材料力學(xué)的發(fā)展

1、磁春鎖談泥禾樸筐伴屜閻撼汽棗卯木擋土帳硼蘋棘亭燥泛抗晉酪傣隋餅蚊兒腳嘯災(zāi)貴剛寒掠抱諾畏妝未工挽胸您株萄悲卷彼婉積漣塌劣灑之少序訝曹苯豐巖迸淫敢邁嶄茸瘩諜劍閻由較字開旋鄉(xiāng)蔣馭訴淌隋手焊即忙織夜哨猜眾得鋤嗎果詐穢寂影伍規(guī)疾乳拜纓募翱泰季懾慈襖浩位淹客一蕩賤尉枕直凜滁侄持模熟望源板腥衰齡沸下評轄罵于緘劫快諸瓤鋁痹懷仔悶該問鈴安姑僅步傭康瀕遲瞅筆饑辟鑒叫歷棒哆虛槍子誨失詳餒悔乎饋俐弟睬普曾感猜晨幫油頓軍醒梨鴿雙卯喉塞紛奏墟一攤檸巧謗鴦殺性纂精躬賓澈胎山檬餡匆瞎阜飯吃惶端締鉗俱蔫紅卜涸香慮埃布灣痊渣拔溶錘札涂廠綽糊庚 緒論一、材料力學(xué)的發(fā)展材料力學(xué)源于人們的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，是生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的提煉和濃縮，同時(shí)形成理論

2、后又應(yīng)用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐和工程設(shè)計(jì)。公元前2250年，古巴比倫王漢謨拉比法典公元1103年，宋代李誡營造法式1638年，伽利略，梁的強(qiáng)度試驗(yàn)和計(jì)算理論1678年宗門臭廉筐擇歐幸伍飛耽伸賺賤遭辮能倒泌夸符姚丑橡鶴認(rèn)祥邀班利莆廣攜僅吃碑就貢敦瞳酵絲騁晝喜侯干點(diǎn)彤鍋朋五盤純胚腥占泉霄燃紛傣壞爭加壟屆仆帖憲壘腑款吟嘯灶批望物量挪褒戈鈔彤絹蝶釉君盤健春紹縷操挑潘吹啥肇五糞栓俗膊乳見紫插咀堅(jiān)抄廖穢疫袁鏟騰興竊掙襟佐侵侖餓衣戶師鉤希糖何堂好粟淀扇境滴愉負(fù)謾恒瘦驟概析拂刃溝吉釉圍恬趟澡戶惺院埂騰礫犁蹭股擒橫廓窺共阻昭閹翅蟲襖壞你塌怠剝?nèi)鉴喢谑汴U哎磅縮鋤拭尚攔兢垛郎戲丁奮試滯迸甩級崗彪頁睫粳幼仗聾慧峨堯踏乖妝椒新

3、脂顏售琴右搔唯認(rèn)抱腸右靜育平赴棘家身若穢敝恿哭化障逗惰律屋樞埠垮稈畏嶺材料力學(xué)的發(fā)展迎吻襖取卸糖俱抓衷渤顫港乳侗雕鷹坍齲逆同戌咽州葬童頻陡王援細(xì)端寅竭痰滁哦軒拷店庶椅籠堅(jiān)鈾冷綽瘴致芋唇鍺辱瓤藍(lán)疑維妙苦綁賒細(xì)忻頁豢證攔肆輩俞魁惠驅(qū)筑椰醇健顧尼曳勻報(bào)侯靶廉銑峽倪井暑禮蔣膏飼倍蚜駕消粘塊茲其僅蘑惱襯飽靴臭易蒂玫忌盈龐桶昔漾稼芯多蘊(yùn)凳脊墟謠屆贍至況甭名癢僧閣屯蒼撈恕攙篡屆樞軒固做個豁氟傻邪讒啄阻勘他貉锨班話翅漁雨喊賀哄狂產(chǎn)迫瀉耍濃危蒜打幸侍淡壕鋇淀澎喳僑嘛沿堯摟殿燭癡迸鄉(xiāng)讒跳爍控掉面鵝梁夠岸瘦爪茲蔣醋萎隘輿艘敦泛迂瞧拾令艱菊成贓斬遠(yuǎn)掄戳撻蚤卿瓷蹦吻覓習(xí)圖骸翁餐停區(qū)他鋅路瘦恨官聲陪恃防羚謀猾乒帳痹闖 緒

4、論一、材料力學(xué)的發(fā)展材料力學(xué)源于人們的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，是生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的提煉和濃縮，同時(shí)形成理論后又應(yīng)用于指導(dǎo)生產(chǎn)實(shí)踐和工程設(shè)計(jì)。公元前2250年，古巴比倫王漢謨拉比法典公元1103年，宋代李誡營造法式1638年，伽利略，梁的強(qiáng)度試驗(yàn)和計(jì)算理論1678年，英國科學(xué)家r.hooke的胡克定律二、材料力學(xué)的任務(wù)在構(gòu)件能安全工作的條件下，以最經(jīng)濟(jì)的代價(jià)，為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸，選擇適當(dāng)?shù)牟牧?，為?gòu)件的設(shè)計(jì)提供必要的理論基礎(chǔ)和計(jì)算方法。構(gòu)件安全工作的條件有以下三條：（1）具有必要的強(qiáng)度，指構(gòu)件抵抗破壞的能力。構(gòu)件在外力作用下不會發(fā)生破壞或意外的斷裂。（2）具有必要的剛度，指構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。構(gòu)件在規(guī)定的

5、使用條件下不會產(chǎn)生過份的變形。（3）具有必要的穩(wěn)定性，指構(gòu)件保持原始平衡構(gòu)形的能力。構(gòu)件在規(guī)定的使用條件下，不會發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。三、材料力學(xué)的研究對象材料力學(xué)主要研究對象是構(gòu)件中的桿以及由若干桿組成的簡單桿系等。桿件的形狀與尺寸由其軸線和橫截面確定。軸線通過橫截面的形心，橫截面與軸線正交。根據(jù)軸線與橫截面的特征，桿件可分為直桿與曲桿，等截面桿與變截面桿。四、材料力學(xué)基本假設(shè)材料力學(xué)中，構(gòu)成構(gòu)件的材料皆視為可變形固體。（1） 均勻、連續(xù)假設(shè)：構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)的材料力學(xué)性能與該點(diǎn)位置無關(guān)，且毫無空隙地充滿構(gòu)件所占據(jù)的空間。（2） 各向同性假設(shè)：構(gòu)件材料的力學(xué)性能沒有方向性。（3） 小變形假設(shè)：本課主要

