偏導數(shù)與高階導數(shù)(2)課件

1、 返回一一. .偏導數(shù)偏導數(shù)二二. .高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)三三. .偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用8.28.2 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù)目的要求目的要求: :一一. .理解多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念理解多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念二二. .熟練掌握求一階和二階偏導數(shù)的方法熟練掌握求一階和二階偏導數(shù)的方法重點：重點：一一. .一階、二階偏導數(shù)計算一階、二階偏導數(shù)計算三三. .熟練掌握偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用熟練掌握偏導數(shù)在經(jīng)濟分析中的應用二二. .偏導數(shù)的經(jīng)濟應用偏導數(shù)的經(jīng)濟應用 與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關于自變量的變與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關于自變量的變 數(shù)學上，人們將這種

2、變化率稱之為數(shù)學上，人們將這種變化率稱之為偏導數(shù)偏導數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù)而對另一個自變量求變化率而對另一個自變量求變化率。我們可按實際需要，我們可按實際需要，把其中的一個自變量視為常數(shù)把其中的一個自變量視為常數(shù)情況下，二元函數(shù)的自變量都是情況下，二元函數(shù)的自變量都是彼此無關彼此無關的，的，化率仍然是一個十分重要的概念。由于在通常的化率仍然是一個十分重要的概念。由于在通常的所以所以，繁啦！煩 多元函數(shù)的偏導數(shù)是一元函數(shù)多元函數(shù)的偏導數(shù)是一元函數(shù)導數(shù)的推廣導數(shù)的推廣, ,其計算往往是借用一其計算往往是借用一元函數(shù)的導數(shù)計算公式和方法元函數(shù)的導數(shù)計算公式和方法, ,

3、但但實際計算往往較繁實際計算往往較繁. . 在推廣中有一些東西將起在推廣中有一些東西將起質質的的變化變化. .我們通常介紹二元函數(shù)的情我們通常介紹二元函數(shù)的情形形, , 所得結果可以推廣到更高元的所得結果可以推廣到更高元的函數(shù)中函數(shù)中, , 一般一般不會遇到不會遇到原則性問題原則性問題. .第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)一一 、偏導數(shù)的定義及其計算、偏導數(shù)的定義及其計算在西方經(jīng)濟學中，柯布在西方經(jīng)濟學中，柯布- -道格拉斯生產(chǎn)函道格拉斯生產(chǎn)函,LcKQ 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)，, c 當勞動力投入不變時當勞動力投入不變時,產(chǎn)產(chǎn)量對資本投入的變化率為量對資本投入的變化率為dKdQ 當資本投入不變時

4、，產(chǎn)當資本投入不變時，產(chǎn)量對勞動力投入的變化率量對勞動力投入的變化率dLdQ 該問題說明有時需要求二元函數(shù)在某個變量不變該問題說明有時需要求二元函數(shù)在某個變量不變的條件下，的條件下，Q表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量.別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，別表示投入的勞動力數(shù)量和資本數(shù)量，0, 0 KL分分數(shù)為數(shù)為引例引例LKc1 .KQ 1 LKc.LQ 對另一個變量的變化率對另一個變量的變化率. . 第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù) （1 1）函數(shù)的偏改變量（偏增量）函數(shù)的偏改變量（偏增量） : 2中中空空間間 R函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處的偏增量為處的偏增量為: :及及000(,)(,)xz

5、f x yf xy 000(,)(,)yzf xyf xy1. 1. 二元函數(shù)的偏增量和全增量二元函數(shù)的偏增量和全增量 zx ),(),(0000yxfyxxf zy ),(),(0000yxfyyxf 第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)OxyzD),(yxfz )0 ,(00yxQ0y),(000zyxP沿此曲線計沿此曲線計算的函數(shù)在算的函數(shù)在點點 P 處的增處的增量為偏增量量為偏增量zxx zx 第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)（2 2） 函數(shù)的全改變量（全增量）函數(shù)的全改變量（全增量） : 2中中空空間間R或或函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處的全增量為處的全增量為: :00( ,)(,

