人教版高數選修4-5第2講：證明不等式的基本方法(教師版)

1、證明不等式的基本方法教學難點： 理解放縮法的解題及應用。喪匸知識梳理*1、 比較法：所謂比較法，就是通過兩個實數 a與b的差或商的符號（范圍）確定 a與b大小關系的 方法，即通過"a b 0， a b 0， a b 0 ；或1， 1，旦1 ”來確定a， b大小關b b b系的方法，前者為作差法，后者為作商法。2、分析法：從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉化 為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式 成立，這種方法叫做分析法。3、綜合法：從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據不等式的性質及公理推導出欲證的不

2、等式，這種證明方法叫做綜合法。4、反證法：從否定結論出發(fā)，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的，這種證明方法叫做反正法用反證法證明不等式時， 必須將命題結論的反面的各種情形一一導出矛盾這里作一簡單介紹。反證法證明一個命題的思路及步驟：1）假定命題的結論不成立；2） 進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾；3） 由于上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的；4）肯定原來命題的結論是正確的。5放縮法：放縮法就是在證明過程中 ，利用不等式的傳遞性，作適當的放大或縮小，證明比原不等式更 好的不等式來代替原不等式的證明 放

3、縮法的目的性強，必須恰到好處，同時在放縮時必須時刻注意 放縮的跨度，放不能過頭，縮不能不及 否則不能達到目的。綏典例講練類型一：比較法、分析法和綜合法去證明不等式例 1.求證：x2 + 3 > 3x解析:t (x2 + 3) 3x = x二 a(b c ) > 2abc同理 b(c2 a2) >2abc 2 2 3x x2 + 3 > 3x(f)2G)2 32(x)2024答案:見解析練習1.已知a，b，m都是正數，并且a <b,求證：am abm b答案:a ma b(a m)a(bm：)m(ba)b mbb(bm)b(bm) a，b，m都是正數，并且a<

4、b, b + m> 0， b a > 0 m(b a)0即:a mab(b m)b mb練習2.已知a，b都是正數，并且 a b，求證：ac(a b ) > 2abc + b5 > a2b3 + a3b2答案：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )=a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)=(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) a，b 都是正數， a + b，a2 + ab + b2 > 0又T a b,. (a b)2 > 0/. (a

5、 + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2例2.已知a, b, c是不全相等的正數，求證：2 2 2 2 2 2a(b c ) b(c a ) c(a b ) 6abc22解析： b c > 2bc，a >0，因為a, b, c不全相等，所以b2c2>2bc,c2a2 > 2ca, a2b2>2ab三式不能全取“=”號，從而、三式也不能全取“=”號+ a(b2 c2) b(c2 a2) c(a2 b2) 6abc答案：見解析。練習3.已知a, b, c都是正數，且a, b, c成等比數列，求

6、證： a2 b2 c2 (a b c)2答案：左右 =2 (ab+bc ac) a, b, c成等比數列， b2 ac又 a, b, c都是正數，所以0 b . ac <a c2 a c b2 2(ab bc ac) 2(ab bc b ) 2b(a c b) 0- a2 b2 c2 (a b c)2例 3.求證.3.72 5解析：因為,3 和2.、5都是正數，所以為了證明 ,32 5只需證明(：3. 7)2(2、5)2展開得 102.2120即 2.2110,2125因為2125成立，所以(,37)2(2 .5)2成立即證明了. 7 2*5答案：見解析練習 4.已知 a,b,Gd R,

7、求證：ac+bdw . (a2 b2)(c2 d 2)答案： 當ac bd 0時,顯然成立-(2)當ac bd 0時,欲證原不等式成立，只需證 ac bd $ a2b22 2c d即證a2c2 2abcd b2d2 a2c2a2d2 . 2 2b cb2d2 即證 2abcd b2c2 a2d22即證0 bc ad3因為a,b,c,d R所以上式恒成立綜合（1）、（2）可知：原不等式成立* 類型二：反證法和放縮法證明不等式 例4.若a, b, c, d巳解析：（用放縮法）求證：bb c aam =cd b b b45c dba b/ a, b, g d R+a- m -a bam -a b 1

8、 <m <2答案：見解析b a b cd即原式成立練習5.當n > 2時，求證:log,n 1) logn(n1) 1答案：（用放縮法）/ n>2logn( n 1)0,logn(n1) loq(n 1)logn(n 1)也 ° 皿 1)2logn(n1)logn2 n > 2 時,logn(n 1) logn(n 1)1例 5.設 0<a,b,c <1,求證：(1 a)b,(1b)c,(1c）a,不可能同時大于解析：（用反證法）設(1 a)b >丄,(14則三式相乘：（1a)b?(1b)c?(11b) c> ,(14、 1c)

9、a > -641c)a> 4又T 0 <a,b,c <1 0 (1a)a(1 a)2同理(1 b)b丄，(1 c)c4將以上三式相乘(1a)a?(1b)b?(11c)c<64此與矛盾(1 a)b,(1 b)c,(1c）a,不可能同時大于答案：見解析練習 6.已知 a+b+c> 0, ab +bc+ca>0, abc>0,求證:a,b,c>0答案：(用反證法) 設a < 0,/ abc>0, / be < 0又由 a + b + e > 0,則 b+e> a>0 ab + be + ea = a(b + &

10、#169; + be < 0 此與題設矛盾 又若a = 0,則與abe > 0矛盾， 必有a > 0 同理可證 b > 0, e > 0建當堂檢初1.設 a, b, e R，°）求證：兀T（a b）(2)求證：, a2 b2 b2 e2.e2 a2. 2(a b e)11(3)若 a + b = 1,求證：'a -/b -2¥2 T 2答案：（1）a2b2（屮|a b | / 圧'22(a b)(2)同理：.b2 e2e2a2f(ea)e)2. a , b, e R,121 1(a 2) (b 2)(a b 1)2求證：（1）