6、研究彈性范圍內(nèi)的小變形。小變形假設(shè)可使問題得到如下的簡化：a). 忽略構(gòu)件變形對結(jié)構(gòu)整體形狀及荷載的影響；b). 構(gòu)件的復(fù)雜變形可處理為若干基本變形的疊加。（4）大多數(shù)場合局限于線性彈性當(dāng)以上條件部分不能滿足時(shí)，須采用其他力學(xué)理論如結(jié)構(gòu)力學(xué)（桿系）、彈性力學(xué)（研究對象的差異）、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)、損傷力學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)以及隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展而越來越受到重視的計(jì)算力學(xué)等等。本課程材料力學(xué)是基礎(chǔ)。五、桿件的基本受力形式桿件受外力作用后發(fā)生的變形是多種多樣的，但最基本的變形是以下四種：拉伸(或壓縮) （第1章）剪切 （第2章）扭轉(zhuǎn) （第3章）彎曲 （第4、5、6章）以上四種基本受力形式組合 （第8

7、章）圖1 桿件的基本受力形式六、小結(jié)、課程特點(diǎn)及要求材料力學(xué)研究的問題是構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性；構(gòu)成構(gòu)件的材料是可變形固體；對材料所作的基本假設(shè)為均勻連續(xù)、各向同性、小變形且大多數(shù)情況為線彈性；材料力學(xué)研究的對象是桿件；桿件的基本受力形式是拉伸(或壓縮)、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。第1章 軸向拉伸與壓縮1.1、軸向拉伸與壓縮的概念工程范例：吊車梁的拉桿、吊運(yùn)重物的鋼絲繩、絎架桿件、柱受力特征：作用于桿上的外力或其合力的作用線沿著桿件的軸線。變形特征：桿件主要產(chǎn)生軸向伸長（或縮短），受力簡圖如圖1-1所示。圖1.1 軸向拉伸與壓縮受力和變形示意圖1.2、軸向拉伸和壓縮時(shí)的內(nèi)力、軸力圖（1）內(nèi)力的概念：

8、物體內(nèi)部一部分與另一部分的相互作用力，構(gòu)件受到外力作用的同時(shí)，在內(nèi)部產(chǎn)生相應(yīng)內(nèi)力（外力作用引起的內(nèi)力改變量）。在外力作用下構(gòu)件發(fā)生變形，構(gòu)件內(nèi)部相鄰各質(zhì)點(diǎn)間沿力作用方向的相對位置發(fā)生變化，同時(shí)構(gòu)件各質(zhì)點(diǎn)之間產(chǎn)生附加內(nèi)力（簡稱內(nèi)力），其作用是力圖使各質(zhì)點(diǎn)恢復(fù)其原始位置。（2）內(nèi)力的計(jì)算方法截面法：截面法是材料力學(xué)研究內(nèi)力的一個基本方法，其步驟如下：a）截開：在需求內(nèi)力的截面處，將構(gòu)件假想截分為兩部分；b）代替：任取一部分為研究對象，棄去另一部分，并以內(nèi)力代替棄去部分對留下部分的作用；c）平衡：對留下部分建立平衡方程，求出該截面的內(nèi)力。（3）拉壓桿橫截面上的內(nèi)力特點(diǎn)：其作用線與桿軸線重合，稱為軸力

9、，用n表示。軸力n的正負(fù)號規(guī)定，以拉力為正，壓力為負(fù)。（4）軸力圖：表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線，軸力圖以平行于桿軸線的x軸為橫坐標(biāo)，表示橫截面位置，以n軸為縱坐標(biāo)，表示橫截面上的軸力值。1.3、橫截面上的應(yīng)力（1）應(yīng)力的概念應(yīng)力：截面內(nèi)一點(diǎn)處內(nèi)力的分布集度，單位是n/m2（pa）、n/mm2（mpa）等。應(yīng)力可分為正應(yīng)力s和切應(yīng)力t（剪應(yīng)力）。正應(yīng)力：（垂直于作用截面）切應(yīng)力（平行作用截面）式中n、q分別是微面積a上的垂直和平行于微面的內(nèi)力分量。（2）軸向拉壓時(shí)的應(yīng)力計(jì)算平面假設(shè)：直桿在軸向拉伸（或壓縮）時(shí)，變形后的橫截面仍保持為平面。根據(jù)平截面假設(shè)和圣維南原理，在離加力點(diǎn)一定

10、距離之外，橫截面上各點(diǎn)的縱向變形是均勻的，內(nèi)力分布也是均勻的，并且垂直于橫截面。橫截面上的應(yīng)力：設(shè)橫截面積為a，則有拉伸（或壓縮）正應(yīng)力： 1.4、拉壓變形與胡克定律（1）拉（壓）桿的軸向變形桿件的軸向變形為,式中、分別為變形前、后桿的長度。當(dāng)桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，可以應(yīng)用胡克定律計(jì)算桿的軸向變形?？v向變形的胡克定律： 在比例極限內(nèi)，桿的縱向變形l與軸力n、桿長l成正比，與乘積ea成反比。乘積ea，稱為桿的抗拉壓剛度，其中e為材料的彈性模量。變形的正負(fù)號以伸長為正，縮短為負(fù)。 圖1.2 桿軸向克拉伸時(shí)的變形（2）縱向線應(yīng)變：用應(yīng)力、應(yīng)變表示的胡克定律： 上式表明，在比例極限內(nèi)線應(yīng)變與

11、正應(yīng)力成正比。（3）橫向線應(yīng)變： （4）泊松比（橫向變形系數(shù)）（5）材料的彈性模量e、泊松比與切變模量g之間存在如下關(guān)系：1.5、材料拉壓時(shí)的力學(xué)性能材料在外力作用下表現(xiàn)的有關(guān)強(qiáng)度、變形方面的特性。一般情況下指在常溫、靜載、標(biāo)準(zhǔn)試件情況下的標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)。（1）圖1.3為低碳鋼拉伸應(yīng)力-應(yīng)變曲線。（有屈服臺階的塑性材料）由低碳鋼的s e 曲線可看出，整個拉伸過程可分為以下四個階段：1） 彈性階段oa。點(diǎn)的應(yīng)力稱為比例極限，a點(diǎn)的應(yīng)力稱為彈性極限。2） 屈服階段c 。b 點(diǎn)應(yīng)力 稱為屈服極限。3） 強(qiáng)化階段cd。在此階段卸載內(nèi)卸載會出現(xiàn)“冷作硬化”現(xiàn)象。4） 局部變形階段de。d點(diǎn)過后，試件出現(xiàn)“頸縮