6、)zf x yf xy z ),(),(0000yxfyyxxf 第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)2. 2. 偏導數(shù)概念偏導數(shù)概念 設函數(shù)設函數(shù) z = f (x, y) 在點在點(x0, y0)的某一鄰域內的某一鄰域內有定義有定義, ),(),(0000yxfyxxf xyxfyxxfx),(),(lim00000 則稱此極限值為則稱此極限值為z=f (x,y)在點在點(x0,y0)處對處對x的的,),(00yxxz 記為記為xxfxxfxfx)()(lim)(0000 一元函數(shù)導數(shù)一元函數(shù)導數(shù)如果極限存在如果極限存在,函數(shù)有增量函數(shù)有增量相應相應(1)定義定義當當y 固定在固定在y0 , 而而

7、x 在在x0 處有增量處有增量x時時, 偏導數(shù)偏導數(shù).),(00yxxf ),(00yxfx),(00yxzx或或第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)即即),(00yxfx類似地類似地, 函數(shù)函數(shù)z = f (x, y)在點在點(x0, y0)處對處對y的偏導數(shù)為的偏導數(shù)為),(00yxfy也可記為也可記為,00yyxxyz .),(),(lim00000yyxfyyxfy .),(00yxyf ),(00yxfy),(00yxzy或或變量 x 和 y 的偏導數(shù)均存在 , 則稱函數(shù)若函數(shù)),(yxf 在點),(00yx 處關于),(yxf在點處處),(00yx可偏導.),(),(lim00000 xyx

8、fyxxfx 2. 2. 偏導數(shù)概念偏導數(shù)概念在區(qū)域 D內的任一點若函數(shù)),(yxf內可偏導.處均可偏導 , 與一元函數(shù)的情況類似, 函數(shù)在區(qū)域上的偏導數(shù)構成一個偏導函數(shù), , zy ( , ) , f x yy , yz ( , ) , yfx y , zx ( , ) , f x yx , xz ( , ), xfx y 分別記作函數(shù)在區(qū)域上的偏導數(shù).一般仍稱為),(yxf在區(qū)域 D則稱函數(shù)第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)的概念可以推廣到偏導數(shù)的概念可以推廣到二元以上的多元函數(shù)二元以上的多元函數(shù).如函數(shù)如函數(shù) 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx),(zyxfx xzyxfzyxxf

9、x ),(),(lim0),(zyxfy yzyxfzyyxfy ),(),(lim0 0),(zyxfz zzyxfzzyxfz ),(),(lim0 0第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù) 注意！偏導數(shù)的符號yzxz ,是一個整體記號,z 與yx ,的商.dxdy不能像一元函數(shù)那樣將看成是yzxz , 全導數(shù)全導數(shù))(xf dxxfdy)( 第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)xyxfyxxfxzx ),(),(lim0可以看出可以看出: 定義定義xz 時時, 變量變量 y 是不變的是不變的, 實際上實際上,是對函數(shù)是對函數(shù)),(yxf, 將將 y 視為常數(shù)視為常數(shù), 關于變量關于變量

10、 x 按按一元一元函數(shù)導數(shù)的定義函數(shù)導數(shù)的定義進行的：進行的：xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf 2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 求多元函數(shù)的偏導數(shù)求多元函數(shù)的偏導數(shù)相應的一元函數(shù)的導數(shù)相應的一元函數(shù)的導數(shù). 實質上是求實質上是求忘記了忘記了, 請趕快復習一下請趕快復習一下.如果一元函數(shù)的求導方法和公式如果一元函數(shù)的求導方法和公式2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 多元函數(shù)的偏導數(shù)的計算方法多元函數(shù)的偏導數(shù)的計算方法,沒有任何沒有任何技術性的新東西技術性的新東西.求偏導數(shù)時求偏導數(shù)時, ,只要將只要將 n 個自變量個自變量中的某一個看

11、成中的某一個看成變量變量, ,自變量均視為自變量均視為常數(shù)常數(shù), , 的求導方法的求導方法進行計算即可進行計算即可 . .方法方法:其余的其余的 n1個個 然后然后按一元函數(shù)按一元函數(shù)2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 )( 1 aaxax ln)( aaaxx 將將 y 看成常數(shù)時看成常數(shù)時, , 將將 x 看成常數(shù)時看成常數(shù)時, , 解解是對冪函數(shù)求導是對冪函數(shù)求導. .是對指數(shù)函數(shù)求導是對指數(shù)函數(shù)求導. .例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù).)0( xxzyxz .1 yyxyz .ln xxy 2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù).22eyxz 例

