基本初等函數(shù)與初等函數(shù)名師制作優(yōu)質(zhì)教學(xué)資料

1、a1.1.鄰域鄰域: :. 0, 且且是兩個(gè)實(shí)數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)與與設(shè)設(shè)a).,(au記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),(axaxauxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a,鄰域鄰域的的稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx 記記一些概念說明: 記號(hào)記號(hào)f和和f(x)的區(qū)別的區(qū)別: 前者表示自變量前者表示自變量x和因變量和因變量y之間的之間的對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則, 而后者表示與自變量而后者表示與自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值. 說明: 說明: 函數(shù)的記號(hào)還可用函數(shù)的記號(hào)還可用“g”、“f”、“ ”等等, 此時(shí)函數(shù)就記此時(shí)函數(shù)就記作作y g(x)、

2、 y f(x)、y (x)等等. 同一題中同一題中, 不同的函數(shù)應(yīng)用不同的記號(hào)不同的函數(shù)應(yīng)用不同的記號(hào). 設(shè)數(shù)集設(shè)數(shù)集x、y為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，對(duì)任意為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，對(duì)任意x中的元中的元素素x，按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則，按照某一對(duì)應(yīng)規(guī)則f ，y中都有唯一的一個(gè)數(shù)中都有唯一的一個(gè)數(shù)y與之與之對(duì)應(yīng)，則稱規(guī)則對(duì)應(yīng)，則稱規(guī)則f : x y為定義在為定義在x上的函數(shù)上的函數(shù), 通常簡(jiǎn)記通常簡(jiǎn)記為為 y f(x), 其中其中x稱為自變量稱為自變量, y稱為因變量稱為因變量, x稱為定義域稱為定義域, 記作記作df, 即即df x. 2.函數(shù)概念 v定義 下頁(yè) (1) 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) 010001sgnxxx

3、xy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例1-1xyoxxx sgn(2) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=x 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線x表示不超過表示不超過x 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 若若存在數(shù)存在數(shù)k1, 使對(duì)任一使對(duì)任一x x, 有有f(x) k1, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x上有上界上有上界. 函數(shù)的有界性 若若存在數(shù)存在數(shù)k2, 使對(duì)任一使對(duì)任一x x, 有有f(x) k2, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x上有下界上有下界. 若若存在正數(shù)存在正數(shù)m, 使對(duì)任一使對(duì)任一x x, 有有|f(x)| m, 則稱函數(shù)

4、則稱函數(shù)f(x)在在x上有界上有界; 如果這樣的如果這樣的m不存在不存在, 則稱函數(shù)則稱函數(shù)f(x)在在x上無(wú)界上無(wú)界. 下頁(yè)3.3.函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): :單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性例、判斷函數(shù)的奇偶性.11ln21. 1xxy ) 1ln(. 22 xxy2. 4xxeey 2. 3xxeey xxysin. 53 1、奇，2、奇，3、偶，4、奇，5、偶，6、偶xxxycos)|(|. 62 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì): :單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性4323xx或 62xx712x例、例、 求函數(shù)求函數(shù)y=+arcsin的定義

5、域的定義域.。， 3.基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xy2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxya4）三角函數(shù)）三角函數(shù) 與反三角函數(shù)與反三角函數(shù) 冪函數(shù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).oxy)1 , 1(112xy xy xy1 xy 2）指數(shù)函數(shù)）指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayx3）對(duì)數(shù)函數(shù)）對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxay xay)1( )1( axyalog xya1log ) 1( a4）三角函數(shù)）

6、三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin 與反三角函數(shù)與反三角函數(shù)-1,1，值域：，值域：定義域：定義域：r:2,2,sin的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxyarcsinxy 22,1 , 1 yx值域值域定義域定義域arcsinyx反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xycos 余弦函數(shù)余弦函數(shù)反反余余弦弦函函數(shù)數(shù):, 0,cos的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxy yx0,1 , 1值域值域定義域定義域arccosyx xycot arc:), 0(,cot的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxy yx0),(值值域域定定義義域域cotyarcx xycot 余切函數(shù)余切函數(shù)r，值域：，值域：定義域：定義域： kx 反反余余切切函函數(shù)數(shù)

7、22 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan r2，值域：，值域：定義域：定義域： kx :)2,2(,tan的的反反函函數(shù)數(shù)求求 xxyarctanyx 反反正正切切函函數(shù)數(shù)22),( yx值值域域定定義義域域(1)cot2xy ,uy ,cotvu .2xv 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示一個(gè)式子表示的函數(shù)的函數(shù),稱為稱為初等函初等函數(shù)數(shù).*分段函數(shù)不是初等函數(shù)分段函數(shù)不是初等函數(shù)*2sin (31)(2)xye 例：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)例：分析下列復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)uye ，2

8、,uv sin,vw 31wx4.復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)定義定義:,自變量x,中間變量u,因變量y2xxeex2xxeexxxxxeeeechxshxxxxxxeeeeshxchxx雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)雙曲正弦雙曲正弦sh, 雙曲余弦雙曲余弦ch,雙曲正切雙曲正切th, 雙曲余切雙曲余切cth等都是初等函數(shù)等都是初等函數(shù).例例1 1).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)解解 1)(),(1)(,)()(xxxexfx,1)(10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;20 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 1 x,1)(20時(shí)時(shí)

9、當(dāng)當(dāng) x, 0 x或或, 12)( xx;2 x, 0 x或或, 11)(2 xx; 01 x綜上所述綜上所述.2, 120011, 2,)(2122 xxxxxexexfxx ).(,0, 10, 2)(,1,1,)(2xfxxxxxxxxexfx 求求設(shè)設(shè)例例1 1雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2xxeeshx雙曲正弦chxyshxy),(:d奇函數(shù)奇函數(shù).2xxeechx雙曲余弦),(:d偶函數(shù)偶函數(shù).1、雙曲函數(shù)、雙曲函數(shù)xey21 xey 21xxxeeeechxshxthxx雙曲正切奇函數(shù)奇函數(shù),),(: d有界函數(shù)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式雙曲函數(shù)常用公式;)(shychxchyshxyx

10、sh;)(shyshxchxchyyxch; 122xshxch;22chxshxxsh.222xshxchxch2、反雙曲函數(shù)、反雙曲函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù),),(: d.),(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在arshxy)1ln(2xxarshxy反雙曲正弦.), 1內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在), 1 : darchxy反雙曲余弦).1ln(2xxarchxyarchx y.11ln21xx )1 , 1(: d奇函數(shù)奇函數(shù),.)1 , 1(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在 y反雙曲正切反雙曲正切artharthxy xarthx y例例1 已知函數(shù) ,求 . 1) 2(xxf)1(xf解解 321) 2(xxxf31)1(xxf例例2 已知函數(shù) ,求 . 21111xxf xf2112112111111222xxxxxxf解解 3)(xxf, 1|, 1, 1|, 0, 1|, 1)(xxxxfxexg)()()(xfgxgf和0, 10, 00, 1)(xxxxgf1, 1,1, 111,)(1xxexxexfg或，求，求， 例例3._)(,0,0, 0)(,0