[中考]中考數學壓軸題匯編

1、例1、如圖1，在中，是沿方向平移得到的，連接、，且和相交于點（1）求證：四邊形是菱形；（2）如圖2，是線段上一動點(不與、重合)，連接并延長交線段于點，過作交于四邊形的面積是否為定值？若是，請求出其值；若不是，請說明理由；以點、為頂點的三角形與以點、為頂點的三角形是否可能相似？若可能，請求出線段的長；若不可能，請說明理由第1題圖1第1題圖2 例2、如圖，在直角坐標系xoy中，已知點，過p作交軸于點，以點為圓心為半徑作p，交軸于點，拋物線經過a，b，c三點（1）求點a，b，c的坐標；（2）求出該拋物線的解析式；第2題圖（3）拋物線上是否存在點，使得四邊形的面積是面積的2倍？若存在，請求出所有滿足

2、條件的點；若不存在，請說明理由圖11b37°dca例3、 小明家所在居民樓的對面有一座大廈ab，米為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶c處測得大廈頂部a的仰角為37°，大廈底部b的俯角為48°求小明家所在居民樓與大廈的距離cd的長度（結果保留整數）例4、如圖，在abc中，ab=ac，以ab為直徑的分別交ac、bc于點d、e，點f在ac的延長線上，且（1）求證：直線bf是的切線；（2）若ab=5，求bc和bf的長例5、 如圖13，在矩形中，是的中點，將沿折疊后得到，且點在矩形內部，再延長交于點.（1）判斷與之長是否相等, 并說明理由（2）若，求的值圖

3、13（3）若，求的值例6、已知，點的坐標為，關于的二次函數圖象的頂點為，圖象交軸于兩點，交軸正半軸于點以為直徑作圓，其圓心為（1）寫出三點的坐標（可用含的代數式表示）；（2）當為何值時點在直線上？判定此時直線與圓的位置關系？（3）連接，當變化時，試用表示的面積，并在給出的直角坐標系中畫出s關于m的函數圖象的示意圖b圖14coeadmyx圖15osm例7、在同一間中學就讀的李浩與王真是兩鄰居，平時他們一起騎自行車上學清明節(jié)后的一天，李浩因有事，比王真遲了分鐘出發(fā)，為了能趕上王真，李浩用了王真速度的.倍騎車追趕，結果他們在學校大門處相遇已知他們家離學校大門處的騎車距離為千米求王真的速度例8如圖，已

4、知的弦等于半徑，連結并延長使（）°；（）與有什么關系？請證明你的結論；（）在上，是否存在點，使得？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由圖7abcde圖8例9、如圖，正方形的邊長是，的平分線交于點，點、分別是邊和上的動點（兩動點都不與端點重合）（）的最小值是；（）說出取得最小值時，點、點的位置，并在圖中畫出；（）請對（）中你所給的結論進行證明例10、已知拋物線4（）當時，求出此拋物線的頂點坐標；（）求證：無論為什么實數，拋物線都與軸有交點，且經過軸上的一定點；（）已知拋物線與軸交于（1，0）、（2，0）兩點（在的左邊），|1|2|，與軸交于c點，且abc問：過，三點的圓

5、與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由如果有，求出其坐標oyx1備用圖例11、如圖9，在等腰梯形abcd中，adbc，o是cd邊的中點，以o為圓心，oc為半徑作圓，交bc邊于點e,過e點作ehab,垂足為h,已知o與ab邊相切，切點為f.（1）求證：oeab；（2）求證：；（3）若,求o的半徑.例12如圖10（1），在平面直角坐標系中，拋物線經過、兩點，與x軸交于另一點c，頂點為d.（1）求該拋物線的解析式及點c、d的坐標；（2）經過點b、d兩點的直線交x軸于點e，若點f是拋物線上一點，以a、b、e、f為頂點的四邊形是平行四邊形，求點f的坐標；（3）如圖10（2）, 是拋物線上的點，q是直線a

6、p上方拋物線上一動點，求apq的最大面積和此時q的坐標. 圖10（1） 圖10（2）例13、直線：（、是常數）的圖象如圖所示，第17題圖化簡：例14、解方程例15、已知：如圖，在abcd中，e是ca延長線上的點，f是ac延長線上的點，且aecf求證：（1）abecdf；（2）bedf第18題圖例16、已知關于x的方程x22(k1)xk20有兩個實數根x1、x2.(1)求k的取值范圍；(2)若函數，求函數的最大值。第22題圖例17、 如圖,ab是o的直徑,點p是ab延長線上一點,pc切o于點c,連結ac,過點o作ac的垂線交ac于點d,交o于點e.已知ab8,p=30°.(1) 求線段

