反比例函數(shù)講義-經(jīng)典推薦(一)

1、第六章 反比例函數(shù)講義6.1反比例函數(shù)教材精華知識(shí)點(diǎn)1 反比例函數(shù)的概念 定義：一般地，如果兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系可以表示成y (k為常數(shù)，k0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù) 拓展(1)等號(hào)左邊是函數(shù)y，等號(hào)右邊是一個(gè)分式，分子是不為零的常數(shù)k(也叫做比例系數(shù)k)，分母中含有自變量x，且x的指數(shù)是1，若寫成ykx1則x的指數(shù)是1 (2)比例系數(shù)k0是反比例函數(shù)定義的一個(gè)重要組成部分 (3)自變量x的取值范圍是x0的一切實(shí)數(shù) (4)函數(shù)y的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)2 用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的表達(dá)式 由于在反比例函數(shù)y中，只有一個(gè)待定系數(shù)因此只需要一組對(duì)應(yīng)值，即可求出k的值，從而確定

2、其表達(dá)式知識(shí)點(diǎn)3 反比例關(guān)系與反比例函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系 我們學(xué)過反比例關(guān)系如果xyk(k是常數(shù)，k0)那么x與y這兩個(gè)量成反比例關(guān)系，這里x，y既可以代表單獨(dú)的一個(gè)字母，也可以代表多項(xiàng)式或單項(xiàng)式，例如若y3與x1成反比例，則y3，若y與x2成反比例，則y成反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但反比例函數(shù)y中的兩個(gè)變量必成反比例關(guān)系拓展 反比例關(guān)系不一定是反比例函數(shù)，但反比例函數(shù)一定是反比例關(guān)系 規(guī)律方法小結(jié) 類比思想：在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的概念時(shí)，注意與成反比例的量進(jìn)行類比，與正比例函數(shù)的概念對(duì)比，這樣便于我們對(duì)反比例函數(shù)的概念的理解與掌握課堂檢測(cè)基本概念題1、下列各式中，y是x的反比例函數(shù)嗎?為什么?

3、(1)xy2； (2)y10x； (3)y； (4)y (b為常數(shù)，b0) 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題2、判斷下列各題中的兩個(gè)變量是否成比例關(guān)系，若成比例關(guān)系，指出是正比例關(guān)系，還是反比例關(guān)系 (1)三角形底邊長(zhǎng)為定值，它的面積S與這條邊上的高h(yuǎn)； (2)三角形面積為定值，它的底邊長(zhǎng)a與這條邊上的高h(yuǎn)； (3)正方形的面積S與它的一邊長(zhǎng)a； (4)周長(zhǎng)為定值的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬； (5)面積為定值的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬； (6)兒童的身高與年齡； (7)圓的周長(zhǎng)與它的半徑3、若函數(shù)y(m1)是反比例函數(shù)，求m的值 綜合應(yīng)用題4、一定質(zhì)量的二氧化碳，它的體積V與它的密度成反比例，當(dāng)V5m3時(shí)，=1.98kgm3，求與

4、V的函數(shù)關(guān)系式 5、一水池內(nèi)蓄水40 m3.設(shè)放完滿池水的時(shí)間為T小時(shí)，每小時(shí)的放水量為W m3，規(guī)定放水時(shí)間不得超過20小時(shí)，求T與W之間的函數(shù)關(guān)系式，指出函數(shù)T和自變量W的取值范圍.探索創(chuàng)新題6、某工人計(jì)劃利用一塊不銹鋼鋼錠加工成一個(gè)面積為08m2的矩形框工件，設(shè)工件的長(zhǎng)與寬分別為y m與x m(不計(jì)厚度) (1)請(qǐng)寫出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)如果想使工件的長(zhǎng)比寬多16 m，已知加工費(fèi)為每米6元，求加工這個(gè)工件所需的費(fèi)用 體驗(yàn)中考若梯形的下底長(zhǎng)為x，上底長(zhǎng)為下底長(zhǎng)的，高為y，面積為60，則y與x的函數(shù)關(guān)系式是 (不考慮x的取值范圍) 6.2反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)新課導(dǎo)引【生活鏈接】

