數(shù)學(xué)建模——廣告中的數(shù)學(xué)

1、廣告中的數(shù)學(xué)在我們的現(xiàn)實(shí)生活中，廣告無(wú)所不在。廣告給商家?guī)?lái)了豐厚的利潤(rùn)，廣告中蘊(yùn)藏著諸多學(xué)問(wèn)。以房產(chǎn)銷售廣告為例，房產(chǎn)開(kāi)發(fā)商為了擴(kuò)大銷售，提高銷售量，通常會(huì)印制精美的廣告分發(fā)給大家。雖然買房人的買房行為是隨機(jī)的，他可能買房，也可能暫時(shí)不買，可能買這家開(kāi)發(fā)商的房子，也可能買另一家開(kāi)發(fā)商的房子，但與各開(kāi)發(fā)商的廣告投入有一定的關(guān)聯(lián)。一般地，隨著廣告費(fèi)用的增加，潛在的購(gòu)買量會(huì)增加，但市場(chǎng)的購(gòu)買力是有一定限度的。表9.1給出了某開(kāi)發(fā)商以往9次廣告投入及預(yù)測(cè)的潛在購(gòu)買力。 表9.1 廣告投入與潛在購(gòu)買力統(tǒng)計(jì)（單位：百萬(wàn)元） 廣告投入 0.2 0.4 0.5 0.52 0.56 0.65 0.67 0.6

2、9 1 購(gòu)買力 10340 10580 10670 10690 10720 10780 10800 10810 10950下面從數(shù)學(xué)角度，通過(guò)合理的假設(shè)為開(kāi)發(fā)商制定合理的廣告策略，并給出單位面積成本700元，售價(jià)為4000元條件下的廣告方案。模型假設(shè)（1）假設(shè)單位面積成本為元，售價(jià)為元，忽略其他費(fèi)用，需求量是隨機(jī)變量，其概率密度為。（2）假設(shè)廣告投入為百萬(wàn)元，潛在購(gòu)買力是的函數(shù)記作,實(shí)際供應(yīng)量為。模型建立開(kāi)發(fā)商制定策略的好壞主要由利潤(rùn)來(lái)確定，好的策略應(yīng)該獲得好的利潤(rùn)（平均意義下），為此，必須計(jì)算平均銷售量。 上面右邊第二項(xiàng)表示當(dāng)需求量大于等于供應(yīng)量時(shí)，取需求量等于供應(yīng)量。因此，利潤(rùn)函數(shù)為 利用

3、得到 （9.1）上式中，第一項(xiàng)表示已售房毛利潤(rùn)，第二項(xiàng)為廣告成本，第三項(xiàng)為未售出房的損失。模型求解 為了獲得最大利潤(rùn)，只需對(duì)（9.1）式求導(dǎo)并令其為零，設(shè)獲得最大值時(shí)的最優(yōu)值為，則 因此，滿足關(guān)系式 （9.2）通過(guò)（9.2）式知道，在廣告投入一定的情況下，可以求出最優(yōu)的供應(yīng)量，但依賴于需求量的概率分布。為使問(wèn)題更加明確，增加如下假設(shè)：（3） 假設(shè)需求量服從分布，即 (9.3)將（9.3）代人（9.2）得到 （9.4）即最優(yōu)的供應(yīng)量等于毛利率與由廣告費(fèi)確定的潛在購(gòu)買力的乘積。將（9.4）式代入（9.1）式，得到最大利潤(rùn)為 （9.5）對(duì)（9.5）式關(guān)于求導(dǎo)，得駐點(diǎn)滿足的方程為 （9.6）因此，只要