11、（a1e)(-a(ab e)(a11、9)b b e e a 2 .abe3bee aa b 2答案：(1)法一: ab e 3<abe ,3寸,兩式相乘即得*abe abe法二：左邊 a b c a b c ab>3+2+2+2 = 9a bc 3 (ba)(ca),c b 3 ( )()cabac323 (a b)(b c)(c a)由上題:(ac)(a1b)(b兩式相乘即得c)(c a)二1旦a b13.求證：12b丄22c丄32L)aab答案:(用放縮法)1n(n1)4.設 x > 0, y > 0,a求證:答案：放縮法:5.若 x, y > 0,且 x

12、+ y >2,x中至少有一個小于y答案：反證法:1 x> 2 / x, y > 0,可得 x + y y與x + y >2矛盾當堂總結臭家庭斥業(yè)基礎鞏固1.設 a, b R*，求證:a b答案：作商： a baabb (ab)b aa b(ab)_當a = b時，(旦)b當a > b > 0時,1,0,a ba(-)2 1b當b > a > 0時,1,0,a b(f)-b. a. ba b2.證明 lg9?lg11 < 1(ab)b2答案：放縮法：lg 9 lg 11ig9lg1122lg 9923.設 0 < a, b, c <

13、; 2,求證： 答案：反證法：(2a)c>1, (2a)c, (2 b)a, (2b)a>1, (2c)b>1,則(2又因為設 0 < a, b, c < 2, (2 a) a (2_a1,(2c)b,不可能同時大于1a)c(2b)a(2 c)b>1 同理(2 b) b< 1, (2 c) cW1,所以(24.證明 logn(n 1)log n(n 1)12a)c(2 b)a (2c)b w 1此與矛盾，答案：放縮法：log n (n 1)log n (n1)logn( n2221)log n n225.已知 x>0, y>0, 2x+y=

14、1，求證:32.21答案：-x12x丄(2x y) 3仝yy2 2 即:6.求證3、6 2 & 5答案：Q .9.60,'、8-7為了證明原不等式成立,只需證明(9(8、7)2即 15 2、5415 2 .56 ,只需證明，54. 56,5456Q54 56成立12 . (a1b)(b c)b bc111 1n 1n2n21111222nnnn111n1 n 22nn11L1n1n 22n,b, c >0,且a2 + b2 :=c2,求證:a1答案：左邊n11(n R , n 2)19.證明1n2.(a b) (b c)2n n .2 1 n10.證明12-n 1 n 1

15、原不等式成立12.若0 x 1,證明 lOga(1 X)loga(1 x)( a7.設a、b、c是三角形的邊長，求證abc3bc acababc答案：由不等式的對稱性，不妨設abC,則bcacababc且 2c a b 0， 2a b c 0abc3a1b1c 1b cb c a cab a b cb cacaba2a b c 2b a c 2c ab2a bc2bca2cab0b c a cab a bcc abcabcababc3b cacabab c8.若 a > b >c,則114 0abbcc a1答案:22n2n2答案：/ab1,又a, b, c > 0,.aab

16、bccccccnn22abab.1an+ bn < cncccc11.已知an + bn < C (n> 3, n R*)答案：丄2na,答案： （1 ）當a 1時，因為 01 x 1,1 x 1，所以lOga(1x)lOga(1X)lOg a (1X)lOga(1X)lOga(1X2)0 (2)當0 a1時因為01 x1,1X 1所以 lOga(1 X)|lOga(1 X)lOga(1 X) lOga(1 X)2lOga(1 X )0 綜合(2)知 lOga(1 X) lOga (1 X) 13.設 aa ba ba b ab aba:b. aa ba b0,.a1,abb

17、(旦)a b1.aabbb a1bab又 abba0,a ba bb. aa b .b0,求證:ba0.答案14.對于任意實數a、求證b4（專）4 （當且僅當a b時取等號）答案:2 2 2 2a b 2ab （當且僅當a b時取等號）兩邊同加(a4 b4) :2(a4 b4) (a2 b2)2，即:a4 b42 ,2)22 2又： a b 2ab （當且僅當a b時取等號）兩邊同加(a2 b2): 2(a2 b2) (a b)22 ,2.(a b)2a2 b2b aa bb a la b2,同理:由( 1)和( 2)可得a4 b4(au）4 （當且僅當ab時取等號）2215.已知a、b、cR

18、a bc1 ,求證1 119.a bc答案t ab c111 1abc abcab cab cabcbc、,ac、a b(1-)(-1-)(1)aabbc cba、,ca、,cb、3 ()()(u)abacbc2（屮(2)(1)22151113 2 2 29.abc16.已知a,b求證:能力提升（a 丄）2 （ba1)2252又.1= (ab)2 a2 b2 2ab2(a2b2)b2丄b2(a(/ab)2 221b21）217.甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度(a(b(a2 b22 W)1 4 a2 b22252m行走，另一半時間以速度m n,問：甲乙兩人誰先到n行走；有一半路程乙以速度 m行走，另一半路程以速度 n行走，如果 達指定地點？答案：設從出發(fā)地到指定地點的路程為S,甲乙兩人走完全程所需時間分別是t1, t2,則：m 匕nS, S St2可得：t12S t,t2S(m n)2 22m 2nm n2mn t1 t22SS(m n)2S4mn (m n)S(mn)2m n2mn2(m n)m n2mn (mn) S, m, n 都是正數，且 m n，二 ti t2 < 0 即：ti < t2 從而：甲先到到達指定地點。18.證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面的周長相等，那么截面是圓的水管比截面 是正方形的水管流量大.答案：