7、pc的長；（2）求陰影部分的面積.例18、反比例函數y= 的圖象在第一象限的分支上有一點a（3，4），p為x軸上的一個動點， （1）求反比例函數解析式。 （2）當p在什么位置時，opa為等腰三角形，求出此時p點的坐標。例19、已知菱形abcd的邊長為1adc=60°，等邊aef兩邊分別交邊dc、cb于點e、f。（1）特殊發(fā)現：如圖1，若點e、f分別是邊dc、cb的中點求證：菱形abcd對角線ac、bd交點o即為等邊aef的外心；（2）若點e、f始終分別在邊dc、cb上移動記等邊aef的外心為點p 猜想驗證：如圖2猜想aef的外心p落在哪一直線上，并加以證明；拓展運用：如圖3，當aef

8、面積最小時，過點p任作一直線分別交邊da于點m，交邊dc的延長線于點n，試判斷是否為定值若是請求出該定值；若不是請說明理由。第24題圖例20、已知二次函數圖象的頂點坐標為m(2，0)，直線yx+2與該二次函數的圖象交于a、b兩點，其中點a在y軸上(如圖示) （1）求該二次函數的解析式； （2）p為線段ab上一動點(a、b兩端點除外)，過p作x軸的垂線與二次函數的圖象交于點q，設線段pq的長為，點p的橫坐標為x，求出與x之間的函數關系式，并求出自變量x的取值范圍；第25題圖（3）在（2）的條件下，線段ab上是否存在點p，使四邊形pqma為梯形若存在，求出點p的坐標，并求出梯形的面積；若不存在，請

9、說明理由。例21、如圖（1），ab、bc、cd分別與o相切于點e、f、g，且abcd， 若，（1）求bc和of的長；（2）求證：三點共線；（3）小葉從第（1）小題的計算中發(fā)現：等式成立，于是她得到這樣的結論：第24題圖（1）第24題圖（2）如圖（2），在中，垂足為，設，則有等式成立請你判斷小葉的結論是否正確，若正確，請給予證明，若不正確，請說明理由. 例22、使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點例如，對于函數，令，可得，我們就說是函數的零點請根據零點的定義解決下列問題：已知函數（m為常數）（1）當m=0時，求該函數的零點；（2）證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；（3）設函數的兩個零點

10、分別為和，且，此時函數圖象與軸的交點分別為a、b（點a在點b左側），點m在直線上，當ma+mb最小時，求直線am的函數解析式例23、先化簡，再求值：÷，其中例24如圖，是的直徑，是弦，直線是過點的的切線，于點（1）求證：；（2）若求與的長第19題圖 例25、在不透明的袋中有大小、形狀和質地等完全相同的4個小球，它們分別標有數字1、2、3、4從袋中任意摸出一小球（不放回），將袋中的小球攪勻后，再從袋中摸出另一小球（1）請你用列表或畫樹狀圖的方法表示摸出小球上的數字可能出現的所有結果；（2）規(guī)定：如果摸出的兩個小球上的數字都是方程的根，則小明贏；如果摸出的兩個小球上的數字都不是方程的根，

11、則小亮贏你認為這個游戲規(guī)則對小明、小亮雙方公平嗎？請說明理由 例26、某服裝店欲購甲、乙兩種新款運動服，甲款每套進價350元，乙款每套進價200元，該店計劃用不低于7600元且不高于8000元的資金訂購30套甲、乙兩款運動服. （1）該店訂購這兩款運動服，共有哪幾種方案？ （2）若該店以甲款每套400元，乙款每套300元的價格全部出售，哪種方案獲利最大？ 例27、（_在矩形中，分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點(1)設點的坐標分別為：，與的面積分別為，求證：；（2）若，求的面積；（3）當點在上移動時, 與的面積差記

12、為，求當為何值時，有最大值，最大值是多少？例28、如圖， 在中，是邊上的中線，過點作，過點作，與、分別交于點、點，連結（1）求證：；（2）求證：四邊形是菱形；（3）若，求的值 例29、如圖，一次函數的圖象與軸交于點，與軸交于點；二次函數的圖象與一次函數的圖象交于兩點，與軸交于兩點，且點坐標為（1,0）.（1）求二次函數的解析式；（2）求線段的長及四邊形的面積；（3）在坐標軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的直角三角形？若存在，求出所有的點，若不存在，請說明理由.第24題例30、如圖，邊長為4的正方形的頂點在坐標原點，頂點分別在軸、軸的正半軸上，點是邊上的動點（不與點重合），且交正方形外角的平分