5、愛思考的小明想在坐標(biāo)系中描出橫、縱坐標(biāo)的積等于6的點(diǎn)，并列表如下：x654321123456y11.21.52366321.51.21然后他將x，y的對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中描了出來(如下圖所示) 【問題探究】如果用光滑曲線順次連接圖中各點(diǎn)，能得到怎樣的圖象?你能描述它的形狀和性質(zhì)嗎? 【點(diǎn)撥】由xy=6可得，是反比例函數(shù)反比例函數(shù)的圖象叫做雙曲線教材精華知識(shí)點(diǎn)1 反比例函數(shù)的圖象反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，也稱雙曲線 (k0)，其圖象如圖51所示 拓展 反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限或第二、四象限，它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由于反比例函數(shù)中自變

6、量x0，函數(shù)y0，所以它們的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)不能到達(dá)坐標(biāo)軸知識(shí)點(diǎn)2 反比例函數(shù)圖象的畫法 (1)列表：自變量的取值應(yīng)以0為中心，在0的兩邊取三對(duì)(或三對(duì)以上)相反數(shù)，如1和1，2和2，3和3等等，填y值時(shí)，只需計(jì)算原點(diǎn)一側(cè)的函數(shù)值，如分別計(jì)算出當(dāng)x1，2，3時(shí)的函數(shù)值，那么當(dāng)x1，2，3時(shí)的函數(shù)值應(yīng)是與之對(duì)應(yīng)的相反數(shù) (2)描點(diǎn)：先畫出反比例函數(shù)的圖象的一側(cè)，另一側(cè)可根據(jù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)來畫 (3)連線：按照從左到右的順序連接各點(diǎn)并延伸拓展畫反比例函數(shù)的圖象時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)兩條曲線是平滑的，不要只畫一個(gè)分支，而忘了畫另一個(gè)分支

7、(2)兩條曲線無限靠近坐標(biāo)軸，但與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)探究交流反比例函數(shù) (k0)的圖象是軸對(duì)稱圖形嗎? 點(diǎn)撥 反比例函數(shù) (k0)的圖象是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸有兩條，分別是直線yx和直線yx知識(shí)點(diǎn)3 反比例函數(shù)的性質(zhì) 反比例函數(shù) (k0)的性質(zhì)如下： 當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是說，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是說，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 拓展(1)描述函數(shù)值的增減情況時(shí)，必須指出“在每個(gè)象限內(nèi)”若說成“當(dāng)k0(或k0)時(shí)，y隨x的增大而減小(或增大)”，就會(huì)出現(xiàn)與

8、事實(shí)不符的矛盾 (2)反比例函數(shù)的圖象的位置、函數(shù)的增減性都是由比例系數(shù)k的符號(hào)決定的反過來，由雙曲線的位置、反比例函數(shù)的增減性也可以推斷出k的符號(hào)，即雙曲線在第一、三象限時(shí)，k0；雙曲線在第二、四象限時(shí)，k0 探究交流反比例函數(shù)的表達(dá)式中k的幾何意義點(diǎn)撥 反比例函數(shù)的本質(zhì)特征是兩個(gè)變量y與x的乘積是一個(gè)常數(shù)k，由此可以推得反比例函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì) 若A是反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，且AB垂直x軸，垂足為B，AC垂直y軸，垂足為C，則S矩形ABOC，如圖52所示 由反比例函數(shù)圖象與矩形面積的關(guān)系可以得出反比例函數(shù)圖象與三角形面積的關(guān)系：SAOBSAOCS矩形ABOC規(guī)律方法小結(jié)數(shù)形結(jié)合思想：學(xué)習(xí)

9、反比例函數(shù)與學(xué)習(xí)其他函數(shù)一樣，要善于數(shù)形結(jié)合，由表達(dá)式聯(lián)想圖象的位置及性質(zhì)，由圖象和性質(zhì)聯(lián)想比例系數(shù)k的符號(hào)課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出反比例函數(shù)與的圖象 2、已知反比例函數(shù)的表達(dá)式為，分別根據(jù)下列條件求出字母k的取值范圍 (1)函數(shù)圖象位于第一、三象限； (2)在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 綜合應(yīng)用題3、如圖55所示，A，B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，AD平行于y軸，BC平行于x軸，ABC的面積為S，則下列各式正確的是 ( ) AS1 BS2 CS2 D1S24、已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4，)，若一次函數(shù)yx1的圖象平移后經(jīng)過該反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)B(2，