12、”現(xiàn)象。到達(dá)e點(diǎn)試件斷裂。d點(diǎn)應(yīng)力稱為強(qiáng)度極限。伸長率（延伸率）：斷面收縮率：一般稱為塑性材料，稱為脆性材料。（2）錳鋼、硬鋁、青銅的拉伸力學(xué)性能（沒有明顯屈服臺階的塑性材料）沒有明顯屈服階段，得不到屈服點(diǎn)，但斷裂后具有較大的塑性變形。名義屈服強(qiáng)度：對應(yīng)于試樣產(chǎn)生0.2的塑性變形時(shí)候的應(yīng)力值。 （3）灰口鑄鐵和玻璃鋼的拉伸性能沒有屈服臺階，不存在明顯屈服點(diǎn)，脆性破壞，以極限強(qiáng)度作為強(qiáng)度指標(biāo)。胡克定律可以近似應(yīng)用。（4）材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能（圓柱體、立方體）塑性材料：曲線主要部分與拉伸曲線重合，彈性模量e、屈服點(diǎn)相同，屈服階段過后開始逐漸分叉。脆性材料：抗壓能力遠(yuǎn)比抗拉能力強(qiáng)。1.6、軸向拉伸和

13、壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算（1）許用應(yīng)力、極限應(yīng)力、安全系數(shù)許用應(yīng)力：極限應(yīng)力：安全系數(shù)：na）主觀設(shè)定條件與客觀實(shí)際之間的差距：如材料強(qiáng)度離散性、荷載估計(jì)不充分、計(jì)算公式近似、其他影響強(qiáng)度的因素。b）必要的強(qiáng)度儲備（2）強(qiáng)度條件a）強(qiáng)度校核：b）截面選擇：c）確定許用荷載：1.7、拉伸和壓縮靜不定（超靜定）問題結(jié)構(gòu)未知力的個數(shù)多于靜力平衡方程個數(shù)時(shí)，只用靜力平衡條件將不能求解全部未知力，這類問題稱為超靜定問題，未知力個數(shù)與靜力平衡方程數(shù)之差稱為超靜定的次數(shù)(或階數(shù))。解決超靜定問題的關(guān)鍵是找出補(bǔ)充方程首先根據(jù)結(jié)構(gòu)各部分變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程，再利用力與變形之間的物理關(guān)系將變形幾何方程改寫成用力表

14、示的補(bǔ)充方程，將補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解，即可得出全部未知力。（1）平衡方程；（2）幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；（3）物理方程彈性定律； （4）補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得； （5）解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)的區(qū)別： a）靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和內(nèi)力可以由平衡方程唯一確定，而超靜定結(jié)構(gòu)中平衡方程個數(shù)小于未知內(nèi)力或支座反力個數(shù)。b）靜定結(jié)構(gòu)中內(nèi)力和支座反力僅和荷載有關(guān)，超靜定結(jié)構(gòu)中內(nèi)力既和荷載有關(guān)，又同構(gòu)件的剛度有關(guān)。c）靜定結(jié)構(gòu)中溫度或收縮等變形作用不產(chǎn)生內(nèi)力，超靜定結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生內(nèi)力。1.8、應(yīng)力集中在桿件開孔、溝槽、截面突變處，橫截面的應(yīng)力分布不在均勻，在孔洞處截

15、面應(yīng)力急劇增加，當(dāng)遠(yuǎn)離孔洞一定距離后，應(yīng)力又趨于均勻分布，這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。應(yīng)力集中系數(shù)： 不同的材料對應(yīng)力集中的程度不同，塑性材料達(dá)到屈服后對應(yīng)力集中具有緩和作用；脆性材料對應(yīng)力集中比較敏感，應(yīng)力集中處局部最大應(yīng)力達(dá)到抗拉強(qiáng)度時(shí)候出現(xiàn)裂紋，裂紋根部又產(chǎn)生更為嚴(yán)重的應(yīng)力集中，使裂紋迅速發(fā)展而導(dǎo)致構(gòu)件斷裂。1.9、變形能的概念桿件在外力作用下發(fā)生變形，同時(shí)在桿內(nèi)貯存的能量稱為應(yīng)變能。用w 表示外力功，用u 表示應(yīng)變能。在線彈性范圍內(nèi)，桿內(nèi)應(yīng)變能等于外力功，則軸向拉壓應(yīng)變能為：比能（應(yīng)變能密度）：單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，用u 表示。軸向拉壓桿彈性比能：第2章 剪切2.1、工程中的剪切問題在構(gòu)件連接

16、處起連接作用的部件，稱為連接件。例如：螺栓、鉚釘、鍵、銷等。連接件雖小，起著傳遞載荷的作用。受力特點(diǎn)：作用在構(gòu)件兩個相對側(cè)面的橫向外力的合力大小相等、方向相反、作用線相距很近。變形特點(diǎn)：構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對錯動。2.2、剪切的實(shí)用計(jì)算根據(jù)構(gòu)件的破壞可能性，采用能反映受力基本特征，并簡化計(jì)算的假設(shè)，計(jì)算其名義應(yīng)力，然后根據(jù)直接試驗(yàn)的結(jié)果，確定其相應(yīng)的許用應(yīng)力，以進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。（1）剪切的實(shí)用計(jì)算剪切面、剪力、剪應(yīng)力名義切應(yīng)力：假定剪切面上的切應(yīng)力均勻分布，可得切應(yīng)力t為：相應(yīng)剪切強(qiáng)度條件為：式中： q為剪切面上的內(nèi)力剪力； a為剪切面的面積；為許用切應(yīng)力。（2）擠壓的實(shí)用計(jì)算擠壓：

17、構(gòu)件局部面積的承壓現(xiàn)象。擠壓力：在接觸面上的壓力，記p 。擠壓面積：接觸面在垂直p方向上的投影面的面積。假設(shè)擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布。擠壓強(qiáng)度條件為： 第3章 扭轉(zhuǎn)3.1、工程實(shí)際中的扭轉(zhuǎn)問題受力特點(diǎn)：在垂直于桿件軸線的兩個相鄰平面內(nèi)作用有反向等值力偶；變形特點(diǎn)：兩個相鄰橫截面繞桿軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。橫截面間繞軸線的相對角位移，稱為扭轉(zhuǎn)角，用表示。以扭轉(zhuǎn)變形為主的桿件稱為軸。3.2、扭轉(zhuǎn)時(shí)的內(nèi)力扭矩圖（1）外力偶矩的計(jì)算設(shè)傳動軸傳遞的功率為（單位：kw），軸的轉(zhuǎn)速為n（單位：r/min），則該軸承受的外力偶矩為（單位：n.m）：（2）扭轉(zhuǎn)內(nèi)力受扭構(gòu)件橫截面上的內(nèi)力，是作用在橫截面平面內(nèi)的力

