淺談?wù)w思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1、淺談?wù)w思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用新課程標(biāo)準(zhǔn)在原來”雙基”的基礎(chǔ)上明確提出基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能以及基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“四基”理念。新增的“兩基”就是基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。新課程標(biāo)準(zhǔn)的這種完善提現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的重要性。而作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要思想的整體思想應(yīng)用非常廣泛，在解決數(shù)學(xué)問題方面常常有意想不到的的作用。整體思想，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對(duì)問題進(jìn)行整體處理的解題方法它的主要表現(xiàn)形式有整體代換、整體設(shè)元、整體變形、整體補(bǔ)形、整體配湊、整體構(gòu)造等等學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，有一些數(shù)學(xué)問題，如果從局部入手，難以各個(gè)突破，但若能從宏觀

2、上進(jìn)行整體分析并且運(yùn)用整體思想方法，則常常能出奇制勝，簡(jiǎn)捷解題。整體思想在初中數(shù)學(xué)中的數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很廣泛的應(yīng)用。一、代數(shù)式已知求值運(yùn)用整體代換能化復(fù)雜為簡(jiǎn)單。代數(shù)式已知求值題型是初中數(shù)學(xué)“數(shù)與式”這一部分內(nèi)容的重點(diǎn)題型，也是歷年中考的常見題型。其中有些問題計(jì)算量大甚至讓人感覺無(wú)從下手。這時(shí)如果我們運(yùn)用整體代換的思想，根據(jù)問題的條件和結(jié)論，選擇一個(gè)或幾個(gè)代數(shù)式，將它們看成一個(gè)整體，靈活地進(jìn)行等量代換，從而減少計(jì)算量，使復(fù)雜的計(jì)算簡(jiǎn)單化。例1.已知 ，則的值等于（ ）A. B. C. D.分析：根據(jù)條件顯然無(wú)法計(jì)算出，的值，只能考慮在所求代數(shù)式中

3、構(gòu)造出的形式，再整體代入求解解：說明：本題也可以將條件變形為，即，再整體代入求解例2已知代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，值為，則當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為多少？ 解：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，值為，所以，即，從而，當(dāng)時(shí)，原式例3已知，求多項(xiàng)式的值分析：要求多項(xiàng)式的值，直接代入計(jì)算肯定不是最佳方案，注意到，只要求得，這三個(gè)整體的值，本題的計(jì)算就顯得很簡(jiǎn)單了解：由已知得，所以，原式說明：在進(jìn)行條件求值時(shí)，我們可以根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特征，合理變形，構(gòu)造出條件中含有的模型，然后整體代入，從整體上把握解的方向和策略，從而使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化二、因式分解中運(yùn)用整體變換能曲徑通幽。在學(xué)習(xí)因式分解這部分內(nèi)容時(shí)，有些題型冗長(zhǎng)復(fù)雜，學(xué)生經(jīng)常感到無(wú)處下手。在這時(shí)如

4、果引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用整體變換思想，把題目所給的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成平方差、完全平方、pq型等基本形式。把部分式子看成一個(gè)整體a或b,然后按公式法則進(jìn)行分解，能使學(xué)生的思路豁然開朗，最終達(dá)到解決問題的目的。例如分解因式：（22）22（22）3中，設(shè)22=y，則原代數(shù)式變?yōu)閥22y3=（y-3）(y+1），由此（22）22（22）3=（x22x-3）(x22x+1)=（3）(+1) (1) 2。由此可見，在直接求解一個(gè)數(shù)學(xué)問題困難的時(shí)候，我們常用適當(dāng)?shù)姆绞綄⒗щy問題變成另一個(gè)較為容易的問題加以解決，從而找到解決問題的簡(jiǎn)化途徑和方法，這就是我一貫強(qiáng)調(diào)的數(shù)學(xué)教學(xué)中要滲透的變換思想。三、分式方程中的整體換元能夠化繁為