13、線于點.（1）如圖1，當點是邊的中點時，證明；（2）如圖1，當點是邊的中點時，在軸上是否存在點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；（3）如圖2，當點是邊上的任意一點時（點不與點重合），設點坐標為，探究是否成立，若成立，請給出證明，若不成立，說明理由. 24（1）證明：沿方向平移得到 2分1分四邊形是菱形1分（2）四邊形的面積是定值 1分過作交于，則1分四邊形是菱形,1分1分，四邊形是梯形在和中1分1分與可能相似1分，當時1分此時有過作交于則ogcboccg：coco：bc 即cg:33:5，cg=1分pbbcpcbc2cg52×1分25解：（1）過作交

14、于,由題意得:,3分（2）設該拋物線解析式為：，則有解之得故該拋物線的解析式為3分（3）存在1分,1分與都是等邊三角形1分，過兩點的直線解析式為：1分則可設經過點且與平行的直線解析式為：且有解之得即解方程組得也可設經過點且與平行的直線解析式為：且有解之得即解方程組得4分圖11b37°dca22解：如圖,設則由題意有1分在rt中，4分則，在rt中，7分則，.8分 10分答：小明家所在居民樓與大廈的距離大約是27米12分23（1）證明：連結ae1分 ab是的直徑， , 2分 ab=ac， 又 ， 即abf = 90°3分 ab是的直徑，4分 直線bf是o的切線5分（2）解：過點

15、c作cgab于點g6分 ，【過點c作cgbf亦可類似求解】， 7分 ，ab=5， be=.又 ab=ac， 在rtabe中，由勾股定理得 ae=8分 ，在rtcbg中，可求得 ， ag=3 gcbf， agcabf10分 12分24解：（1）1分連接，則，2分3分（2）由（1）知，設，則有，4分由對稱性有,5分在中，即，6分，7分8分（3）由（1）知，設，則有，9分10分在中，即12分 13分 14分bcoeadmyx圖1425. 解：（1）3分（2）設直線的解析式為，將代入得： 4分解得，直線的解析式為 5分將化為頂點式：osm2-23頂點的坐標為 7分代入得：所以，當時，點在直線上8分連接

16、為中點，點坐標為點在圓上，又直線與相切10分（3）當時，即：11分當時，即：12分其圖象示意圖如圖中實線部分【每個區(qū)間1分】14分（本小題滿分分）解：（）（，）；分（）如圖，過點作軸于點分在t中，斜邊，°，·cos°，分點的坐標為（，）分由軸對稱性，得點關于軸的對稱點的坐標為（，），分點關于軸的對稱點的坐標為（，）；分（）設過點的反比例函數解析式，分把點的坐標（，）代入解析式， 得，分從而該反比例函數的解析式為分（本小題滿分分）解：（）；分（）樹形圖如下：所經過的個點分別為（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，），分其中經過第二、四象限的共有個點，分（經過第

17、二、四象限）；分列表法：（，）（，）（，）（，）（，）（，）分所經過的個點分別為（，）、（，）、（，）、（，）、（，）、（，），分其中經過第二、四象限的共有個點，分（經過第二、四象限）；分（）分（本小題滿分分）解：設王真騎自行車的速度為千米時，分則李浩的速度為.千米時根據題意，得分即，兩邊同乘以去分母，得，分解得分經檢驗，是該分式方程的根分答：王真的速度為km時分（本小題滿分分）解：（）°；分（）是的切線分證法一，為等邊三角形，分°分，分又，即°，°，分在中，°°°，°，分是的切線；證法二：，點為邊的中點，分即為的

18、中位線，分，即是邊的一半，分是以為斜邊的直角三角形，分°，分是的切線；（）存在分方法一：如圖，延長交于點，即為所求的點分證明如下：連結，為直徑，°分在和中，（），分分（也可由，根據證明；或證得，或證）方法二：如圖，畫°，分交于點，即為所求的點分°，°°°在和中，（），分分（本小題滿分分）解：（）；分（）如圖，過點作，垂足為，分與的交點即為點；分過點作，垂足即為點；分（）由（）知，為等腰t底邊上的高，·sin°×分平分，為上的點，且于點，于點，（角平分線性質定理），分下面證明此時的為最小值：在上取