10、m)，求平移后的一次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 探索創(chuàng)新題5、如圖57所示，已知雙曲線 (k0)與直線ykx交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，試解答下列問題(1)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4，2)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為 (2)如圖58所示，過原點(diǎn)O作另一條直線l，交雙曲線 (k0)于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限 試說明四邊形APBQ一定是平行四邊形； 設(shè)點(diǎn)A，P的橫坐標(biāo)分別為m，n，四邊形APBQ可能是矩形嗎?可能是正方形嗎?若可能，直接寫出m，n應(yīng)滿足的條件；若不可能，請(qǐng)說明理由 體驗(yàn)中考1、已知圖510(1)中的曲線是反比例函數(shù) (m為常數(shù))圖象的一支 (1)這個(gè)反比

11、例函數(shù)圖象的另一支在第幾象限?常數(shù)m的取值范圍是什么? (2)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，過A點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為B，當(dāng)OAB的面積為4時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式 2、如圖511所示，已知A(4，n)，B(2，4)是一次函數(shù)ykxb的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn) (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及AOB的面積； (3)求方程的解(請(qǐng)直接寫出答案)； (4)求不等式0的解集(請(qǐng)直接寫出答案) 6.3反比例函數(shù)的應(yīng)用 【生活鏈接】一段時(shí)期市場(chǎng)上使用桿稱，一些不法商販在賣貨時(shí)將秤砣挖空，或更換較小的秤砣，

12、使砣較輕，從而欺騙客戶 【問題探究】(1)如右圖所示，對(duì)于同一物體，哪個(gè)圖用的是標(biāo)準(zhǔn)秤砣，哪個(gè)圖用的是較輕的秤砣? (2)在稱同一物體時(shí)，所稱得的物體質(zhì)量y(千克)與所用秤砣質(zhì)量x(千克)之間滿足什么關(guān)系? (3)當(dāng)砣較輕時(shí)，稱得的物體變重，這正好符合哪個(gè)函數(shù)的哪些性質(zhì)? 【點(diǎn)撥】(1)設(shè)物體重為W，阻力臂為L(zhǎng)1，秤砣重F，動(dòng)力臂為L(zhǎng)2，則由于W·L1F·L2，且W·L1一定，F(xiàn)越小，L2越大，顯示物體質(zhì)量越多，故(2)用的是標(biāo)準(zhǔn)秤砣，(1)用的是較輕的秤砣 (2)由(1)的分析可知，y與x之間滿足反比例關(guān)系 (3)設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)為 (k0)，則當(dāng)x變小時(shí)，y增

13、大，所以當(dāng)砣較輕時(shí)，稱得的物體變重，這正好符合反比例函數(shù)中，當(dāng)k0，x0時(shí)，函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)，y隨x的減小而增大的性質(zhì)(即y隨x的增大而減小) 教材精華知識(shí)點(diǎn) 利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題 反比例函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中兩個(gè)變量之間關(guān)系的一種重要的數(shù)學(xué)模型它在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用利用反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，能比較清晰、直觀、簡(jiǎn)捷地解決一些實(shí)際問題 在生活中有許許多多成反比例關(guān)系的實(shí)例如：當(dāng)路程s一定時(shí)，時(shí)間t與速度v成反比例關(guān)系，寫成(s是常數(shù))；當(dāng)矩形面積S一定時(shí)，長(zhǎng)a與寬b成反比例關(guān)系，寫成 (S是常數(shù))；當(dāng)面積是常數(shù)S時(shí)，三角形的底邊長(zhǎng)y與高x成反比例關(guān)系，寫成 (S是常數(shù))；當(dāng)功是