5、簡(jiǎn)在解分式方程的過程中也常常體現(xiàn)整體換元思想。有些分式方程求解的過程需要引進(jìn)新的變量，把一個(gè)較為復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系的解題技巧。下面用運(yùn)用“換元法”了解分式方程的幾個(gè)例子。例1 解方程分析括號(hào)里的分式相同，由這個(gè)特點(diǎn)知，可用換元法來解。解 設(shè)，于是原方程變形為解得例2 解方程分析：方程左邊分式分母為，可將右邊看成一個(gè)整體，然后用換元法求解。解 設(shè)，則原方程變形為對(duì)于某些方程，如果項(xiàng)中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一個(gè)整體，用整體換元進(jìn)行代換，從而簡(jiǎn)化方程及解題過程，利用整體換元，我們還可以解決形如這樣的方程，只要設(shè)，從而將方程變形為，再轉(zhuǎn)化為一元二次方程來求解五、代數(shù)式最值

6、問題用整體構(gòu)造能成為它山之石。在代數(shù)式求最值問題時(shí)也可以利用整體思想解題。在這些題目中，可以把問題中某些代數(shù)式，賦予具體的幾何意義，構(gòu)造出幾何圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解答問題。例1：已知試求的最小值。圖6解析：作出圖6，賦予以上式子如下的幾何意義，所以求的最小值，即求的最小值，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)值最小，最小值為。例2：已知，則x 的取值范圍是（）A 1x5 B x1 C1x5 D x5分析：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義可知：表示數(shù)軸上到1與5的距離之和等于4的所有點(diǎn)所表示的數(shù)。如圖3，只要表示數(shù) 的點(diǎn)落在1和5之間（包括1和5），那么它到1與5的距離之和都等于4，所以1 x5，故選A。用整體思想解題不僅解

7、題過程簡(jiǎn)捷明快，而且富有創(chuàng)造性，有了整體思維的意識(shí)，在思考問題時(shí)，才能使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，提高解題速度，優(yōu)化解題過程同時(shí)，強(qiáng)化整體思想觀念，靈活選擇恰當(dāng)?shù)恼w思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功六、求函數(shù)解析式中的整體待定能夠另辟蹊徑。整體待定就是打破x是自變量y是x的函數(shù)的常規(guī)思維模式，而是依據(jù)題目敘述：已知y+b與x+a（a,b是常數(shù)）成正比例。那么x+a就是自變量y+b就是函數(shù)。這也是整體思想的具體運(yùn)用。這樣往往能另辟蹊徑，使問題變得簡(jiǎn)單。例題：已知y+b與x+a（a,b是常數(shù)）成正比例，（1）試說明y是x的一次函數(shù)：（2）如是x=3時(shí)，y=5，x=2時(shí)，y=2，求y與x的函數(shù)關(guān)系式

8、。解決這個(gè)問題（1）時(shí)，我們就要把y+b與x+a都看成一個(gè)整體，設(shè)y+b=k（x+a）得出y=kx+ak-b，從而說明y是x的一次函數(shù)，解決問題（2）時(shí)，當(dāng)我們把握兩組數(shù)值代入解析式y(tǒng)=kx+ak-b中后得到一個(gè)三元二次方程組，顯然不能求出每個(gè)未知數(shù)的值，但我們可以把a(bǔ)k-b看作一個(gè)整體，就可以求出k=3，ak-b=4，從而求出y與x的函數(shù)的關(guān)系式是y=3x-4，在這個(gè)問題中兩次運(yùn)用到整體思想方法。四、幾何證明中的整體補(bǔ)型能化平凡為神奇整體思想不但在代數(shù)方面經(jīng)常用到而且在幾何學(xué)習(xí)過程中也有廣泛應(yīng)用。學(xué)生在幾何學(xué)習(xí)過程中，經(jīng)常需要把不完整的平面圖形補(bǔ)成完整的平面圖形，或把不熟悉（或復(fù)雜）的平面圖