19、異于的另一點（圖5）分過點作于點，分過點作于點，分則， 由“一點到一條直線的距離”，可知，垂線段最短，得，即分若是上異于的任一點，分可知斜線段垂線段，分從而可得此處的值最?。ū拘☆}滿分分）解：（）當時，拋物線為，分配方：得，頂點坐標為（，）；分（也可由頂點公式求得）（）令，有4，分此一元二次方程根的判別式·（），分無論為什么實數，方程4都有解，分即拋物線總與軸有交點由求根公式得，分當時，1，2； 當時， 1，2即拋物線與軸的交點分別為（，）和（，），而點（，）是軸上的定點；分（）過，三點的圓與該拋物線有第四個交點分設此點為|1|2|，c點在y軸上，由拋物線的對稱，可知點不是拋物線的頂

20、點分由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，過、三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形分軸上的兩點、關于拋物線對稱軸對稱，過、三點的圓與拋物線的第四個交點應與c點關于拋物線對稱軸對稱分由拋物線與軸的交點分別為（，）和（，）：當，即時，分點坐標為（，），為（，）即1，2由|1|2|得，解得根據abc，得·（），|，（）（），化簡整理得，解得（舍去）或此時拋物線解析式為，其對稱軸為，點坐標為（，），它關于的對稱點坐標為（，）；分當，由點在點左邊，知點坐標為（，），為（，）即1，2但此時|1|2|，這與已知條件|1|2|不相符，不存在此種情況故第四個交點的坐標為（，）（如圖）24、（本題滿分14分）本題

21、主要考查了相似三角形的判定與性質、平行線、等腰梯形、切線的性質及勾股定理等基礎知識，考查了運算能力、推理能力和空間觀念解：(1) 證明：在等腰梯形abcd中，adbc. ab=dc，b=c 1分 oe=oc oec=c 2分 b=oec 3分oeab 4分(2) 證明：連結of,o與ab切于點f ,ofab,ehabof eh 6分又oeab四邊形oehf為平行四邊形 7分eh= ofof=cd=abeh=ab 9分(3)解：連結de，設o的半徑為r，cd是o的直徑，dec=90°則dec=ehb 又b=c ehbdec 10分 ， 12分在中，解得：o的半徑為 14分25.（本小題

22、滿分14分）本題主要考查了二次函數、頂點坐標、平行四邊形的性質、三角形的面積等基礎知識，考查了計算能力解：（1）拋物線經過a（-1，0）、b（0，3）兩點， 解得： 拋物線的解析式為： 2分由，解得： 3分由d（1,4） 4分（2）四邊形aebf是平行四邊形，bf=ae 5分設直線bd的解析式為：，則b（0，3），d（1,4） 解得： 直線bd的解析式為： 7分當y=0時，x=-3 e（-3，0）， oe=3，a（-1，0）oa=1， ae=2 bf=2，f的橫坐標為2， y=3， f（2，3）；9分（3）如圖，設q，作psx軸，qrx軸于點s、r，且p（2，3），ar=+1，qr=，ps=3

23、，rs=2-a，as=3 10分spqa=s四邊形psrq+sqra-spsa=11分=spqa= 12分當時，spqa的最大面積為，13分此時q 14分23.（本題滿分12分）解：（1）把b（2，1）代入（x0）中，可得m=2-1分設直線l的解析式是y=kx+b， 把a（1，0），b（2，1）代入y=kx+b中，得-3分解得直線l的解析式是y=x1-5分（2）由p（p，p1），可知點p在直線l上，且得m（，p1），n（，p1），-2分mn=samn=··(p1)=2-4分pmnxyaob20 p1=1，即p=2時，p與b重合，apm不存在-5分當p2時（如圖），sapm

24、= =(p2p2)由samn =4sapm，得4·(p2p2)=2-6分解得（不合題意，舍去）， -7分24.（本題滿分14分）（1）解：（第1小問共6分，若有其他方法，請酌情給分）abcdabc+bcd=180°-1分又ab，bc，cd分別與o相切于點e，f，g bo，co分別平分abc，bcd-2分 obc+ocb=90°-3分又在rtabc中，boc=90°，ob=6，oc=8-4分-5分即：10×of=6×8of=4.8-6分（2）（第2小問共4分）證法一：連接oe，og-1分bo分別平分abcebo=fbo又ab，bc分別與