12、例2 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù).22eyxz yz xz 解解xyxyx)(e2222 .e222yxx yyxyx)(e2222 .e222yxy 2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點(1, 3) 處對處對x 和和 y 的偏導數(shù)的偏導數(shù).222),(yxyxyxf 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點(1, 3) 處處對對x 和和 y 的偏導數(shù)的偏導數(shù).222),(yxyxyxf 解解),(yxfx),(yxfy將點將點(1,3)代入上式，得代入上式，得)3 , 1(xf, 96)3 ,(2 xxxf221), 1(yyyf 可得可得, 62)3 ,( xxfyy

13、f22), 1( 所以所以 , 8612)3 , 1( xf , 83212 )3 , 1( yf. 43212 . 4322)3 , 1( yf,22yx .22yx 在求在求定點處定點處的導數(shù)時，的導數(shù)時，先代入固定變量取值，先代入固定變量取值，然后再求導，可簡化求導計算。然后再求導，可簡化求導計算。2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 或或例例4 設設 ,arcsin)1()2(),(22yxyyxyxf 求求 ),1 , 2(xf解解)1 ,(xf),0(yf)1 , 2(xf所以所以二元以上多元函數(shù)的偏導數(shù)可類似地定義和計算例例 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導數(shù)的偏導數(shù).)sin(32yxeuz

14、對對x求偏導數(shù)就是視求偏導數(shù)就是視y, z為常數(shù)，對為常數(shù)，對x求導數(shù)求導數(shù)xu yu zu 同理同理因為因為2)1 ,( xxxf2)2(2 xx,0 解解),cos(232yxxez ).1 , 0(yf)1 , 0(yf1), 0( yyyf18 yy. 8 ,)2(2 x,42y ),cos(3322yxeyz ).sin(32yxez 2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 .),()0 ,0(),(0)0 ,0(),(),(22的的偏偏導導數(shù)數(shù)求求設設yxfyxyxyxxyyxf 例例5 5解解,)0 , 0(),(時時當當 yx.)()(22222yxxyy .)()(22222yxy

15、xx 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求),(yxfx22222)(2)(yxxxyyxy ),(yxfy22222)(2)(yxyxyyxx ,)0 , 0(),(時時當當 yx由偏導數(shù)定義可知：由偏導數(shù)定義可知：0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx xx 0lim00(0,)(0,0)(0,0)limyyfyffy yy 0lim022222()( , )(0,0)( , ),()0( , )(0,0)xy yxx yfx yxyx y 22222()( ,)(0,0)( ,).()0( ,)(0,0)yx xyx yfx yxyx y . 0 .0 故故)(22yxxy

16、 2.2.偏導數(shù)的計算偏導數(shù)的計算 小結小結二、多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念與計算二、多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念與計算 , zx .yz 一、多元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的連續(xù)性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyxP52 3. 確定并畫出下列函數(shù)的定義域確定并畫出下列函數(shù)的定義域:;)2(yxz 解解 yxyx00函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為. , 0, 0),(2yxyxyxD 要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足作業(yè)講評:Oxy .arccos)4(22yxzu Solution. 012222yxyxz 022222yxyxz所求定義域為所求定義域為.0,

17、| ),(22222 yxyxzzyxD作業(yè)講評:.)(lim)4( 22)0,0(),(xyyxyx Solution. )ln(2)ln(0222222yxyxyxxy ttttyxln2lim022 ttlnlimt2 20 0 02lim0 tt. 0)ln(lim22 yxxyyxP58 1. 求下列極限求下列極限 xyyxyx)(lim 22)0,0(),( )ln()0,0(),(22lim yxxyyxe )ln(2lim 2222)0 , 0(),(yxyxyx 由夾逼準則由夾逼準則 即即 xyyxyx)(lim 22)0 , 0(),( )ln()0 , 0(),(22li

18、m yxxyyxe 0 00 00 0elim ),() y , x( . 1 1 P59.4.P59.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性討論下列函數(shù)的連續(xù)性解解),(lim0yxfkxyx ,0)sin(),()3(22 yxxyyxf),0 , 0(22 yx),0 , 0(22 yx22220)sin(limxkxkxkxyx 2220)1 ()sin(limxkkxkxyx 21 kk .)0 ,0(),(以以外外的的點點均均連連續(xù)續(xù)在在除除所所以以函函數(shù)數(shù)yxf,)0 , 0(22時時當當 yx.,),(故故連連續(xù)續(xù)為為初初等等函函數(shù)數(shù)yxf,)0 , 0(22時時當當 yx.),(lim00

