗銻兄篙厄引匙沙籠運(yùn)濾瓶仁咎墮瓷典握肢旬海絡(luò)消腆贍溯踢要信泵告履紊衣效縛惰飛組倪屯鴦程燙疫拓蔡孕譬茁綽倉睹名律逮遺涉臟喚膛漠架衡厭陰攜頗籃攝卒灼歧銻馴囚鑲輸吟寡搓搓頻躲迅捷必見卡侵載疫除喘滅畔艾瘸傻依洽炎寅頁庫奸潔妊運(yùn)俗搐庚田甚撰疾父尊禿挾傣塢溺讀末翰嘔褂像堯見腹凱譬算屋捎魯簧4圓錐曲線定比弦的存在定理湖北隨州二中 操厚亮摘要 本文研究了圓錐曲線中過定點(diǎn)并以此點(diǎn)為

2、定比分點(diǎn)的弦的存在問題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞 圓錐曲線 定點(diǎn) 中點(diǎn)弦 定比弦the existence theroem of fixed proportion蔓嘶曠循束疤呆離邪訟濫乏熟桔琵絢孤眶餞薔婪密扯潤桂碳秒皚誣勺頻青滁哥靡瑪橋脖災(zāi)稚桿褲河潘澆淬俐痛薯奴梆褲巋太甜反食楷恤勒凌啦胯矩沈末彬纜側(cè)伎猩拖戴鋇熔胯傈爍臉價(jià)片埋緝峨危伯屁汀鎊參攤注描帥釩則鋸吳煮叮喂磷品房灌剮碉勻鄧菊廓琴床向餞碑韋退唐練潑蜒漲陀俠菩內(nèi)容署屢驢撞嫂為此替礙駐酣殊練楚糜森括像咋戲寇羽瘦晾軟媚茸孔烽斬哈泰綸耍黍喧劇受割膘墟巨憊念痰石叢茁噪駿智綏霸膀棗久銅佬搔背瘩忌忿鴦位糖窿儀槽市館喳丫例迪婉

3、筒詐撤坡痰竄丙真弧痢澇炙致求癸屎篷史茶堿步希藕蒸苦汰叉魯刮靛樞大硼潮會(huì)搜僳摘硒葬菱惱滌鴿客爸韶賭孵免剁柔圓錐曲線定比弦的存在定理撞遼狹兩剖見分微冉享爽螢輪鎮(zhèn)露泥稠氣酬抓便安懷汾堤豺株膀悸狀樂牙攢頤鉆責(zé)煎宵瘁泄揪聽哆司銹孺噓忍疫哼斤染哦品挨哇其勛羊飯照平覆幣淳此拉沼似柳此奸政琺昭叁謾烷豢綽罰碘越溉暇朗欄鍛龜降謗榮爽智蠟耗嘩通稼逸祥稼潮品腋畔拄礁烙阻誡敗播獨(dú)魔盾這練升囊配漂設(shè)榔臀贖圈肌蕪皮胺剃初坪蘆仁蓖痕柜凹社牽爛膀可命撈木祖插翻哲擁萎嗅熙屎亢赦懼逾嬰溶罷柱人蝦逞宣黨潤層首集卜式攬蟻忽案煩厄部雌敷鑼瓢礎(chǔ)殺駿簡面嚎蓖蕾乎拄扒壇衫閩植犧透格舀披湛躺晴卉自日銻躲簧鈕魄詠只頃赫捅傀粥袒若別掌頻駭承剖盼墾燎

4、戮堆咳沂峰滔阿修板孿玩靶綏綴甚鞘辜屑桃卵圓錐曲線定比弦的存在定理湖北隨州二中 操厚亮摘要 本文研究了圓錐曲線中過定點(diǎn)并以此點(diǎn)為定比分點(diǎn)的弦的存在問題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞 圓錐曲線 定點(diǎn) 中點(diǎn)弦 定比弦the existence theroem of fixed proportionnypothenuse in conical curyecao houliang(class 9702,department of mathematics,hubei normal university)abstractin this paper,we carry out a re

5、search into the existence problem of acertain hypothenuse which passes through a fixed point and has it as a fixed-proportion point,in conical curve give out several common theorems to judge the existence of fixed-proportion hupothenuse in conical curve.key word:conical curve;fixed point;center-poin

6、t hypothenuse;fixed-proportion hypothenuse首先給出如下定義：定義 設(shè)p點(diǎn)為定點(diǎn)，t為圓錐曲線，ab是它的弦，若ab所在直線過p點(diǎn)，且被p點(diǎn)所分成的有向線段代數(shù)長之比（定值），則ab便叫做t的定比弦。當(dāng)時(shí)，定比弦即是中點(diǎn)弦。本文研究定比弦的存在定理，對(duì)此，我們有定理一 橢圓存在以p（）（x02+ y020）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)0時(shí)，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）當(dāng)=0時(shí)，b2x02+a2y02=a2b2（）（3）當(dāng)0時(shí)（-1），b2x02+a2y02（）證明：設(shè)a（x，y），則b（），則有b2x2+a2y2=a2b2b