25、o相切于點e，fbeo=bfo=90°boe=bof-2分同理：cog=cofobc+ocb=90°-3分eog=eob+bof+cof+cog=180°-4分三點共線證法二：連接oe，og-1分ab，bc，cd分別與o相切于點e，f，gbfo=beo=ogc=90°在四邊形oebf中，ebf+eof=180°-2分同理：gcf+gof=180°ebf+eof+gcf+gof=360°又abcdebf+gcf=180°-3分eof+gof=180°即：三點共線-4分（3）（第3小問共4分，若有其他方法，請

26、酌情給分）等式成立理由如下：-1分證法一：， ，a為公共角acdabc -2分 同理， -3分 -4分證法二：tancab=-2分-3分 -4分 證法三 -2分 ， -3分 -4分25.（本題滿分14分）解：(1)當時， -1分 令，即，解得， 當時，該函數的零點為和.2分（2）令，即，=(2m)242(m+3) =4m2+8m+241分=4(m+1)2+20 無論m為何值，4(m+1)20，4(m+1)2+200， 即0，2分 無論m為何值，方程總有兩個不相等的實數根，即該函數總有兩個零點. 3分（3）依題意有， 1分由得=，即=，2分解得m1. 3分因此函數解析式為y=x22x8，令y=0

27、，解得x1=2，x2=4， a（2，0），b（4，0）， 4分作點b關于直線的對稱點b´，連結ab´， 則ab´與直線的交點就是滿足條件的m點.5分易求得直線與x軸、y軸的交點分別為c(10，0)，d(0，10)，6分連結cb´，則bcd=45°，bc=cb´=6，b´cd=bcd=45°，bcb´=90°.即b´（10，-6）. 7分設直線ab´的解析式為，則，解得，.直線ab´的解析式為，即am的解析式為. 9分19（本小題滿分10分）如圖，是的直徑，是弦，直線

28、是過點的的切線，于點（1）求證：； （2）若求與的長 （1）證法一：連接 1分是過點的的切線， 2分 3分4分又， 5分 6分（1）證法二：連接 1分是過點的的切線， 2分 3分 4分 5分 6分（2）解：是的直徑, 7分8分在中, 9分10分20（本小題滿分10分）在不透明的袋中有大小、形狀和質地等完全相同的4個小球，它們分別標有數字1、2、3、4從袋中任意摸出一小球（不放回），將袋中的小球攪勻后，再從袋中摸出另一小球（1）請你用列表或畫樹狀圖的方法表示摸出小球上的數字可能出現的所有結果；（2）規(guī)定：如果摸出的兩個小球上的數字都是方程的根，則小明贏；如果摸出的兩個小球上的數字都不是方程的根，

29、則小亮贏你認為這個游戲規(guī)則對小明、小亮雙方公平嗎？請說明理由解：（1）可能出現的所有結果如下：12341(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)共12種結果4分評分說明:寫對一組(3種情況)給1分,如:(1,2), (1,3), (1,4),錯一種情況不給分（2），.6分 評分說明:每個根1分又,8分，10分游戲公平. .10分 21（本小題滿分12分）某服裝店欲購甲、乙兩種新款運動服，甲款每套進價350元，乙款每套進價200元，該店計劃用不低于7600元且不高于8000元的資金訂購30套甲、乙兩款運動服.

30、（1）該店訂購這兩款運動服，共有哪幾種方案？ （2）若該店以甲款每套400元，乙款每套300元的價格全部出售，哪種方案獲利最大？解：設該店訂購甲款運動服套，則訂購乙款運動服套，由題意，得1分 （1）3分 評分說明: 每列對一個不等式給1分 解這個不等式組，得5分為整數，取11，12，13. 6分取19，18，17. 6分答：該店訂購這兩款運動服，共有3種方案. 方案一：甲款11套，乙款19套；方案二：甲款12套，乙款18套； 方案三：甲款13套，乙款17套. 7分（2）解法一：設該店全部出售甲、乙兩款運動服后獲利元，則8分9分隨的增大而減小. 10分當時，最大. 11分答：方案一即甲款11套，

31、乙款19套時，獲利最大. 12分解法二：三種方案分別獲利為：方案一：（400-350）×11+（300-200）×19=2450（元）. 8分方案二：（400-350）×12+（300-200）×18=2400（元）. 9分方案三：（400-350）×13+（300-200）×17=2350（元）. 10分2450>2400>2350， 11分方案一即甲款11套，乙款19套，獲利最大. 12分22（本小題滿分12分）（_在矩形中，分別以所在直線為軸和軸，建立如圖所示的平面直角坐標系是邊上的一個動點（不與重合），過點的反比例函數的圖象與邊交于點(