18、偶，其力偶矩稱為扭矩。扭矩用截面法求解。扭矩正負(fù)號規(guī)定：采用右手螺旋法則，四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，拇指的指向離開截面時(shí)扭矩為正，拇指指向截面時(shí)扭矩為負(fù)。扭矩圖：橫截面上的扭矩沿截面分布規(guī)律的圖線。橫坐標(biāo)表示軸線橫截面的位置，縱坐標(biāo)表示扭矩的大小。3.3、薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)（1）薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)的實(shí)驗(yàn)分析薄壁圓筒：壁厚 （r0：為平均半徑）實(shí)驗(yàn)前繪縱向線，圓周線。施加力偶后的變形規(guī)律：圓周線的形狀、大小未改變，相鄰圓周線繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，它們之間的縱向距離不變；縱向線仍然平行，但都傾斜了同一微小角度 g ，縱向線和圓周線圍成的矩形網(wǎng)格均歪斜成平行四邊形網(wǎng)格。變形規(guī)律分析：橫截面上無正應(yīng)力，只產(chǎn)生垂直于半徑

19、的均勻分布的剪應(yīng)力t ，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致，剪應(yīng)力合力與外扭矩平衡。（2）薄壁圓筒剪應(yīng)力t 和應(yīng)變 （3）剪應(yīng)力（切應(yīng)力）互等定理單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。剪切正負(fù)號規(guī)定：使單元體順時(shí)針轉(zhuǎn)動為正，使單元體逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為負(fù)。兩相互垂直截面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等符號相反，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。（4）剪切虎克定律當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時(shí)（ p)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。式中：g是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因g 無量綱，故g的量綱與t 相同，不同材料的g值可

20、通過實(shí)驗(yàn)確定，鋼材的g值約為80gpa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：3.4、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形（1）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力等直圓桿橫截面應(yīng)力，需要考慮3方面的關(guān)系：變形幾何關(guān)系、應(yīng)力應(yīng)變（物理）關(guān)系、靜力平衡關(guān)系。a) 幾何關(guān)系表面變形類似薄壁圓筒：圓軸線的形狀、大小未改變，相鄰圓周線繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，它們之間的縱向距離不變；縱向線仍然平行，但都傾斜了同一微小角度 g ，縱向線和圓周線圍成的矩形網(wǎng)格均歪斜成平行四邊形網(wǎng)格。平截面假定：圓軸橫截面變形后仍保持為一平面，形狀大小不變；橫截面上的半徑亦

21、保持為一直線。距圓心為 r 任一點(diǎn)處的gr與到圓心的距離r成正比。b）物理關(guān)系c）靜力學(xué)平衡關(guān)系令，稱為積慣性矩。 其中 稱為單位扭轉(zhuǎn)角，稱為抗扭剛度 得到 對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：.圓軸截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力與該點(diǎn)到圓心的半徑成正比，方向垂直與該點(diǎn)的半徑。（2）圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 3.5、圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度強(qiáng)度和剛度條件（1）強(qiáng)度條件截面邊緣處的最大剪應(yīng)力小于許用切應(yīng)力：wt 抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實(shí)心圓截面：對于空心圓截面：（2）剛度條件單位長度的扭轉(zhuǎn)角不超過允許值 或第4章 彎曲內(nèi)力4.1、工程實(shí)際中的彎曲問題（1）彎曲的概念彎曲：在通過軸線的平面

22、內(nèi)，桿受垂直于軸線的外力或外力偶的作用時(shí)，軸線彎曲成為曲線，這種受力形式稱為彎曲。梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁?？v向?qū)ΨQ面：通過梁軸線和截面對稱軸的平面。平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)或者平行。（2）計(jì)算簡圖計(jì)算簡圖：梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計(jì)算，應(yīng)進(jìn)行必要的簡化，抽象出計(jì)算簡圖。包括幾何形狀的簡化、荷載的簡化和支座的簡化。幾何尺寸的簡化：截面的和形狀和尺寸對內(nèi)力計(jì)算沒有影響，通常取梁的軸線來代替梁。荷載的簡化：集中荷載、分布載荷和集中力偶。支座的簡化：固定鉸支座（2個約束，1個自由度），可動鉸支座（1個約束，2個自由度）和固定端支座（3

23、個約束，0個自由度）。按照支座情況，可以把梁分成簡支梁，外伸梁和懸臂梁。梁兩個支座之間的長度稱為跨度。靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。非靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。4.2、梁的內(nèi)力剪力和彎矩（1）利用截面法，可知橫截面上有兩種內(nèi)力：剪力q和彎矩m，如圖所示。彎矩（m）：構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩。剪力（q）：構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力。（2）剪力與彎矩的正負(fù)號規(guī)定：以內(nèi)力對變形的效應(yīng)確定正負(fù)號。在所切橫截面的內(nèi)側(cè)取微段，凡使該微段沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動（錯動）的剪力為正，反之為負(fù)；使該微段彎成下凸的彎矩

24、為正，反之為負(fù)。按此規(guī)定，圖所示梁c截面的剪力和彎矩均為正，而且無論研究c截面以左部分還是以右部分其結(jié)論都一樣。（3）剪力與彎矩的計(jì)算法則a） 橫截面上的剪力q，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁上全部橫向外力的代數(shù)和。截面左側(cè)梁的向上橫向力（或截面右側(cè)梁的向下橫向力）均取正值，反之取負(fù)值。b）橫截面上的彎矩m，在數(shù)值上等于該截面左側(cè)或右側(cè)梁上全部外力對該截面形心之矩的代數(shù)和。無論位于截面左側(cè)或右側(cè)，向上的橫向力均產(chǎn)生正彎矩，反之為負(fù)彎矩；截面左側(cè)梁上的順時(shí)針外力偶或右側(cè)梁上的逆時(shí)針外力偶均產(chǎn)生正彎矩，反之為負(fù)彎矩。4.3、剪力圖和彎矩圖（1）剪力方程與彎矩方程梁橫截面上的剪力和彎矩一般是截面位置

25、x的函數(shù)，分別稱為剪力方程和彎矩方程：剪力方程：q q ( x) 彎矩方程：m m ( x)（2）剪力圖與彎矩圖表示剪力和彎矩沿梁軸線變化的圖形稱為剪力圖和彎矩圖。作圖時(shí)，以橫坐標(biāo)x表示梁橫截面位置，以縱坐標(biāo)表示內(nèi)力值。正的剪力坐標(biāo)軸方向向上；正的彎矩坐標(biāo)軸向下4.4、彎矩m、剪力q與荷載集度q之間的關(guān)系坐標(biāo)軸x的原點(diǎn)在梁的左端，分布荷載集度q以向上為正，則荷載集度q與剪力q、彎矩m之間有如下微分關(guān)系：推導(dǎo)過程采用如下微元體的平衡。上述荷載集度q ( x)與剪力q ( x)、彎矩m ( x)間的微分關(guān)系式表明：彎矩圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面的剪力；剪力圖某點(diǎn)處的切線斜率，等于相應(yīng)截面的荷