4、知道了潛在購(gòu)買力函數(shù)，就可以給出最優(yōu)的廣告投入。 下面根據(jù)開(kāi)發(fā)商獲得的相關(guān)數(shù)據(jù)，來(lái)確定潛在購(gòu)買力函數(shù)。通過(guò)對(duì)表9.1數(shù)據(jù)分析，得知其符合型曲線增長(zhǎng)率，經(jīng)擬合得到 （9.7）記將（9.7）式代入（9.6）式，當(dāng)時(shí)，求得 （9.8）將代入（9.8）式得到(百萬(wàn)元)。 定崗定編問(wèn)題 社會(huì)系統(tǒng)中，常常因?yàn)槁殑?wù)、地位等的不同，劃分出許多的等級(jí)，各等級(jí)的人數(shù)比例稱之為等級(jí)結(jié)構(gòu)，定崗定編問(wèn)題即是保持一個(gè)穩(wěn)定合理的等級(jí)機(jī)構(gòu)，這類問(wèn)題在許多單位都可以看到它的縮影。那么等級(jí)結(jié)構(gòu)是怎樣隨時(shí)間變化的呢？等級(jí)結(jié)構(gòu)的變化依賴系統(tǒng)內(nèi)部的等級(jí)隨時(shí)間的轉(zhuǎn)移（即通常所說(shuō)的職務(wù)升降，以及系統(tǒng)內(nèi)外部的交流（即通常所說(shuō)的調(diào)入、調(diào)出、退

5、休、死亡等）。通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言將等級(jí)結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化關(guān)系恰當(dāng)?shù)乇硎境鰜?lái)，就構(gòu)成這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。模型假設(shè)（1）將一個(gè)系統(tǒng)由低向高分成個(gè)等級(jí)，每隔年進(jìn)行一次正常的等級(jí)調(diào)整。（2 ）表示第次調(diào)整時(shí)第個(gè)等級(jí)的人數(shù)，記，不妨稱之為等級(jí)結(jié)構(gòu)。為系統(tǒng)第年的總?cè)藬?shù)。（3） 記，稱為等級(jí)結(jié)構(gòu)向量。（4） 記表示每次從等級(jí)升到等級(jí)的人數(shù)占等級(jí)中人數(shù)的比例；，表示每次從等級(jí)中退出人數(shù)的比例；，表示每次調(diào)入等級(jí)的人數(shù)占總調(diào)入人數(shù)的比例。記為第次調(diào)入總?cè)藬?shù)，且。一般地，分別稱為內(nèi)部轉(zhuǎn)移矩陣、退出向量、調(diào)入向量。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，不妨假設(shè)其與時(shí)間無(wú)關(guān)。模型建立 根據(jù)假設(shè)，可以得到，且 （9.9）第次的系統(tǒng)總?cè)藬?shù)滿足方程 （9.1

6、0）每個(gè)等級(jí)人數(shù)的轉(zhuǎn)移方程為 （9.11）從到年總?cè)藬?shù)的增長(zhǎng)量記為，則 （9.12）將（9.12）代入（9.11）得到 （9.13）記，則也是隨機(jī)矩陣，（9.13）可以表示為 （9.14）通常稱（9.14）為等級(jí)分布基本方程。假如系統(tǒng)的總?cè)藬?shù)每年以固定的比例增長(zhǎng)，即，則 （9.15）特別地，如果每年進(jìn)出系統(tǒng)的人數(shù)大致相等，即系統(tǒng)總?cè)藬?shù)保持不變。那么，方程（9.15）可以簡(jiǎn)化為 （9.16）具有形如（9.16）的方程稱為馬氏鏈。對(duì)于由（9.14）給出的等級(jí)分布基本方程，下面考慮如下問(wèn)題：給定初始等級(jí)結(jié)構(gòu)，如何確定調(diào)入比例，使等級(jí)變化盡快達(dá)到或接近給定的理想等級(jí)結(jié)構(gòu)。需要指出的是，如果等級(jí)結(jié)構(gòu)滿足

