高考數(shù)學大一輪復習 第二章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)教師用書 理

1、第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解冪函數(shù)的概念；2.結(jié)合函數(shù)yx，yx2，yx3，y，yx的圖象，了解它們的變化情況；3.理解并掌握二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì)。2016，全國卷，3,5分(冪函數(shù)的性質(zhì))2015，天津卷，8,5分(二次函數(shù)的圖象)2015，福建卷，9,5分(二次方程的根)1.冪函數(shù)一般不單獨命題，而常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)交匯命題，題型一般為選擇題、填空題，主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)；2.對二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)的考查是命題熱點，大多以選擇、填空題出現(xiàn)。微知識小題練自|主|排|查1冪函數(shù)(1)定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，

2、是常數(shù)。(2)冪函數(shù)的圖象比較：2二次函數(shù)(1)解析式：一般式：f(x)ax2bxc(a0)。頂點式：f(x)a(xh)2k(a0)。兩根式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)。(2)圖象與性質(zhì)：解析式f(x)ax2bxc(a>0)f(x)ax2bxc(a<0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞減在x上單調(diào)遞增在x上單調(diào)遞減奇偶性當b0時為偶函數(shù)頂點對稱性圖象關(guān)于直線x成軸對稱圖形微點提醒1冪函數(shù)的圖象最多出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)，一定會經(jīng)過第一象限，一定不出現(xiàn)在第四象限。至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原

3、點。2冪函數(shù)yx的系數(shù)為1，系數(shù)不為1的都不是冪函數(shù)，當>0時，在(0，)上都是增函數(shù)，當<0時，在(0，)上都是減函數(shù)，而不能說在定義域上是增函數(shù)或減函數(shù)。3對于函數(shù)yax2bxc，要認為它是二次函數(shù)，就必須滿足a0，當題目條件中未說明a0時，就要討論a0和a0兩種情況；二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向以及給定區(qū)間的范圍有關(guān)，不能盲目利用配方法得出結(jié)論。4數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法。特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常要結(jié)合圖形尋找思路。小|題|快|練一 、走進教材1(必修1p24a組t6改編)若函數(shù)f(x)x2bxc，且f(0)0，f(3)0，則f(1)(

4、)a1 b2c1 d4【解析】由f(0)0，f(3)0，得解得所以f(x)x23x，所以f(1)4。故選d。【答案】d2(必修1p79習題2.3t2改編)已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(8,4)，該冪函數(shù)的解析式是()ayx byx2cyx1 dyx【解析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，由于函數(shù)圖象過點(8,4)，故有48，解得，該函數(shù)的解析式是yx。故選d?！敬鸢浮縟3(必修1p44a組t9改編)已知函數(shù)f(x)x2(a1)xa在區(qū)間2,5上單調(diào)，則a的范圍為_。【解析】f(x)的對稱軸為x，若為增函數(shù)需2，即a3，若為減函數(shù)需5，即a9，所以a的范圍為(，93，)。【答案】(，93，)二、雙基查驗

5、1函數(shù)yx的圖象是()【解析】顯然f(x)f(x)，說明函數(shù)是奇函數(shù)，同時由當0<x<1時，x>x；當x>1時，x<x，知只有b選項符合?！敬鸢浮縝2已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y2x2的圖象的形狀一樣，開口方向相反，且其頂點為(1,3)，則此函數(shù)的解析式為()ay2(x1)23 by2(x1)23cy2(x1)23 dy2(x1)23【解析】設(shè)所求函數(shù)的解析式為ya(xh)2k(a0)，由題意可知a2，h1，k3，故y2(x1)23。故選d?！敬鸢浮縟3.如圖所示，是二次函數(shù)yax2bxc的圖象，則|oa|·|ob|等于()a.bc±d無法確定

6、【解析】|oa|·|ob|x1|·|x2|x1x2|(a<0，c>0)。故選b?！敬鸢浮縝4已知函數(shù)yx22x3在閉區(qū)間0，m上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍為_?！窘馕觥咳鐖D，由圖象可知m的取值范圍是1,2?！敬鸢浮?,25已知冪函數(shù)yf(x)的圖象過點，則此函數(shù)的解析式為_；在區(qū)間_上遞減?！敬鸢浮縴x(0，)微考點大課堂考點一 冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】(1)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)·xn23n(nz)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()a3b1c2 d1或2(2)若a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是()a