9、形補(bǔ)成熟悉（或簡(jiǎn)單）的平面圖形。使之成為基本圖形，將題目轉(zhuǎn)化為容易求解的問題。例3、在ABC中，E、F分別為BC邊的三等分點(diǎn)，M為AC的中點(diǎn)，BM與AE、AF分別交于G、H求BG：GH：HM。分析：如圖，以AC為一條對(duì)角線把三角形ABC補(bǔ)成平行四邊形，然后利用平行線分線段成比例去求解。解如圖，以M為定點(diǎn)，將整個(gè)圖形按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°得中心對(duì)稱圖形ABCB，設(shè)BG=x，GH=y，HM=z，則BG=x，GH=y ,MH=z。由對(duì)稱性，可得EGCGFHCH，從而=，=，即=，=， 解之，得于是 BG：GH：HM=x：y：z=：z=5：2：3。例5 在ABC中，BAC=45°

10、，AD是BC邊上的高，BD=2，DC=3，求ABC的面積。分析：求ABC的面積，其關(guān)鍵是求高AD，但在原圖形中用幾何法求高AD難以入手。可設(shè)法把原圖形補(bǔ)成邊長(zhǎng)等于AD長(zhǎng)的正方形，用勾股定理便可求出AD的長(zhǎng)。解 如圖16-30，以AB為對(duì)稱軸，作RtADB的對(duì)稱圖形RtAEB，再以AC為對(duì)稱軸，作RtADC的對(duì)稱圖形RtAFC，延長(zhǎng)EB、FC，設(shè)其交點(diǎn)為G。EAB=BAD，F(xiàn)ACDAC，EAB+FAC=BAD+CAD=BAC=45°，從而EAF=2×45°=90°于是四邊形AEGF是正方形。設(shè)AD=x，則BG=EG-EB=x-2，CG=FG-FC=x-3。

11、在RtBGC中，BG2+GC2=BC2，（x-2）2+(x-3)2=52,解之，得x=6，于是ABC的面積S=BC·AD=15（2）七、求陰影面積中的整體拼湊能夠事半功倍。在幾何學(xué)習(xí)中我們還經(jīng)常會(huì)用到整體拼湊法。就是當(dāng)各個(gè)部分面積無(wú)法求或很難求時(shí)，可以用圖形的平移、旋轉(zhuǎn)等把分散的圖形集中拼成大塊圖形來求從而找到解題的捷徑。例1.如下圖，矩形內(nèi)有兩個(gè)相鄰的正方形，面積分別為4和2，那么陰影部分的面積為_。解析：將上圖中的下部分陰影圖形向上平移，得到下圖，則所求陰影面積為矩形面積減去兩個(gè)正方形的面積。又易知 ，所以 。例2. 如下圖，ABCD是邊長(zhǎng)為8的一個(gè)正方形，、都是半徑為4的圓弧，

12、且、分別與AB、AD、BC、DC相切，則陰影部分的面積=_。解析：將點(diǎn)E、F、G、H中每?jī)牲c(diǎn)分別連結(jié)，如下圖，則大正方形被分割成四個(gè)小正方形，易知原題中的四段弧都是以4為半徑的等弧，以EF、FG、GH、HE為弦的四個(gè)弓形全等。故陰影部分的面積等于正方形EFGH的面積，即 。在求陰影面積時(shí)，巧妙地應(yīng)用整體拼湊法化部分圖形為整體圖形，變不規(guī)則圖形成規(guī)則圖形，把復(fù)雜艱難的問題簡(jiǎn)單化起到了事半功倍的效果?？傊w思想是初中數(shù)學(xué)中的基本思想，它的應(yīng)用范圍非常廣泛。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，在解決具體數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們的學(xué)生往往習(xí)慣于將問題“化整為零”然后各個(gè)擊破，但有時(shí)只要我們數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)向?qū)W生滲透運(yùn)用整體思想，仔細(xì)觀察問題的特點(diǎn)和具體要求，從全局著眼，把握整體，找到解決問題的最佳途徑，使解法簡(jiǎn)潔清