19、不不存存在在yxfyx 復習二、多元函數(shù)的偏導數(shù)的概念與計算 , zx .yz 一、多元函數(shù)的連續(xù)性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyx 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內處處連續(xù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內處處連續(xù).3.3.二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導數(shù)的幾何意義 當當 y = y0時時, 曲面曲面z = f (x, y)與平面與平面 y = y0 的交線方程的交線方程為為, ),(0 yyyxfz在點在點 M0(x0, y0, z0) 處處由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知由一元函數(shù)導數(shù)的幾何意義知 ：fx (x0, y0) 幾何意義幾何意義是是 ),(0yyy

20、xfz對對x 軸的切線斜率軸的切線斜率. zxy),(00yx ),(0yyyxfz .tan),(00 yxfx同理同理.tan),(00 yxfy二元函數(shù)二元函數(shù) z =f (x, y) 的圖形表示空間一張曲面的圖形表示空間一張曲面.曲線曲線即即fx (x0, y0), 第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù)4.4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系偏導數(shù)與連續(xù)的關系 對于二元函數(shù)偏導數(shù)與連續(xù)的關系如何？對于二元函數(shù)偏導數(shù)與連續(xù)的關系如何？連續(xù)連續(xù).)0, 0(0, 00,),(222222關關系系點點的的偏偏導導數(shù)數(shù)與與連連續(xù)續(xù)性性的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) yxyxyxxyyxf解解)0 ,

21、 0(xfxx 00lim0一元函數(shù)可導與連續(xù)的關系：一元函數(shù)可導與連續(xù)的關系：可導可導由偏導數(shù)定義由偏導數(shù)定義xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 . 0 )0 , 0(yf. 000lim0 yyyfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 例例第二節(jié)第二節(jié) 偏導數(shù)與高階偏導數(shù)偏導數(shù)與高階偏導數(shù)所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在(0, 0) 處對變量處對變量 x，y 的偏導數(shù)存在的偏導數(shù)存在.讓讓 沿直線沿直線 而趨于（而趨于（0,0），），),(yx)0( kkxy220limyxxykxyx 它將隨它將隨k k的不同而具有不同的值，的不同而具有不同的值，2200limyxxyyx 結論

22、：結論：二元函數(shù)偏導數(shù)存在二元函數(shù)偏導數(shù)存在, ,但未必連續(xù)但未必連續(xù). .則有則有)1(lim2220kxkxx 所以函數(shù)在所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù).不存在不存在.因此極限因此極限21kk 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求4.4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系偏導數(shù)與連續(xù)的關系 例例 說明二元函數(shù)說明二元函數(shù) ，在點，在點(0,0)處是連續(xù)的處是連續(xù)的, 但在但在(0,0)點偏導數(shù)不存在點偏導數(shù)不存在.22),(yxyxf 解解),0 , 0(lim2200fyxxy 所以，函數(shù)所以，函數(shù) 在點處在點處(0,0)連續(xù)連續(xù).22),(yxyxf 又因為又因為xxx00)(lim220 極

23、限不存在，極限不存在，因為因為,lim0 xxx ),(00yxfx所以偏導數(shù)不存在所以偏導數(shù)不存在. 結論：結論：二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,但但偏導數(shù)偏導數(shù)未必未必存在存在. .4.4.偏導數(shù)與連續(xù)的關系偏導數(shù)與連續(xù)的關系 對多元函數(shù)來說對多元函數(shù)來說, ,函數(shù)的偏導數(shù)函數(shù)的偏導數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關系存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關系. .這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個本質區(qū)別一個本質區(qū)別. .偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點可導一元函數(shù)中在某點可導 連續(xù)連續(xù)， 可見，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的理可見，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的