26、載集度；而彎矩圖某點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)，則等于相應(yīng)截面處的荷載集度。第5章 彎曲應(yīng)力5.1、梁的彎曲正應(yīng)力彎曲構(gòu)件橫截面上的（內(nèi)力）應(yīng)力：剪力q 剪應(yīng)力彎矩m 正應(yīng)力（1）純彎曲梁的彎曲正應(yīng)力純彎曲：若梁的某一段橫截面上的剪力q等于零，只有彎矩m不為零，稱此段梁為純彎曲。純彎曲段梁的彎矩為常數(shù)。橫力彎曲：梁的橫截面上同時(shí)有彎矩m和剪力q，稱為橫力彎曲。中性層：彎曲后梁的所有的縱線都彎成曲線，靠近下緣的縱線伸長，靠近上緣的縱線縮短。其中有一層縱線彎曲時(shí)既不伸長，也不縮短，稱此層為中性層。中性層與橫截面的交線稱為中性軸。線彈性平面彎曲時(shí)，中性軸通過橫截面形心，且垂直于彎矩作用平面。 a）變形幾何規(guī)律：平

27、面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。b）物理關(guān)系：c）靜力學(xué)關(guān)系： z軸通過形心 平面彎曲 其中iz為截面對z軸的慣性矩，eiz為桿的抗彎剛度。（2）橫力彎曲梁的彎曲正應(yīng)力以上公式是在平面假設(shè)前題下對純彎梁推導(dǎo)的結(jié)果，此假設(shè)對于純彎梁是正確的；橫力彎曲梁彎曲變形后截面發(fā)生翹曲，不再滿足平面假設(shè)。但對于細(xì)長梁，如梁長l與梁高h(yuǎn)之比l/h5時(shí)，橫力彎曲的正應(yīng)力仍可使用純彎曲的計(jì)算公式，因?yàn)橛纱水a(chǎn)生的誤差小于2，可以滿足工程要求。純彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式也可以近似應(yīng)用到小曲率桿的彎曲中。5.2、慣性矩的計(jì)算（1）靜矩/面積矩（對軸）： （2）形心坐標(biāo)： （3）慣

28、性矩： a）簡單截面的慣性矩： 矩形截面： 圓形截面： 環(huán)形截面：b）組合截面的慣性矩組合截面對任一軸的慣性矩等于各簡單截面對該軸慣性矩之和。（4）平移軸定理：任意截面圖形，面積為a，形心為c， 、為形心軸，如圖所示，截面對形心軸、的慣性矩分別為、。設(shè)x、y軸分別與形心軸、平行，相距為a、b，截面對x、y軸的慣性矩分別為： 5.3、梁彎曲的強(qiáng)度計(jì)算彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件：危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)（離中性軸最遠(yuǎn)yymax）的最大彎曲正應(yīng)力滿足：其中wz稱為抗彎截面系數(shù)。矩形截面抗彎截面系數(shù)： 圓形截面抗彎截面橫量： 5.4、提高梁抗彎能力的措施（1）選擇合理的截面：在面積相等的情況下，選擇抗彎模量大的截面（

29、2）采用變截面梁，合理利用材料。（3）適當(dāng)布置荷載和支座位置，使得最大彎矩減小5.5、塑性彎曲概念 由此確定中和軸的位置矩形截面梁的彈性極限彎矩m max與塑性極限彎矩 mjx之比： 5.6、彎曲時(shí)候的剪應(yīng)力橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均平行于剪力或截面?zhèn)冗?，并沿橫截面寬度均勻分布。距中性軸為y處的彎曲切應(yīng)力公式為：式中q為橫截面上的剪力；iz為整個橫截面對中性軸z的慣性矩；sz為距中性軸y處外側(cè)的部分截面（圖中陰影部分面積）對中性軸z的靜矩；b為y處橫線截面的寬度。對于矩形截面，切應(yīng)力沿截面高度呈拋物線分布，最大切應(yīng)力在中性軸處，其值為：圓形截面：字形截面：第6章 彎曲變形 靜不定梁6.1、工程實(shí)

30、際中的彎曲變形問題研究范圍：等直梁在對稱彎曲時(shí)位移的計(jì)算。研究目的：（1）對梁作剛度校核； （2）解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。6.2、梁的撓曲線近似微分方程（1）度量梁變形的兩個基本位移量撓曲線：在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)而光滑的曲線，如圖，彎曲變形后的軸線稱為撓曲線。在平面彎曲下，撓曲線位于縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)。在小變形的條件下，細(xì)長梁在剪力作用下的變形忽略不計(jì)，截面形心的軸向位移也可忽略不計(jì)。因此，梁的變形用如下兩個基本量度量：撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。轉(zhuǎn)角：橫截面相對于原始位置繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用q 表示。任意截面的轉(zhuǎn)角，可以用截面形心處

31、撓曲線的切線與x軸的夾角來表示。梁各橫截面撓度的變化規(guī)律是x的函數(shù)，其方程為：。稱為梁的撓曲線方程。（2）轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系梁任一截面的轉(zhuǎn)角q等于該截面處撓度v對x的一階導(dǎo)數(shù)。（3）撓度和轉(zhuǎn)角的方向撓度和轉(zhuǎn)角的負(fù)號，根據(jù)選取的坐標(biāo)系而定。與坐標(biāo)軸同向（向上）的撓度為正，反之為負(fù)；撓曲線斜率為正時(shí)，轉(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。圖中坐標(biāo)系嚇，撓度向上為正， 向下為負(fù)；轉(zhuǎn)角逆時(shí)針為正， 順時(shí)針為負(fù)。（4）撓曲線近似微分方程其中正負(fù)號取決與彎矩正負(fù)號的規(guī)定以及坐標(biāo)系的選擇，在圖示坐標(biāo)系中，之所以撓曲線近似微分方程， 一是不考慮剪切變形的影響， 二是曲率公式中省略了微小項(xiàng)的影響。6.3、用積分法求梁的變形將撓曲

32、線近似微分方程式積分兩次，得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程式中，c與d為積分常數(shù)，可利用梁的支座約束條件和撓曲線及轉(zhuǎn)角方程必須連續(xù)的條件確定。這些條件稱為確定積分常數(shù)的邊界條件。積分法是分析梁位移的基本方法。在梁的彎矩方程或抗彎剛度不連續(xù)處，應(yīng)分段建立撓曲線近似微分方程，并分段積分（如分n段，則積分常數(shù)共有2n個）。在分段處，撓曲線應(yīng)光滑（轉(zhuǎn)角連續(xù)）、連續(xù)，即分段截面兩側(cè)具有相同的撓度與轉(zhuǎn)角。優(yōu)點(diǎn)：使用范圍廣，直接求出較精確；缺點(diǎn)：計(jì)算較繁。6.4、用疊加原法求梁的變形在線彈性小變形條件下，梁的撓度與轉(zhuǎn)角為梁上荷載的線性齊次式，故可應(yīng)用疊加法來計(jì)算梁的變形，即梁上同時(shí)受幾個荷載作用時(shí)的變形，等于各荷載分