7、abc bcabcbca dbac【解析】(1)由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1或n3，經(jīng)檢驗只有n1適合題意。故選b。(2)因為yx在第一象限內(nèi)是增函數(shù)，所以ab，因為yx是減函數(shù)，所以ac，所以bac。故選d?！敬鸢浮?1)b(2)d反思歸納1.對于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x1，y1，yx分區(qū)域。根據(jù)0,01，1，1的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定。2在比較冪值的大小時，必須結(jié)合冪值的特點，選擇適當?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較。【變式訓練】已知函數(shù)f(x)(m2m1)·xm2m3是冪函數(shù)，且x(0，)時，f(x)

8、是增函數(shù)，則m的值為()a1 b2c1或2 d3【解析】因為f(x)是冪函數(shù)，所以m2m11，解得m1或m2，當m1時，m2m33，當m2時，m2m33，f(x)x3或f(x)x3，而易知f(x)x3在(0，)上為增函數(shù)，f(x)x3在(0，)上為減函數(shù)，所以m的值為2。故選b。【答案】b考點二 二次函數(shù)的解析式【典例2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式。【解析】解法一：(利用一般式)：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)。由題意得解得所求二次函數(shù)為f(x)4x24x7。解法二：(利用頂點式)：設(shè)f(x)a(xm)2n。f(2)f(1)

9、，拋物線的對稱軸為x，m。又根據(jù)題意，函數(shù)有最大值8，n8，yf(x)a28。f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7。解法三：(利用兩根式)：由已知f(x)10兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1。又函數(shù)有最大值ymax8，即8。解得a4或a0(舍)。所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7。【答案】f(x)4x24x7反思歸納求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，規(guī)律如下：【變式訓練】(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4,3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xr，都有f(2x)f

10、(2x)，則f(x)的解析式為_。(2)已知函數(shù)f(x)ax2bxc(a>0，br，cr)。若函數(shù)f(x)的最小值是f(1)0，且c1，f(x)則f(2)f(2)_?！窘馕觥?1)因為f(2x)f(2x)對xr恒成立，所以f(x)的對稱軸為x2。又因為f(x)圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)0的兩根為1和3。設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)。又因為f(x)的圖象過點(4,3)，所以3a3，a1。所以所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3。(2)由已知c1，abc0，且1，解得a1，b2，所以f(x)(x1)2。所以f(x)所以f

11、(2)f(2)(21)2(21)28?！敬鸢浮?1)f(x)x24x3(2)8考點三 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)多維探究角度一：二次函數(shù)的圖象【典例3】如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過點a(3,0)，對稱軸為x1。給出下面四個結(jié)論：b2>4ac；2ab1；abc0；5a<b。其中正確的是()a bc d【解析】因為圖象與x軸交于兩點，所以b24ac>0，即b2>4ac，正確。對稱軸為x1，即1,2ab0，錯誤。結(jié)合圖象，當x1時，y>0，即abc>0，錯誤。由對稱軸為x1知，b2a。又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a

12、<b，正確。故選b?！敬鸢浮縝角度二：二次函數(shù)的最值【典例4】已知函數(shù)yx2ax在區(qū)間0,1上的最大值是2，實數(shù)a的值為_。【解析】y2(a2a2)，對稱軸為x。令f(x)yx2ax。當01即0a2時，ymax(a2a2)，由(a2a2)2，得a3或a2，與0a2矛盾，舍去；當0即a0時，y在0,1上單調(diào)遞減，有ymaxf(0)，由f(0)22解得a6。當1即a2時，y在0,1上單調(diào)遞增，有ymaxf(1)，由f(1)2得1a2，解得a。綜上，得a6或a?！敬鸢浮?或角度三：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的結(jié)合【典例5】(1)已知函數(shù)f(x)x24ax2在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是()