7、，則稱等級(jí)結(jié)構(gòu)為穩(wěn)定的。系統(tǒng)是否有穩(wěn)定的等級(jí)結(jié)構(gòu)是有條件的，如果存在，則必須滿足（9.9），且 （9.17）保證（9.17）成立的充分必要條件是存在非負(fù)向量（每個(gè)分量非負(fù)），使 （9.18）如果矩陣可逆，由（9.17）得到 （9.19）令 ，由于的各分量之和為1，即。利用（9.19）式得 （9.20）再將（9.20）式代入（9.19）式得到 （9.21）關(guān)于兩個(gè)等級(jí)接近程度的分析 在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)比較兩個(gè)等級(jí)的接近程度，以便確定當(dāng)前等級(jí)的狀態(tài)。為此，我們引入等級(jí)距離的概念。定義兩個(gè)等級(jí)之間的距離如下： (9.22)其中為加權(quán)因子，由對(duì)各等級(jí)的關(guān)注程度確定。一個(gè)滿意的等級(jí)分布應(yīng)該滿足如下

8、優(yōu)化問(wèn)題： （9.23）由于如果記 （9.24）則與呈正比，（9.23）等價(jià)于 （9.25）對(duì)于上面的優(yōu)化問(wèn)題，在某種程度上，它只是條件極值問(wèn)題，可以用拉格朗日乘子法求解。分類問(wèn)題人以類聚，物以群分。人們認(rèn)為某一批樣品屬于同一類，是因?yàn)樗鼈冎g有相同或相似之處，從指標(biāo)上來(lái)說(shuō)就是大小比較接近。由于指標(biāo)往往不只一個(gè)，接近程度的衡量標(biāo)準(zhǔn)不一樣，結(jié)果會(huì)有差異。本節(jié)借助一個(gè)實(shí)際問(wèn)題介紹兩類常用的分類方法。若已知兩類蠓共32個(gè)標(biāo)本，已由生物專家根據(jù)觸角長(zhǎng)度及重量的數(shù)據(jù)分成類和類，具體數(shù)據(jù)見(jiàn)表9.4，根據(jù)這32個(gè)樣本的特征對(duì)未知的8個(gè)樣本進(jìn)行分類。 表9.4() 類蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 1 2 3 4 5

9、 6 7 8 8.70 5.00 10.38 10.86 6.560 13.57 13.57 9.89 32.94 16.64 37.14 46.24 23.08 38.58 42.54 14.02序號(hào) 9 10 11 12 13 14 15 16 10.98 10.52 9.44 12.18 8.24 16.55 9.59 10.34 15.59 35.71 26.00 36.90 38.16 37.12 42.90 36.69 表 9.4() 類蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 17 18 19 20 21 22 23 24 27.14 12.78 19.88 19.05 10.37 21.54 1

10、3.66 28.49 23.04 30.15 23.54 16.13 22.28 13.94 19.88 19.71序號(hào) 25 26 27 28 29 30 31 32 15.16 23.17 21.31 14.46 6.97 19.64 13.93 23.68 20.00 18.09 26.57 8.75 22.56 25.37 24.38 23.46 未知的8個(gè)樣本為 表9.4() 未知類別蠓的觸角與重量數(shù)據(jù)序號(hào) 33 34 35 36 37 38 39 40 10.12 12.03 11.70 9.23 20.71 21.88 28.66 17.89 26.22 27.04 15.24

11、27.66 23.73 24.79 25.64 14.04已知的32個(gè)樣本及未知的8個(gè)樣本分布見(jiàn)圖9.5 圖9.5 40個(gè)樣本分布下面用三種方法來(lái)建立模型解決此問(wèn)題。模型一 距離判別模型距離判別法是讓指標(biāo)大小比較接近的屬于一類，新樣本離誰(shuí)近就判給誰(shuí)。當(dāng)已經(jīng)給定了一些樣本的分類，一般有許多樣本屬于同一類，以誰(shuí)作為這類的代表呢？以哪一個(gè)樣本作代表都不太合適，一個(gè)比較恰當(dāng)?shù)姆绞绞且詷颖镜膸缀沃行臑榇?。通常的方法是通過(guò)計(jì)算樣本的均值向量及方差。根據(jù)樣本與均值的接近程度，判斷其類型。對(duì)于給定的蠓樣本，與哪組均值向量越接近，就認(rèn)為該樣本屬于此類?？紤]32個(gè)樣本得到類的均值向量，均方差向量為，類的均值向量