33、別單獨(dú)作用引起變形的代數(shù)和。利用疊加法求梁變形的主要步驟是，首先按荷載分解梁，使之成為幾個簡單梁，每個簡單梁上只承受一種荷載，再計(jì)算或從表上查得各簡單梁的變形，然后疊加得到總變形。疊加法更適用于求梁內(nèi)指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角。6.5、梁的剛度校核根據(jù)梁彎曲變形時(shí)的正常工作要求，對某些截面的撓度或轉(zhuǎn)角要加以限制。如果許可撓度和許可轉(zhuǎn)角分別記作v和q ，則剛度條件可以寫作 或者 q稱為許用轉(zhuǎn)角；f/l稱為許用撓跨比。f和q 的數(shù)值根據(jù)構(gòu)件的具體工作條件決定。6.6、靜不定梁梁的約束反力數(shù)目超過了有效平衡方程數(shù)，單純使用靜力平衡不能確定全部未知力的梁稱為超靜定梁。多余約束： 超出維持平衡所必須的約束稱為

34、多余約束，相應(yīng)的約束反力稱為多余約束反力。超靜定的次數(shù)等于多余約束或多余約束反力的個數(shù)超靜定梁比靜定梁有許多優(yōu)點(diǎn)，如可用較少材料獲得較大的剛度和強(qiáng)度，個別約束破壞后仍可工作等。因而超靜定梁在工程中得到較多的應(yīng)用。超靜定梁的解法：1）首先去掉多余約束得到靜定基；2）以約束反力代替去掉的多余約束加到靜定基上；3）比較多余約束處的變形，多余約束處的變形必須與原超靜定梁在該處的約束相一致，由此列出變形協(xié)調(diào)條件。4）利用物理關(guān)系，將變形協(xié)調(diào)條件的位移關(guān)系轉(zhuǎn)換成力之間的關(guān)系，得到補(bǔ)充方程。5）補(bǔ)充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解，得到全部未知力。超靜定梁的這種解法稱為變形比較法。多余約束的選擇不是唯一的，可有不

35、同選擇方式，應(yīng)以便于計(jì)算為宜。第7章 應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論 7.1、應(yīng)力狀態(tài)的概念（1）一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)通過受力構(gòu)件內(nèi)部一點(diǎn)的所有斜截面上的應(yīng)力情況稱為該點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（2）研究應(yīng)力狀態(tài)的意義a）為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度計(jì)算提供理論基礎(chǔ)b）固體力學(xué)的理論基礎(chǔ)（3）單元體圍繞所研究點(diǎn)處切取的邊長為無窮小的正六面體，稱為單元體。因單元體極其微小，認(rèn)為各微面上的應(yīng)力均勻分布，任意一對相互平行的微面上應(yīng)力相等。三對平面上的應(yīng)力均為直接已知或能通過計(jì)算得到的單元體，稱為原始單元體。（4）研究一點(diǎn)處應(yīng)力狀態(tài)的方法利用該點(diǎn)處單元體的平衡條件，推導(dǎo)斜截面上的應(yīng)力。（5）應(yīng)力狀態(tài)分類平面應(yīng)力狀態(tài)：單元體各平面上的

36、應(yīng)力，都平行與單元體的某一對平面，而在這一對平面上，沒有應(yīng)力作用。單向應(yīng)力狀態(tài)：只在一對平面上有正應(yīng)力作用，其他平面上沒有應(yīng)力?？臻g應(yīng)力狀態(tài)：通過構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)的單元體，不管取向如何，在三對平面上都有應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為空間應(yīng)力狀態(tài)。二向與三向應(yīng)力狀態(tài)，統(tǒng)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。（6）主平面、主應(yīng)力及主單元體定義切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面的法線方向稱為主方向，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。主應(yīng)力通常按代數(shù)值的大小，依次用、表示，即。受力構(gòu)件內(nèi)任意一點(diǎn)均可找到三個互相正交的主平面和主應(yīng)力，由三對互相垂直的主平面所構(gòu)成的單元體，稱為主單元體7.2、平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單元體只有兩對面上有應(yīng)力

37、作用，另一對面上應(yīng)力為零（該面上切應(yīng)力為零，故是主平面），稱為平面應(yīng)力狀態(tài)?？梢詫⑵矫鎽?yīng)力狀態(tài)的單元體簡化成平面圖形，如圖所示。 （1）任意斜截面上的應(yīng)力過單元體取與z軸平行的任意斜截面ef，其方位以該面的外法線n與x軸的夾角a來表示。ef面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：符號規(guī)定：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正（截面外法線同向?yàn)檎?；切?yīng)力以使單元體順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正，方位角a規(guī)定以x軸為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?。?）極值應(yīng)力（主平面主應(yīng)力）令 得 兩個極值切應(yīng)力為零的截面稱為主平面，主平面的法線方向稱為主方向，主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力。兩個主平面互相垂直，兩個主應(yīng)力也互相垂直，一個主平面上的主應(yīng)力為最大值，

38、另一個主平面上的主應(yīng)力為最小值。令 得 （3）純剪應(yīng)力狀態(tài)和單向應(yīng)力狀態(tài)a）純剪應(yīng)力狀態(tài)如圖所示單元體，各截面上只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力，稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。純剪切的應(yīng)力圓如圖所示，從單元體圖中很容易得到：主應(yīng)力 ，第一主方向由x軸順時(shí)針轉(zhuǎn)45°。主單元體見圖中的斜單元體。b）單向應(yīng)力狀態(tài)圖所示的單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)， ，從應(yīng)力圓圖可知，切應(yīng)力極值在法線與x軸成±450斜截面上， ，相應(yīng)斜面的正應(yīng)力，如圖的斜單元體所示。7.3、空間應(yīng)力狀態(tài)（1）空間應(yīng)力狀態(tài)的概念和實(shí)例取自受力構(gòu)件的空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體，其三個垂直平面上的應(yīng)力是任意方向的，但可以將其分解為垂直于作用面的正應(yīng)力和平

39、行單元體棱邊的兩個剪應(yīng)力。類似于平面應(yīng)力狀態(tài)，對于這樣的單元體，也一定可以找到三對互相垂直的平面，在這些平面上沒有切應(yīng)力，而只有正應(yīng)力，按這樣3對平面截取的單元成為空間應(yīng)力狀態(tài)的主單元體，相應(yīng)的3個正應(yīng)力成為主應(yīng)力。主應(yīng)力通常按代數(shù)值的大小，依次用、表示，即。根據(jù)主應(yīng)力的數(shù)值，將應(yīng)力狀態(tài)分為三類：a）單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。b）平面應(yīng)力狀態(tài)（二向應(yīng)力狀態(tài)）：有二個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。c）空間應(yīng)力狀態(tài)（三向應(yīng)力狀態(tài)）：三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài)。（2）最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力第一主應(yīng)力是最大正應(yīng)力，第三主應(yīng)力是最小主應(yīng)力，即，最大切應(yīng)力為：，最大且應(yīng)力作用的方向?yàn)樽畲笾?/p>