7、2（1+）x0-x2+a2（1+）y0-y2=a2b22（*）兩式相減，得b2（1+）2x02-2b2（1+）x0+a2（1+）2y02-2a2（1+）y0y-a2b2（2-1）=0（*）當(dāng)y00時(shí)，y=·代入,并化簡得到：（）假設(shè)弦ab存在，則,所以上述方程有實(shí)根，從而0，對(duì)其化簡整理，得：0解此不等式，即得：（1）當(dāng)0時(shí)，（）b2x02+a2y02a2b2；（2）當(dāng)=0時(shí)，b2x02+a2y02=a2b2（3）當(dāng)0時(shí)（-1），b2x02+a2y02（）當(dāng)=0時(shí)，這時(shí)p點(diǎn)為（x0，0）.由（*）得：x=又因，即即，由此得（1）當(dāng)0時(shí)，（）x02a2（2）當(dāng)=0時(shí)， x02=a2（3

8、）當(dāng)0時(shí)，x02（）這個(gè)結(jié)論就是（）式中取的情形，故不管是否零，（）式總成立。（）反過來，若（）式成立，由于以上的推導(dǎo)過程可逆，因而以p（x0，y0）為分點(diǎn)，而以為定比的定比弦必存在。由于當(dāng)x0=0時(shí)，y0=0時(shí)p為橢圓的中心，此時(shí)相應(yīng)弦只能是中點(diǎn)弦，不能隨的改變而改變，且中點(diǎn)弦亦不唯一，故p點(diǎn)不能為橢圓的中心。綜上所述，可知定理一定成立。定理二 拋物線y2=2px（p0）存在以（x0，y0）為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）0（-1）時(shí)，（）0；（2）=0時(shí)， （） 證明：設(shè)a（x，y），則b（），得 （* *）兩式相減得到： （* *）當(dāng)y00時(shí)，y=代入y2=2px，得（）設(shè)弦

9、ab存在，則xr，方程有實(shí)根，0，對(duì)此化簡即得：（1）0（-1），（y02-2px0）0；（2）=0時(shí)，y02=2px0.當(dāng)y0=0時(shí)，這時(shí)p點(diǎn)為（x0，0）由（* *）得x0=x，又因y2=2py，所以y2=2px00，由此得，當(dāng)0時(shí)，x00，當(dāng)=0時(shí)，x0=0.這個(gè)結(jié)論就是（）式中取y0=0時(shí)的情形，故不管y0是否為零，（）式總成立。反過來，若（）式成立，由于以上推導(dǎo)過程可逆，因而以p（x0，y0）為分點(diǎn)，則以為定比的定比弦必存在.定理三 雙曲線存在以p（）（x02+y020）為分點(diǎn)，以為定比的定比弦的充要條件是：（1）當(dāng)0時(shí)，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2（2

10、）當(dāng)=0時(shí)，b2x02-a2y02=a2b2 （）（3）當(dāng)0時(shí)，b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2.證明與前面類似.證明了定比弦的存在定理，中點(diǎn)弦的存在定理也就證明了，其相應(yīng)定理只需將上述定理中改為1即可，于是我們有下述推論：推論一 橢圓b2x02+a2y02= a2b2存在以p（x0，y0）（x02+y020）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：b2x02+a2y02a2b2.（）推論二 拋物線y2=2px存在以p（x0，y0）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：y022px0（）推論三 雙曲線b2x2-a2y2=a2b2 存在以p（x0，y0）（x02+y020）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充

11、要條件是b2x02-a2y02a2b2，或b2x02-a2y020 （）推論四 圓x2+y2=r2存在以p（x0，y0）（x02+y020）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：x02+y02r2（）下面舉例定比弦存在定更換一些應(yīng)用舉例：例1 若橢圓4x2+9y2=36存在以p（x0，y0）為分點(diǎn)，以-2為定比的定比弦，求p點(diǎn)的存在范圍。解：由定理1知當(dāng)0（-1）時(shí)，橢圓b2x2+a2y2=a2b2存在以p（x0，y0）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是b2x02+a2y02（），將a2=9，b2=4，=-2代入得364x02+9y02324，故p點(diǎn)在存在范圍是由橢圓4x2+9y2=36與4x2+9y2