13、aa3 ba3ca<3 da3(2)(2016·武漢調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象過點(1,1)，函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，若函數(shù)f(g(x)的值域是0，)，則函數(shù)g(x)的值域是()a(，11，)b(，10，)c0，)d1，)【解析】(1)函數(shù)f(x)x24ax2的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸是x2a，由已知函數(shù)在區(qū)間(，6)內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間(，6)應在直線x2a的左側(cè)，2a6，解得a3。故選d。(2)因為函數(shù)f(x)的圖象過點(1,1)，所以m11，解得m0，所以f(x)畫出函數(shù)yf(x)的圖象(如圖所示)，由于函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，值域不會是選項a，b，易知，當g(x)

14、的值域是0，)時，f(g(x)的值域是0，)。故選c。【答案】(1)d(2)c反思歸納1二次函數(shù)圖象的識別方法二次函數(shù)的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐標以及圖象與坐標軸的交點等方面識別。2二次函數(shù)的最值問題的類型及求解策略(1)類型：對稱軸、區(qū)間都是給定的；對稱軸動、區(qū)間固定；對稱軸定、區(qū)間變動。(2)求解策略：抓住“三點一軸”數(shù)形結(jié)合，三點是指區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成。微考場新提升1函數(shù)f(x)2x2mx3，當x2，)時，f(x)是增函數(shù)，當x(，2時，f(x)是減函數(shù)，則f(1)的值為()a3 b13c7 d5解析函數(shù)f(

15、x)2x2mx3圖象的對稱軸為直線x，由函數(shù)f(x)的增減區(qū)間可知2，m8，即f(x)2x28x3，f(1)28313。故選b。答案b2設(shè)a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()aabc babccbac dacb解析根據(jù)冪函數(shù)yx0.5的單調(diào)性，可得0.30.50.50.510.51，即ba1；根據(jù)對數(shù)函數(shù)ylog0.3x的單調(diào)性，可得log0.30.2log0.30.31，即c1。所以bac。故選c。答案c3設(shè)函數(shù)f(x)x2xa(a>0)，且f(m)<0，則()af(m1)0 bf(m1)0cf(m1)>0 df(m1)<

16、0解析f(x)的對稱軸為x，f(0)a>0，f(x)的大致圖象如圖所示。由f(m)<0，得1<m<0，m1>0，f(m1)>f(0)>0。故選c。答案c4已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時有最大值2，則a的值為_。解析f(x)(xa)2a2a1，x0,1，當a1時，ymaxa；當0a1時，ymaxa2a1；當a0時，ymax1a。根據(jù)已知條件得，或或解得a2或a1。答案2或15已知二次函數(shù)f(x)ax2bxc滿足條件：f(3x)f(x)；f(1)0；對任意實數(shù)x，f(x)恒成立，則其解析式為f(x)_。解析依題意可設(shè)f(x)a2k，由f(1)a

17、k0，得ka，從而f(x)a2恒成立，則，且a0，即0，即0，且a0，a1。從而f(x)2x23x2。答案x23x2微專題巧突破解決與二次函數(shù)相關(guān)的恒成立問題的方法二次函數(shù)恒成立問題涉及的知識較廣，是學習中的一個難點，下面我們把它的常用類型及破解方法歸納如下表：方法解讀適合題型1判別式法(1)f(x)ax2bxc>0恒成立或(2)f(x)ax2bxc<0恒成立或函數(shù)的定義域為r2分離變量法(1)確定參數(shù)前系數(shù)的正負，明確參數(shù)能夠順利“分離”，轉(zhuǎn)化為af(x)(或af(x)形式。(2)若af(x)恒成立，轉(zhuǎn)化為af(x)max；若af(x)恒成立，轉(zhuǎn)化為af(x)min。參數(shù)a能夠順

18、利分離3分類討論法若參數(shù)a系數(shù)的正負無法確定，把問題轉(zhuǎn)化為不等式f(x)>a在區(qū)間d上恒成立，此時就等價于在區(qū)間d上f(x)min>a，接下來求出函數(shù)f(x)的最小值；若不等式f(x)<b在區(qū)間d上恒成立，則等價于在區(qū)間d上f(x)max<b，求出函數(shù)f(x)的最大值即可。參數(shù)a不易分離【典例】(1)已知函數(shù)ylog2。若函數(shù)的定義域為r，則實數(shù)a的取值范圍是_。(2)設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是_?！窘馕觥?1)(判別式法)a0，函數(shù)的定義域為r，則ax2ax>0恒成立，解得0<a<2