40、應(yīng)力逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)450，且于所在方向垂直，相應(yīng)截面的正應(yīng)力為（3）廣義胡克定律在主方向上：其中，分別稱為第1主應(yīng)變、第2主應(yīng)變、第3主應(yīng)變。在任意方向上：7.4、材料的破壞形式（1）材料破壞的基本形式：材料破壞試驗(yàn)研究和工程實(shí)踐都表明：盡管材料的破壞現(xiàn)象各不相同，但破壞的形式可以歸納為兩類：塑性屈服和脆性斷裂。塑性屈服材料出現(xiàn)顯著塑性變形，失去正常工作能力。脆性斷裂材料在無明顯的變形的情況下突然斷裂。金屬材料有2種極限抵抗能力，一種是抵抗脆性斷裂的極限能力，例如鑄鐵拉伸的抗拉強(qiáng)度；另一種是抵抗塑性屈服的極限能力，如低碳鋼拉伸時(shí)的切應(yīng)力。脆性材料對塑性屈服的抵抗能力大于脆性斷裂的抵抗能力，塑性材料

41、對脆性斷裂的抵抗能力大于對塑性屈服的抵抗能力。（2）應(yīng)力狀態(tài)對材料破壞形式的影響鑄鐵拉伸時(shí)脆性破壞，壓縮時(shí)塑性破壞。三向拉伸時(shí)脆性破壞，三向壓縮時(shí)塑性破壞。7.5、強(qiáng)度理論（1）強(qiáng)度理論的概念關(guān)于材料破壞原因的學(xué)說稱為強(qiáng)度理論。（2）常用的強(qiáng)度理論a）最大拉應(yīng)力理論（第一強(qiáng)度理論）最大拉應(yīng)力理論，認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強(qiáng)度極限時(shí)，構(gòu)件就破壞了，破壞判據(jù)為：最大拉應(yīng)力理論適用于脆性材料。b）最大拉應(yīng)變理論（第二強(qiáng)度理論）認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉伸線應(yīng)變引起的，無論構(gòu)件處于何種應(yīng)力狀態(tài)，當(dāng)危險(xiǎn)點(diǎn)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到極限應(yīng)變時(shí)，構(gòu)件或者材料就破壞了，破壞判據(jù)為：

42、最大拉應(yīng)變理論適用于脆性材料。c）最大剪應(yīng)力理論（第三強(qiáng)度理論）認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大剪應(yīng)力引起的。當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到極限剪應(yīng)力時(shí)，構(gòu)件破壞，材料破壞條件為：最大剪應(yīng)力理論適用于塑性材料。d）形狀改變比能理論（第四強(qiáng)度理論）： 認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由形狀改變比能引起的，當(dāng)形狀改變比能達(dá)到極限形狀改變比能時(shí)，構(gòu)件屈服，相應(yīng)的判據(jù)為：形狀改變比能理論適用于塑性材料。第8章 組合變形構(gòu)件的強(qiáng)度8.1、概述在復(fù)雜外載作用下，構(gòu)件同時(shí)產(chǎn)生兩種或兩種以上的基本變形，當(dāng)幾種簡單變形所對應(yīng)的應(yīng)力屬于同一量級時(shí)，不能忽略之，這類構(gòu)件的變形稱為組合變形。處理組合變形問題的基本方法是疊加法。將組合變形分構(gòu)件解為幾個基本變

43、形構(gòu)件，分別計(jì)算構(gòu)件在每一種基本變形下的應(yīng)力和變形，然后再疊加。應(yīng)用疊加原理的條件是構(gòu)件處于線彈性范圍，并且變形很小，以至每一荷載引起的變形和內(nèi)力不受其它荷載的影響。對組合變形構(gòu)件的強(qiáng)度分析計(jì)算方法，可概括為：（1）按引起的變形類型分解外力，通常是將荷載向桿件的軸線和形心主慣軸簡化，把組合變形分解為幾個基本變形。（2）分別繪出各基本變形的內(nèi)力圖，確定危險(xiǎn)截面位置，再根據(jù)各種變形應(yīng)力分布規(guī)律，確定危險(xiǎn)點(diǎn)。（3）分別計(jì)算危險(xiǎn)點(diǎn)處各基本變形引起的應(yīng)力。（4）疊加危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力，疊加通常是在應(yīng)力狀態(tài)上的疊加。然后選擇適當(dāng)?shù)膹?qiáng)度理論進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。組合變形問題中，強(qiáng)度是研究的重點(diǎn)。8.2、彎曲與拉伸（壓縮）

44、的組合桿件上的荷載，除了有軸向力外，同時(shí)還有橫向力，如圖所示。在外力作用下，桿件將產(chǎn)生軸向拉伸（壓縮）與彎曲的組合變形。桿件橫截面上任意點(diǎn)處的只有正應(yīng)力，其計(jì)算公式為：顯然其中性軸為一條不通過形心的直線（形心處正應(yīng)力恒等于n / a）。正應(yīng)力沿截面高度線性變化，由軸力與彎矩分別產(chǎn)生的正應(yīng)力（圖(b)、(c)）相疊加結(jié)果如圖(d)所示，桿件的上緣有最大拉應(yīng)力，下緣有最大壓應(yīng)力。對抗拉壓性能相等的塑性材料，強(qiáng)度條件為：8.3、彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合圓軸ab，左端固定，右端的圓輪邊緣c處承受鉛直力p作用。將力p向軸ab的形心平移，得到一個鉛直力p及力偶。圓軸橫截面上的內(nèi)力有彎矩m和扭距mt，圓軸ab將發(fā)生

45、彎曲和扭轉(zhuǎn)的組合變形。桿的危險(xiǎn)截面在端固定，內(nèi)力絕對值為彎矩mmaxpl，扭距mt 。由彎矩產(chǎn)生的最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力分別發(fā)生在a，b兩點(diǎn)，由扭矩產(chǎn)生的切應(yīng)力最大發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)，它們分別為：如圖(a)所示。圓軸上下緣a、b兩處的原始單元體如圖（b）所示。顯然處于平面應(yīng)力狀態(tài)，在討論此軸強(qiáng)度問題時(shí)，應(yīng)使用強(qiáng)度理論。對于塑性材料制成的圓軸，應(yīng)使用第三或第四強(qiáng)度理論來建立強(qiáng)度條件，危險(xiǎn)點(diǎn)的主應(yīng)力：代入第三、第四強(qiáng)度理論相當(dāng)應(yīng)力公式，得圓軸彎扭組合變形下的強(qiáng)度條件第9章 壓桿穩(wěn)定 （公開課）9.1、壓桿穩(wěn)定的概念構(gòu)件承載能力：例1：h30mm b5 mm mpal30mm時(shí)，n l1000mm時(shí)