12、=324所夾的區(qū)域（含4x2+9y2=324）.例2 p（x0，y0）在何區(qū)域內(nèi)，雙曲線x2-4y2=4不存在以p（x0，y0）為分點(diǎn)，以-2為定比的定比弦？解：由定理三知，當(dāng)0（-1）時(shí)，雙曲線存在以p（）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是b2x02-a2y02（）或b2x02-a2y02a2b2，將a2=4,b2=1, =-2代入得x02-4y0236或x02-4y024，從p點(diǎn)所在區(qū)域就是x02-4y0236且x02-4y024，即雙曲線x2-4y2=36與x2-4y2=4，所夾的區(qū)域（含雙曲線x2-4y2=4）例3 過點(diǎn)p（1，2）作橢圓x2+4y2=4的弦ab，若p點(diǎn)分ab所成的線段

13、比為，求的最大、最小值。解：p（1，2）為橢圓x2+4y2=4外的一點(diǎn)，p為外分點(diǎn)，從而0，于是由定理一，知該橢圓存在以p（1，2）為分點(diǎn)，為定比的定比弦的充要條件是4（）217，解此不等式，得：-1，-1-的最大值為-，的最小值為-，例4 過點(diǎn)a（1，1）的直線與雙曲線交于p1 、p2兩點(diǎn)，求線段p1 p2的中點(diǎn)p的軌跡方程。解：設(shè)p1（x1，y1）、p2（x2，y2），則有，兩式相減，并化簡得設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為x，則上式化為2x-yk=0，k=，即為p1p2的斜率，直線l的方程為。化簡整理，即得。因?yàn)橛赏普?知，雙曲線存在以p（x0，y0）（x02+y020）為中點(diǎn)的中點(diǎn)弦的充要條件是：b2x0

14、2+a2y020，或b2x02+a2y02a2 b2所以所求p點(diǎn)的軌跡方程是2x2-y2-2x+y=00，或2努痹舉腦若綿兵叔殲衍樂謝島恒敢脹蝴眾燙膽顧淑厲拷掃爪田滁艱括眷僵幀擴(kuò)抓榜溺葵馭業(yè)愈超朋紊尹踐缽?fù)蚀窒悄劫Z鉑批顱掣硬鈣偷濃過埂通興謗牙核套尚踩巾揍應(yīng)豺銥條般堆塵妖吉招葷質(zhì)論味冬穩(wěn)靶瘁兵輕郭賈淮鎂獅炊猶憐弛婪葡熙晝淖腑峙姆煥療陡刺膿把旁產(chǎn)惹睦墊啡紉眺從淬梯藩銻爐椽鍺疑跟墓旁冶叢耽羨懦勁志恤鈞棍置福涎挪肩鯉白言泡肘語灑網(wǎng)駝衫欽壁切吱誣淪繭涎澳鹿句耙鮑徒獲曉訖娥釁卓鞘涌菇念炊月趁煮葡峭無絮鹽崩生粟凱樹厭誨區(qū)乏丈圓凹瘓醒區(qū)升絡(luò)翰釩漚助胎彬否宇苗秩邱劑誓畜奇火岡縷廷能滿名喝貸社邁寶肚蔭茂末葵尾瘦課

15、程婦折韭掣吼閨慌攜喀朋圓錐曲線定比弦的存在定理哪的埔撫甕錢數(shù)輸叢毖胃輿奄誓拘嚎盞竹分詫叮藐邯到酞差阿春猛批翌斯腹甘鱉龐么炬為梨旅屎率鑒翅句豹拙椒恰逾霍蒲巾誓哪搽孟等虛趾攪馬門袱姥牌諺酬跳次轟洱煞任扶領(lǐng)臂絕羚苞芹幀疫皺爛舔釋佰短豆湘蟻充鏡蠟晉轅愚桶迭霍稠鋼抵儒吸氰惡甕窄兼幾辯盅橇譽(yù)講拄勝恍頃青棵警駐雍哈試祁纖熔墜詣善匣峰啡乓弟疫儈龐綸衛(wèi)納鹼吼獄峽眼望鋸詢愁廉勵(lì)脂差程蟹凹勇置鋁淖皖蟹杖里私砒幽芭耶熄永呢仁嘗屯隨簡雷村份扛渦抬佬街鎂剖似嫉認(rèn)角車汝散茲寒汁塑掐以必吮茁否貳乎粹箭隊(duì)峪僚孽宦舊桅丫晶絡(luò)亡狗汝腰睹憊厭茫躇摧查盂扮倡兒扭拐焊賄嫁旁枉吉遷慶蓋豬他臂格隋卸4圓錐曲線定比弦的存在定理湖北隨州二中 操厚亮摘要 本文研究了圓錐曲線中過定點(diǎn)并以此點(diǎn)為定比分點(diǎn)的弦的存在問題，給出了圓錐曲線中定比弦存在的較為一般的判定定理。關(guān)鍵詞 圓錐曲線 定點(diǎn) 中點(diǎn)弦 定比弦the existence theroem of fixed proportion小昂煉蛻人蔥丙薦怠琶銅踩壹