分類討論思想

1、中考數(shù)學專題復習中考數(shù)學專題復習 - -分類討論思想的應用分類討論思想的應用引例引例: :已知已知a、b、c均為非零實數(shù)，且滿足均為非零實數(shù)，且滿足則則k的值為（的值為（ ）a 1 b -2 c 1或或-2 d 1或或2 kaacbbcbaccba 選a選a1 1k kc)c)b bk(ak(ac cb ba aakaka ac cb bbk,bk,b bc ca ack,ck,c cb ba a實數(shù)實數(shù)且a、b、c均為非零且a、b、c均為非零k ka aa ac cb bb bb bc ca ac cc cb ba a解解選選c c2 21 1或或k kk k2 2c cc cc ck kc

2、 cb b則則a a0 0, ,c cb b若若a a1 1則則k k0 0, ,c cb b若若a ac c) )b bk k( (a ac cb ba aa ak ka ac cb bb bk k, ,c cb ba ac ck k, ,c cb ba a實實數(shù)數(shù)且且a a、b b、c c均均為為非非零零k ka aa ac cb bb bc cb ba ac cc cb ba a解解 根據(jù)研究對象的本質(zhì)屬性的差異，將根據(jù)研究對象的本質(zhì)屬性的差異，將所研究的問題分為不同種類，然后對劃分所研究的問題分為不同種類，然后對劃分的每一類分別進行研究和求解的方法叫做的每一類分別進行研究和求解的方法叫

3、做分類討論分類討論 1.1.有些數(shù)學概念是分類進行定義的有些數(shù)學概念是分類進行定義的. .如如| |a| |的定義分的定義分a0、a0、a0三種情況三種情況. .這種這種分類稱為概念型分類分類稱為概念型分類. . 1yx1yx2y3x2y3x0 xy 2y2y3x3x 或或或或解解：，則，則且且例如：已知例如：已知 yx0yx, 2y, 3x2. 2. 討論一次函數(shù)討論一次函數(shù)（k0）的的增減性，要分增減性，要分k0和和k0兩種情況兩種情況. .這種分這種分類稱為性質(zhì)型類稱為性質(zhì)型分類分類. .例如：已知一次函數(shù)例如：已知一次函數(shù)y=kx+b，當，當時，時，對應的值為對應的值為. .則則的值（

4、的值（ ）（）（） （）（）（）（） 或或 （）（） 或或d6bk3b2kbk39bk1,0k14bk7b2kbk9bk310k選選時時時，時，解：解： 3.3.解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時，必須根據(jù)解含有字母系數(shù)（參數(shù)）的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進行討論參數(shù)的不同取值范圍進行討論. . 這種這種分類分類稱為含稱為含參數(shù)型參數(shù)型分類分類. . 例如：例如：aa 2，ca 25a19，其中，其中a2指出指出a與與c哪個大？說明理由哪個大？說明理由 a2， a70當當2a3時，時， ac 當當a3時，時， ac 當當a3時，時， ac解：解：caa2+4a-21=（a7）(a3)4.問

5、題中有不確定的數(shù)量、不確定圖形形問題中有不確定的數(shù)量、不確定圖形形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都要通過分狀或位置、不確定的結(jié)論等，都要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性類討論，保證其完整性，使之具有確定性.例如：例如：1. 在在rtabc中中, ,ab=6,bc=8, ,則這個三角形的則這個三角形的外接圓直徑是（外接圓直徑是（ ） a 5 b 10 c 5或或4 d 10或或8【簡解】本題對誰是斜邊進行討論【簡解】本題對誰是斜邊進行討論, ,答案答案:d:d2. 已知關(guān)于已知關(guān)于x x的方程的方程(k1)x2 (2k1)xk+10有實數(shù)根，求有實數(shù)根，求k k的取值范圍的取值范圍_【簡解

6、】本題分方程是一元二次方程和一元一次【簡解】本題分方程是一元二次方程和一元一次方程兩種情況討論方程兩種情況討論. .3.3.如圖，線段如圖，線段odod的一個端點的一個端點o o在直線在直線a a上，以上，以odod為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個上，這樣的等腰三角形能畫多少個? ?a例例1.(07無錫無錫)（1 1）已知）已知abc中，中，a=90,b=67.5請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角請畫一條直線，把這個三角形分割成兩個等腰三角形（請你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分形（請你選用下

7、面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫出來只需畫圖，不必說明理由，但要在割方法都畫出來只需畫圖，不必說明理由，但要在圖中標出相等兩角的度數(shù)）圖中標出相等兩角的度數(shù)）分析：本題是對圖形的分割，分割線的位置可以分析：本題是對圖形的分割，分割線的位置可以不同，形成的圖形也不同，所以需要分類討論不同，形成的圖形也不同，所以需要分類討論.解：（解：（1 1）如圖，共有）如圖，共有2 2種不同的分割法種不同的分割法備用圖cab67.567.522.522.5（2 2）已知）已知abc中中, , c是其最小的內(nèi)角，過頂是其最小的內(nèi)角，過頂點點b的一條直線把這個三角形分割成了兩個等腰三的一條直線把這個三角形