12、，均方差向量為。常用的距離判別有歐氏距離與馬氏距離判別法。歐氏距離定義為 （9.51）馬氏距離定義為 （9.52）其中，表示兩類樣本的協(xié)方差陣。經(jīng)計(jì)算得 ， 歐氏距離判別法可以看作為馬氏距離判別法的一個(gè)特例，即協(xié)方差陣為單位陣。利用（9.51）式及（9.52）式進(jìn)行回代，計(jì)算類蠓的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)表9.5。 表9.5類蠓回代距離統(tǒng)計(jì)序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 3.1 281.3 21.3 188.4 103.9 46.8 110.4 342.5 230.1 194.6 318.0 685.0 139.6 326.4 480.3 119.6 0.5 4.3 0.3 2.1 2.0

13、1.3 1.6 3.9 7.2 5.8 10.7 24.2 3.8 11.7 17.4 4.1序號(hào) 9 10 11 12 13 14 15 16 286.9 10.19 43.43 22.35 36.48 58.98 108.40 7.39 82.9 272.0 100.7 285.4 389.8 258.8 548.7 304.4 4.0 0.1 0.4 0.4 1.7 5.4 1.8 0.2 2.8 9.1 2.8 9.9 12.9 9.6 19.0 10.2經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為2，8，9的樣本出現(xiàn)誤判；在馬氏距離意義下序號(hào)為9的樣本出現(xiàn)誤判。利用（9.51）式及（9.52）

14、式進(jìn)行回代，計(jì)算類蠓的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)表9.6。表9.6類蠓回代距離統(tǒng)計(jì)序號(hào) 17 18 19 20 21 22 23 24 370.1 11.3 170.5 343.5 104.9 469.3 170.4 491.3 83.4 111.0 8.6 25.6 62.8 62.6 22.2 107.7 54.9 1.3 19.7 21.9 1.3 33.9 5.5 66.8 2.4 3.6 0.3 0.9 1.7 2.1 0.7 2.9序號(hào) 25 26 27 28 29 30 31 32 179.4 371.3 154.4 581.5 111.0 136.5 78.7 258.4 10.6

15、33.8 39.3 167.1 128.4 20.1 28.9 35.4 8.3 37.8 23.2 13.8 1.7 17.8 4.1 35.7 0.3 1.0 1.5 6.3 3.5 0.8 0.8 1.1經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為18，29的樣本出現(xiàn)誤判；在馬氏距離意義下序號(hào)為18，21，29樣本出現(xiàn)誤判。綜上分析發(fā)現(xiàn)：對(duì)于32個(gè)已知樣本，用歐氏距離判別誤判率為15.6%，用馬氏距離判別誤判率為12.5%。易見(jiàn)，距離判別法的誤判概率還是比較高的。將8個(gè)未知樣本數(shù)據(jù)分別代入（9.51）式及（9.52）式，得到相應(yīng)的歐氏距離及馬氏距離見(jiàn)下表9.7。 表9.7未知樣本歐氏距離與馬氏距離

16、統(tǒng)計(jì)序號(hào) 33 34 35 36 37 38 39 40 39.8 32.7 300.3 25.0 183.6 191.5 380.8 397.6 91.5 73.2 77.0 123.4 13.1 26.9 129.6 50.2 0.4 1.2 4.9 0.3 22.7 26.6 61.9 15.3 2.6 2.2 2.6 3.6 0.5 0.9 4.0 1.9經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)：在歐氏距離意義下序號(hào)為 33， 34 ，36的樣本為類，序號(hào)為35，37，38，39，40的樣本為類；在馬氏距離意義下到序號(hào)為33，34，36，的樣本為類，序號(hào)為35，37，38，39，40的樣本為類。對(duì)于馬氏距離判別法，