14、常數(shù)W時(shí)，力F與物體在力的方向上通過的位移s成反比例關(guān)系，寫成 (W是常數(shù))；當(dāng)壓力F一定時(shí)，壓強(qiáng)p與受力面積S之間成反比例關(guān)系，寫成 (F是常數(shù))；在某一電路中，保持電壓U不變，電流I與電阻R成反比例關(guān)系，寫成 (U是常數(shù))等等 在利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí)，一定要注意 (k為常數(shù)，k0)這一條件結(jié)合圖象說出性質(zhì)，根據(jù)性質(zhì)大致畫出圖象，求函數(shù)的表達(dá)式是必須掌握的 拓展 實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系一般都具有實(shí)際意義，所以在建立數(shù)學(xué)模型解答問題時(shí)，需注意實(shí)際問題對(duì)數(shù)學(xué)答案的要求與限制如一些數(shù)量非負(fù)(時(shí)間、速度、長(zhǎng)度一定是正數(shù)，人數(shù)是正整數(shù)等)，在解答過程中要時(shí)刻注意問題中的要求 規(guī)律方法小結(jié)數(shù)學(xué)建模

15、思想是解決實(shí)際問題的基本思想方法在許多實(shí)際問題中，需抽象出數(shù)學(xué)模型(如建立坐標(biāo)系，設(shè)出函數(shù)關(guān)系式，列出方程等)，即用數(shù)學(xué)關(guān)系式或圖形來表示實(shí)際問題中數(shù)量之間的關(guān)系，從而運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求出問題的答案，使問題得以解決課堂檢測(cè)基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題1、某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓P(kPa)是氣體體積V(m3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖519所示當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120 kPa時(shí)，氣球?qū)⒈榱税踩鹨姡瑲馇虻捏w積應(yīng) ( ) A不小于m3 B小于 m3 C不小于 m3 D小于 m32、一輛汽車往返于甲、乙兩地之間，如果汽車以50千米時(shí)的平均速度從甲地出發(fā)，則經(jīng)過6小時(shí)可到達(dá)乙地

16、(1)甲、乙兩地相距多少千米? (2)如果汽車把速度提高到v千米時(shí)，那么從甲地到乙地所用時(shí)間t小時(shí)將怎樣變化? (3)寫出t與v之間的函數(shù)關(guān)系式； (4)因某種原因，這輛汽車需要在5小時(shí)內(nèi)從甲地到達(dá)乙地，則此時(shí)汽車的平均速度至少應(yīng)是多少? (5)已知汽車的平均速度最大可達(dá)80千米時(shí)，那么它從甲地到乙地最快需要多長(zhǎng)時(shí)問?綜合應(yīng)用題 3、某課外小組在做氣體試驗(yàn)時(shí)，獲得壓強(qiáng)p(pa)與體積V(cm3)之間有下列對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：p(Pa)12345V(cm3)6321.51.2 根據(jù)表中提供的信息，回答下列問題 (1)猜想p與V之間的關(guān)系，并求出函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)氣體的體積是12 cm3時(shí)，壓強(qiáng)是多少?

17、 4、某地區(qū)去年電價(jià)為08元，年用電量為1億度，今年計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至055075元之間，經(jīng)測(cè)算，若電價(jià)調(diào)至x元，則今年新增加用電量y億度與(x04)元成反比例，當(dāng)x065元時(shí)，y08 (1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式； (2)若每度電的成本價(jià)為03元，則電價(jià)調(diào)至多少元時(shí)，今年電力部門的收益將比去年的增加20?(收益用電量×實(shí)際電價(jià)用電量×成本價(jià)) 探索創(chuàng)新題5、某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓p(千帕)(千帕是一種壓強(qiáng)單位)是氣體體積V(米3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖520所示 (1)寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； (2)當(dāng)氣球的體積為08立方米時(shí)，氣球內(nèi)的氣壓是多少千帕? (3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積應(yīng)不小于多少立方米? 體驗(yàn)中考1、一塊蓄電池的電壓為定值，使用此蓄電池為電源時(shí)，電流I(A)與電阻R()之間的函數(shù)關(guān)系如圖523所示，如果以此蓄電池為電源的用電器限制電流不得超過10 A，那么此