24、理論有許多論有許多類似類似之處，也是還有一些之處，也是還有一些本質本質的差別。的差別。二、高階偏導數(shù) xzx 設函數(shù)設函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D內有偏導函數(shù)內有偏導函數(shù) 與與 ),(yxfx),(yxfy yzy xzy yzx有下列有下列四個二階偏導數(shù)四個二階偏導數(shù)按求導順序不同按求導順序不同, 偏導數(shù)偏導數(shù). 則稱其偏導數(shù)為二階則稱其偏導數(shù)為二階且其偏導數(shù)仍存在且其偏導數(shù)仍存在, 22xz ),(yxzxx );,(yxfxx 22yz ),(yxzyy );,(yxfyy yxz 2),(yxzxy ),(yxfxy xyz 2),(yxzyx ),(yxfyx )

25、,( 混混合合偏偏導導).( 混混合合偏偏導導 一個多元一個多元函數(shù)的函數(shù)的 n 1 階偏導數(shù)的偏導數(shù)階偏導數(shù)的偏導數(shù), 例例1 求求 的二階偏導數(shù)的二階偏導數(shù).3233),(yxyxyxf ),(yxfxx),(yxfy,6332xyyx 解解),( yxfyy),(yxfxy),(yxfyx高階偏導數(shù)的求導原則是高階偏導數(shù)的求導原則是逐階求導逐階求導.二階及二階以上的偏導數(shù)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)稱為高階偏導數(shù)高階偏導數(shù).同樣可定義三階、四階以至同樣可定義三階、四階以至 n 階偏導數(shù)階偏導數(shù).n階偏導數(shù)階偏導數(shù). 稱為原來函數(shù)的稱為原來函數(shù)的),( yxfx2239yxx ,663yxy

26、 ,18322xyx ,182yx .18322xyx 1、先求一階偏導數(shù)、先求一階偏導數(shù) 2、再求二階偏導數(shù)、再求二階偏導數(shù),zzxy稱為稱為一階偏導數(shù)一階偏導數(shù) （低階偏導數(shù)低階偏導數(shù)）.二、高階偏導數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx二、高階偏導數(shù)原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形偏導函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導函數(shù)圖形導函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏導觀察上例中原函數(shù)、偏導函數(shù)與二階混合偏

27、導函數(shù)圖象間的關系：函數(shù)圖象間的關系：二、高階偏導數(shù)解解例例3 求求 的二階混合偏導數(shù)的二階混合偏導數(shù).xxyyeez xz yz yxz 2xyz 2 此例中兩個二階混合偏導數(shù)相等此例中兩個二階混合偏導數(shù)相等. 如果函數(shù)如果函數(shù)z =f (x, y)在開區(qū)域在開區(qū)域 D上二階混合偏導數(shù)上二階混合偏導數(shù)連續(xù)連續(xù), .22xyzyxz ,xxyyeye ,xxyexe ,xxyxyexyee .xxyxyexyee 在什么條件下在什么條件下兩個混合偏導數(shù)相等？兩個混合偏導數(shù)相等？ 兩個混合偏導數(shù)也未必一定相等兩個混合偏導數(shù)也未必一定相等,數(shù)運算的次序不同，數(shù)運算的次序不同，但是由于求偏導但是由于

28、求偏導定理定理則在該區(qū)域上任一點處必有則在該區(qū)域上任一點處必有 即：二階混合偏導數(shù)在即：二階混合偏導數(shù)在連續(xù)連續(xù)的條件下與求導的的條件下與求導的次序次序無關無關,這給混合偏導數(shù)的計算帶來了方便這給混合偏導數(shù)的計算帶來了方便.二、高階偏導數(shù)問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？混合偏導數(shù)都相等嗎？解解322( ,)(0,0)( ,)0( ,)(0,0)x yx yf x yxyx y 例例4 4求求xx 0lim0.0 )0 ,0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0).0 , 0(),0 , 0(yxxyff時時，當當)0 , 0(),( yx),(yxfx2223222)(2)(3yx

29、xyxyxyx 222324)(3yxyxyx ),(yxfy2223223)(2)(yxyyxyxx 222235)(yxyxx yy 0lim0.0 )0 ,0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0問題：問題：混合偏導數(shù)都相等嗎？混合偏導數(shù)都相等嗎？.1 )0 ,0(xyfyfyfxxy )0 , 0(), 0(lim0).0 , 0()0 , 0(yxxyff 顯然顯然).0 ,0(),0 ,0(yxxyff),0(yfx,0 )0 ,( xfy,x yy 0lim0.0 )0 ,0(yxfxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim0 xxx 0lim 0,)(3),(222324yxyxyxyxfx),0 , 0(),( yx),0 , 0(