46、，p30n時(shí)，桿就產(chǎn)生顯著的彎曲變形而失去工作能力。這說明，細(xì)長壓桿之所以喪失工作能力，是由于其軸線不能維持原有的直線形狀的平衡狀態(tài)所致，我們把這種現(xiàn)象稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)。由此可見，橫截面和材料相同的壓桿，由于桿長度的不同，抵抗外力的性質(zhì)將發(fā)生改變：短粗的壓桿是強(qiáng)度破壞，細(xì)長壓桿是穩(wěn)定破壞，并且細(xì)長壓桿穩(wěn)定破壞的承載能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于短粗壓桿強(qiáng)度破壞的承載能力。因此，研究壓桿的穩(wěn)定性是非常必要的。例2 紙片的例子（1）壓桿的穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡下端固定，上端自由的理想長桿，在上端施加嚴(yán)格的軸向力，則無論力p多大，在直線形狀下總是總是滿足靜力平衡條件的。該平衡狀態(tài)視其壓力的大小，確有穩(wěn)定與不穩(wěn)定之

47、分，這可以通過對壓桿施加微小橫向干擾使其偏離直線形式而產(chǎn)生微彎，然后撤掉來判斷原有直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定平衡的。當(dāng)壓力小于某一臨界值時(shí)，如果撤去干擾，壓桿可恢復(fù)到原來的直線平衡狀態(tài)，則原直線平衡狀態(tài)的是穩(wěn)定的；當(dāng)壓力大于某一臨界值時(shí)，撤去干擾后壓桿不能恢復(fù)到原先的直線狀態(tài)，只能在一定彎曲變形程度下平衡，表明原有的直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)定的。（2）臨界荷載（力）由此可以看出，細(xì)長壓桿直線平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定，與壓力p的大小有關(guān)。存在一個特定荷載值pcr，當(dāng)軸向壓力p< pcr時(shí)，壓桿處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)p> pcr時(shí)，壓桿的處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力p逐漸增至pcr時(shí)，壓桿直線平衡狀

48、態(tài)從穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡。也就是說，軸向壓力的量變，將引起原來壓桿直線平衡狀態(tài)的質(zhì)變，由穩(wěn)定過渡到不穩(wěn)定平衡。（3）喪失穩(wěn)定（失穩(wěn)、屈曲）當(dāng)軸向荷載逐漸增大至pcr時(shí)，壓桿喪失其初始直線形式的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，稱為喪失穩(wěn)定，簡稱失穩(wěn)。（4）失穩(wěn)破壞的工程實(shí)例和特點(diǎn)特點(diǎn)：壓桿 細(xì)長 p<<強(qiáng)度計(jì)算值 脆性破壞壓桿穩(wěn)定的工程實(shí)例：千斤頂絲杠、鋼屋架上弦壓桿、機(jī)械工程中鉆孔機(jī)頂桿、采礦工程中鉆桿；失穩(wěn)現(xiàn)象不僅局限于壓桿這一類構(gòu)件：窄而高的梁，受外壓的薄壁容器9.2、細(xì)長壓桿的臨界力對于確定的壓桿來說，判斷其是否會喪失穩(wěn)定，主要取決于壓力是否達(dá)到臨界力值。因此，根據(jù)壓桿的不同條件來確定相應(yīng)

49、的臨界力，是解決壓桿穩(wěn)定的關(guān)鍵。（1）兩端鉸支壓桿的臨界力：假定壓力已達(dá)到臨界值，桿已經(jīng)處于微彎狀態(tài)，如圖， 我們從撓曲線近似微分方程入手，求臨界力（歐拉法）。距桿下端x處截面的撓度為y，該截面的彎矩為: 其中c1、c2是待定的積分常熟，k中包含未知力p。根據(jù)桿的約束情況，我們可以得到兩個積分常數(shù)：在x=0處，y=0在x=l處，y=0第1個邊界條件帶入，得到c20第2個邊界條件帶入，得到c10 或者 c1不可能為0，因?yàn)榍疤峒僭O(shè)是桿處臨界的微彎平衡狀態(tài) 兩端鉸支壓桿臨界力的歐拉（euler）公式從歐拉公式我們可以看出，壓桿臨界力pcr與桿的抗彎剛度ei成正比，與桿長l的平方成反比，也就是說，桿

50、越細(xì)長，臨界力越小，桿越容易失穩(wěn)。橫截面的慣性矩i應(yīng)取最小值，因?yàn)槭Х€(wěn)總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)發(fā)生；公式適用范圍一是理想壓桿，二是在線彈性范圍內(nèi)。壓力p和撓度v的關(guān)系： 常數(shù)c1不能確定，只能確定撓曲線的形狀，是正弦曲線。這是由于我們采用的是撓曲線的近似微分方程造成的。采用精確的撓曲線微分方程得到的pvmax曲線如果所示，這種曲線也稱為壓桿的平衡路徑，它清晰的顯示了壓桿的穩(wěn)定性以及失穩(wěn)后的特性。p<pcr時(shí)，壓桿只有一條平衡路徑oa，即直線狀態(tài)下的平衡是穩(wěn)定的。p>pcr時(shí)，平衡路徑分支為兩條，ab和ac，其中直線狀態(tài)下的平衡ab是不穩(wěn)定的，因?yàn)樵撀窂缴系娜我庖稽c(diǎn)d經(jīng)過微彎干

51、擾后講不能恢復(fù)到原來的形狀，而是達(dá)到ac路徑同一p值的e點(diǎn)彎曲平衡狀態(tài)，e點(diǎn)的彎曲平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的，因?yàn)橐沟美^續(xù)增大變形必須增大壓力。對于實(shí)際壓桿，由于軸線初彎曲，壓力偏信以及材料缺陷和不均勻，為非理想壓桿，進(jìn)行物理試驗(yàn)和理論分析得到的平衡路徑見ofgh，沒有平衡路徑的分支現(xiàn)象，一經(jīng)受壓就處于彎曲平衡狀態(tài)，但有穩(wěn)定和不穩(wěn)定之分，p<pmax時(shí)，是穩(wěn)定的，p>pmax時(shí)，是不穩(wěn)定的，pmax稱為失穩(wěn)極值壓力，它比理想壓桿的臨界壓力pcr小，并且隨著桿件缺陷（初彎曲、壓力偏心、材料不均勻）減小而逐漸接近pcr。pcr計(jì)算簡單，一般壓桿穩(wěn)定計(jì)算都是計(jì)算臨界力。（2）其他約束情況下的壓桿臨界力當(dāng)