高等數(shù)學(xué)：9_7 方向?qū)?shù)與梯度(新)

1、1一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 9.79.7 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度2l),(yxP( , )( , )( ),( )f x yP x yU PPlPlPU Pl 設(shè)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，自點.設(shè)是與射線 同方向向量的方向角，并設(shè)為 上的另一點，且引射線。),(),(limlim00yxfyyxxff( , ).zf x yfllP則稱此極限為在點處沿方向 的，記作方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)22()()coscosxyxy 其中，P若下列極限存在，定定義義：一、方向?qū)?shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義3(1)(,)coscosxyP xx yyxy ，有約束，在直線上，且1(2)( , )

2、( , )( , )( ,1,0).xxfx yfx yzf x yP x yxe 若存在，則是在點沿著的軸正方向?qū)?shù)向),(),(lim0yxfyyxxflf0(, )( , )limxf xx yf x yx 注釋：注釋：xyxfyxxfx),(),(lim0 xf(/ /)lPxx射線 ：過，軸，且方向沿 軸正向41( , )( , )1,0?zf x yP x yxefx思考：若在點沿 軸正向的方向?qū)?shù)存在，是否存在不不一一定定！0 , 1)0 , 0(122eyxz點處沿在如220()()lim1xyzl 方向?qū)?shù)，200(0,0)()limlim.xxxxzxxx 但，不存在.1

3、, 0),(),(),(),()3(2的方向?qū)?shù)軸正向沿著在點是存在，則若eyyxPyxfzyxfyxfyy5類似地,12( , )( , )( , )( , ) 1,00, 1.xyfx yfx yzf x yP x yxeye 和分別是在點處沿軸負方向和 軸負方向的方向?qū)?shù)01(,)( , )lim()f xx yyf xey沿如方向xyxfyxxfx),(),(lim0),(yxfx0(, )( , )limxf xx yf x yx 6( , )(,)( , )( )f x yfff xx yyf x yxy oxy 證：由于可微，則( , )( , )coscos.f x yP x

4、yfffllxyl在該點沿任意方向 的方向?qū)?shù)存在若在點處可微，則，其中定理：， ， 為 的且方向角，(,)( , )( )f xx yyf x yfxfyoxy0(,)( , )limcoscos .ff xx yyf x yfflxy722(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)122,yyzzexexy又；11212 ().222zl 方向?qū)?shù)(1, 1)11coscos.22lPQ 射線 的方向取， 則，解：21(1,0)(1,0)(2, 1) .yzxePPQ在點處沿從點到點方向的方例向?qū)?shù)求8推廣到三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義0222(,)( , , )lim,()()()coscosc

5、os .ff xx yy zzf x y zlxyzxyzl 設(shè)方向 的其中，,方為, ，向角coscos( , , )cos .fffflxyzf x y zl同理：當(dāng)在此點可微時，則在該點沿任意方向 的方向?qū)?shù)都存在，且9222( , , )236F x y zxyz解 令，446622.xyzPPPPPPFxFyFz則，,4,6,2 .xyznF F F故，2221222236(1,1,1)1(68)(1,1, 1) .nxyzPuxyPzn例 2 設(shè) 是曲面在點處的，求函數(shù)在處沿方指向向 的方外側(cè)的法向量向?qū)?shù)n的方向余弦為231coscoscos.141414，10231coscos

6、cos.141414，22661468PPuxxzxy，22881468PPuyyzxy，2226814.PPxyuzz 11(coscoscos ).7PPuuuunxyz故，11二、梯度的概念00000000( , )(,)(,)(,)( , )(,)xyzf x yDP xyDfxyifxyjzf x yP xy 設(shè)在平面區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點，都可定出一個向量，定此向量稱為在點義:的梯度.00000000(,)(,)(,)(,)xygrad f xyf xyfxyifxyj 記為:?P問題 函數(shù)在點沿哪一方向增加的速度最快12000000,(,) cos(,) cosx

7、yxyffxyfxyl（）leyxfgrad),(0000|(,)|cos .grad f xy.coscos同向的單位向量是與方向設(shè)ljiel.),(00的夾角與向量為梯度其中，leyxfgrad0000(1)0(,)( , )|(,)|.legrad f xyzf x ygrad f xy，即，向量與梯度方向相同時，在此方向的方向?qū)?shù)達到最大值，且最大值為130000(2)(,)( , )|(,)|.legrad f xyzf x ygrad f xy，即，向量與梯度方向相反時，在此方向的方向?qū)?shù)達到最小值，且最小值為00(3)(,)2( , )00.legrad f xyzf x y，即

8、，向量與梯度的方向垂直時，在此方向的變化率為 ，即，方向?qū)?shù)的值為gradfgradf P1422|( , )|.ffgrad f x yxy函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為結(jié)結(jié)論論：15(1,1)(1,1)(1,1)11ffgrad fijijxx 解(1)(1,1)45(2)( 1, 1)4(3)( 1,1)(1, 1)37.44 最大值 梯度方向，最小值 與梯度相反方向，等于零 與梯度垂直方向或者，或22( , )(1,1)3.f x yxxyylx例求在沿與 軸方向夾角為的方向射線 的方向?qū)?shù) 并問在怎樣的方向上

9、此方向?qū)?shù)有最大值、最小值以及等于零？16.類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)( , , )( , , )()Guf x y zP x y zG三元函數(shù)在空間區(qū)域 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點，都可定義向量個梯度一( , , )fffgrad f x y zijkxyz17( , , )uuugrad u x y zijkxyz(23)(42)6xiyjzk(1,1,2)5212 .grad uijk故，2222332(1,1,2 )uxyzxy例4 求在點處的梯度，并問在哪些點處梯度為零？解 由梯度計算公式得3 1(,0)2 2.0在點處梯度為1810879P習(xí)題10, 8, 7, 3, 21922( , )(0,0)zf x yxy思考題：討論在點處的偏導(dǎo)數(shù)是否存在？方向?qū)?shù)是否