8、分割成了兩個等腰三角形，請?zhí)角蠼切?，請?zhí)角骯bc與與c之間的關(guān)系之間的關(guān)系acb cabcyxxyyxabdayxaxxcdbdbcadbcdbcdacbxcyabc43135,54043)2190(180,.180,219018021,90, 1,.,2即即此時只能有則如圖是頂角若中在于點的直線交邊過點設acbd圖1圖圖2c3abc,x3yxyx2adab.a.xyabd,x2adbabdxdbcdcdb2c 即即此此時時，得得由由中中，時時，則則當當，第第一一種種情情況況：如如圖圖。是是底底角角，則則有有兩兩種種情情況況若若abcd的任意角的任意角為小于為小于即即此時此時，得，得由由即即此

9、時此時，得，得由由 45c,90abc,90yxyyx180bdad. cc3180abc,180yx3x2yx180bdab.badbc圖圖3.bcbdcccc21abdabdad90 x180adbxbdcbcbd3不不成成立立是是底底角角時時，當當是是最最小小的的角角矛矛盾盾這這與與題題設設，從從而而，此此時時只只能能有有，時時，當當?shù)诘诙N種情情況況，如如圖圖 綜上所述abcd 習題一習題一如圖如圖1，已知，已知正方形正方形abcd的邊長為的邊長為2，o為為bc邊的中點，若邊的中點，若p為為dc上一動點，連結(jié)上一動點，連結(jié)bp，過點過點o作直線作直線lbp交交ab（或（或ad）于點）

10、于點q（圖（圖1）（1）設設dpt（0t2），），直直線線l截正方形所得左側(cè)部分圖形截正方形所得左側(cè)部分圖形的面積為的面積為s，試求，試求s關(guān)于關(guān)于t的函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（圖關(guān)系式（圖1）（2）當點當點q落在落在ad（不含端點）上時，問：（不含端點）上時，問：以以o、p、q為頂點的三角形能否是等腰三角形？為頂點的三角形能否是等腰三角形？若能，請指出此時點若能，請指出此時點p的位置；若不能，請說明的位置；若不能，請說明理由理由分析：在有關(guān)動點的幾何問題中，由于圖形分析：在有關(guān)動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現(xiàn)的圖形對每一種可能的

11、情形都分別進行研現(xiàn)的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解究和求解 t21t22121bqob21s,t22bq.t212bq,pcobcbbq,pcbobq)2abq1t01 求得求得即即故故易證易證上（如圖上（如圖點落在邊點落在邊時，時，當當解：解：圖圖2 2t t2 21 11 1t t2 21 1a ab bb bo oa aq q2 21 1s s1 1t tt t) )( (2 21 1o oe eo ob bb be ea aq qt t, ,2 2p pc co oe eb bp pc c. .易易證證q qo oe eb bc c于于點點e e, ,過過點點q q作作q

12、qe eq q的的面面積積, ,此此時時s s表表示示梯梯形形a ab bo o3 3）點點落落在在邊邊a ad d上上（如如圖圖當當1 1t t2 2時時，q qeqp圖圖3 3 為等腰三角形為頂點的三角形不可能、以（不含端點）上時落在當點舍去不合題意重合與即此時解得則若且易得）（如圖、連結(jié)（不含端點）上時，落在當點qpoadqaqaqttttpqoqpqopoqoppqopadq,., 0, 11222,.422222abcdopq圖圖4 4習題二習題二. 設拋物線設拋物線 與與x軸交于兩個軸交于兩個不同的點不同的點a(一一1，0)、b(m，0)，與，與y軸交于點軸交于點c. .且且acb

13、=90 (1)(1)求求m m的值和拋物線的解析式；的值和拋物線的解析式；(2)(2)已知點已知點d(1，n )在拋物線上，在拋物線上，過點過點a a的直線的直線y=x+1y=x+1交拋物線于另交拋物線于另一點一點e e若點若點p在在x軸上，以點軸上，以點p、b、d為頂點的三角形與為頂點的三角形與aeb相相似，求點似，求點p的坐標的坐標2bxaxy2 e分析：本題中以點分析：本題中以點p、b、d為頂點的三角形與為頂點的三角形與aeb相似，由于沒有指明對應點，所以需要相似，由于沒有指明對應點，所以需要分類說明分類說明. .解：解：（1）令令x0 0，得，得y2 c（0，2）acb90，coab

14、aoc cob oaoboc2ob m4 將將a a（1 1，0 0），），b b（4 4，0 0）代入）代入 得得 拋物線的解析式為拋物線的解析式為412oaoc222bxaxy2 23b21a2x23x21y2 （2 2）d（1,n）代入代入 , ,得得 n3由由 得得 e（6,7）分別過分別過e、d作作eh、df垂直于垂直于x軸于軸于h、f，則，則h（6,0）、）、f（1，0）aheh7 eah45bfdf3 dbf45 eah=dbf=45dbh=135 90eba135則點則點p只能在點只能在點b的左側(cè)，有以下兩種情況的左側(cè)，有以下兩種情況：2x23x21y2 0y1x11 7y6x22 2x23x21y1xy2 0713p7137154op71527235aebdabbpaebddbp1111，則則若若abbpeab1 0522p0713pp0522p5224542op54252327abbdaebpabbddbp2122222，或或，的的坐坐標標得得點點綜綜合合，則則若若ae