17、進(jìn)一步分析可知，如果兩類樣本的協(xié)方差陣相同，則 表示平面上的一條直線，它將平面分成兩個(gè)區(qū)域，分別表示兩類樣本區(qū)，位于該直線上的點(diǎn)到兩個(gè)樣本中心距離相等，理論上該直線上的樣本點(diǎn)屬于無(wú)法判別的情況。如果兩類樣本的協(xié)方差陣不同，則 表示平面上的一條曲線，它將平面分成兩個(gè)區(qū)域，分別表示兩類樣本區(qū)，位于該曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)樣本中心距離相等，理論上該曲線上的樣本點(diǎn)屬于無(wú)法判別的情況。我們?cè)谇懊娴幕卮幸呀?jīng)發(fā)現(xiàn)，馬氏距離判別法會(huì)出現(xiàn)誤判，那么怎樣估計(jì)誤判率呢？為此，不妨簡(jiǎn)化假設(shè)蒙的觸角長(zhǎng)度與重量服從正態(tài)分布，即 記 則類被誤判為類的概率為隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)域內(nèi)的概率，類似地可以計(jì)算將類誤判為類的概率。模型二Fis

18、her判別法多變量的判別分析有多個(gè)指標(biāo)，它們對(duì)于判別樣本屬于哪一類一般都有影響，但影響程度一般不完全相同，總會(huì)有些指標(biāo)影響大，有些指標(biāo)影響程度小，因此按主要差異來(lái)進(jìn)行判別將會(huì)有比較好的效果。通常指標(biāo)間有一定的關(guān)聯(lián)性，因此主要差異不一定是某個(gè)指標(biāo)，而是某些指標(biāo)的某種線性組合，在這個(gè)方向上，樣本點(diǎn)最容易區(qū)分。Fisher判別法就是這一思想的某種體現(xiàn)。借助多元統(tǒng)計(jì)中方差的思想，一般可以分類的樣本，應(yīng)該是類與類之間方差很大，而各類之間卻靠得狠近，方差較小?？煞裼靡粋€(gè)指標(biāo)來(lái)表征這些特征呢？因?yàn)榉讲羁偸欠秦?fù)的，故可以用組間方差除以組內(nèi)方差的商來(lái)衡量。當(dāng)這個(gè)商很小時(shí)，一定是組間方差小，組內(nèi)方差大，對(duì)應(yīng)于不易

19、分類的情況，反之，就比較容易分類了。Fisher判別法就是尋找一個(gè)最恰當(dāng)?shù)姆较?，使在這個(gè)方向上，組間方差與組內(nèi)方差的商最大。下面我們給出其一般的提法：若已知個(gè)維類別，它們的均值向量為，假如第類有已知樣本集，令 在給定的方向上樣本的組間方差為在給定的方向上樣本組內(nèi)方差為記 （9.53）則所求的方向?yàn)槭梗?.53）式取最大值的方向。對(duì)于本例 ， ，令 ，記 （9.54）借助求導(dǎo)運(yùn)算得到時(shí)，取得最大值，此時(shí)。最優(yōu)的方向向量為。記 取兩類樣本的分界點(diǎn)為，其在該最優(yōu)方向上的投影為。經(jīng)過(guò)計(jì)算得到40個(gè)樣本點(diǎn)在上的投影見(jiàn)表9.8。 表9.8 40個(gè)樣本投影數(shù)據(jù)序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 投影 -7.4 -3.2 -7.8 -11.5 - 4.7 -5.6 -7.4 -2.4序號(hào) 9 10 11 12 13 14