偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)(2)課件

1、 返回一一. .偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)二二. .高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)三三. .偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用8.28.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)目的要求目的要求: :一一. .理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念理解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念二二. .熟練掌握求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的方法熟練掌握求一階和二階偏導(dǎo)數(shù)的方法重點(diǎn)：重點(diǎn)：一一. .一階、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算一階、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算三三. .熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用熟練掌握偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用二二. .偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關(guān)于自變量的變與一元函數(shù)類似，二元函數(shù)關(guān)于自變量的變 數(shù)學(xué)上，人們將這種

2、變化率稱之為數(shù)學(xué)上，人們將這種變化率稱之為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)。第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)而對另一個(gè)自變量求變化率而對另一個(gè)自變量求變化率。我們可按實(shí)際需要，我們可按實(shí)際需要，把其中的一個(gè)自變量視為常數(shù)把其中的一個(gè)自變量視為常數(shù)情況下，二元函數(shù)的自變量都是情況下，二元函數(shù)的自變量都是彼此無關(guān)彼此無關(guān)的，的，化率仍然是一個(gè)十分重要的概念。由于在通常的化率仍然是一個(gè)十分重要的概念。由于在通常的所以所以，繁啦！煩 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的推廣導(dǎo)數(shù)的推廣, ,其計(jì)算往往是借用一其計(jì)算往往是借用一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和方法元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式和方法, ,

3、但但實(shí)際計(jì)算往往較繁實(shí)際計(jì)算往往較繁. . 在推廣中有一些東西將起在推廣中有一些東西將起質(zhì)質(zhì)的的變化變化. .我們通常介紹二元函數(shù)的情我們通常介紹二元函數(shù)的情形形, , 所得結(jié)果可以推廣到更高元的所得結(jié)果可以推廣到更高元的函數(shù)中函數(shù)中, , 一般一般不會(huì)遇到不會(huì)遇到原則性問題原則性問題. .第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)一一 、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，柯布- -道格拉斯生產(chǎn)函道格拉斯生產(chǎn)函,LcKQ 這里這里 為常數(shù)，為常數(shù)，, c 當(dāng)勞動(dòng)力投入不變時(shí)當(dāng)勞動(dòng)力投入不變時(shí),產(chǎn)產(chǎn)量對資本投入的變化率為量對資本投入的變化率為dKdQ 當(dāng)資本投入不變時(shí)

4、，產(chǎn)當(dāng)資本投入不變時(shí)，產(chǎn)量對勞動(dòng)力投入的變化率量對勞動(dòng)力投入的變化率dLdQ 該問題說明有時(shí)需要求二元函數(shù)在某個(gè)變量不變該問題說明有時(shí)需要求二元函數(shù)在某個(gè)變量不變的條件下，的條件下，Q表示產(chǎn)量表示產(chǎn)量.別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，別表示投入的勞動(dòng)力數(shù)量和資本數(shù)量，0, 0 KL分分?jǐn)?shù)為數(shù)為引例引例LKc1 .KQ 1 LKc.LQ 對另一個(gè)變量的變化率對另一個(gè)變量的變化率. . 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù) （1 1）函數(shù)的偏改變量（偏增量）函數(shù)的偏改變量（偏增量） : 2中中空空間間 R函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處的偏增量為處的偏增量為: :及及000(,)(,)xz

5、f x yf xy 000(,)(,)yzf xyf xy1. 1. 二元函數(shù)的偏增量和全增量二元函數(shù)的偏增量和全增量 zx ),(),(0000yxfyxxf zy ),(),(0000yxfyyxf 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)OxyzD),(yxfz )0 ,(00yxQ0y),(000zyxP沿此曲線計(jì)沿此曲線計(jì)算的函數(shù)在算的函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn) P 處的增處的增量為偏增量量為偏增量zxx zx 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)（2 2） 函數(shù)的全改變量（全增量）函數(shù)的全改變量（全增量） : 2中中空空間間R或或函數(shù)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處的全增量為處的全增量為: :00( ,)(,

6、)zf x yf xy z ),(),(0000yxfyyxxf 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)數(shù)概念 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)有定義有定義, ),(),(0000yxfyxxf xyxfyxxfx),(),(lim00000 則稱此極限值為則稱此極限值為z=f (x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處對處對x的的,),(00yxxz 記為記為xxfxxfxfx)()(lim)(0000 一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)如果極限存在如果極限存在,函數(shù)有增量函數(shù)有增量相應(yīng)相應(yīng)(1)定義定義當(dāng)當(dāng)y 固定在固定在y0 , 而而

7、x 在在x0 處有增量處有增量x時(shí)時(shí), 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).),(00yxxf ),(00yxfx),(00yxzx或或第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)即即),(00yxfx類似地類似地, 函數(shù)函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為),(00yxfy也可記為也可記為,00yyxxyz .),(),(lim00000yyxfyyxfy .),(00yxyf ),(00yxfy),(00yxzy或或變量 x 和 y 的偏導(dǎo)數(shù)均存在 , 則稱函數(shù)若函數(shù)),(yxf 在點(diǎn)),(00yx 處關(guān)于),(yxf在點(diǎn)處處),(00yx可偏導(dǎo).),(),(lim00000 xyx

8、fyxxfx 2. 2. 偏導(dǎo)數(shù)概念偏導(dǎo)數(shù)概念在區(qū)域 D內(nèi)的任一點(diǎn)若函數(shù)),(yxf內(nèi)可偏導(dǎo).處均可偏導(dǎo) , 與一元函數(shù)的情況類似, 函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)偏導(dǎo)函數(shù), , zy ( , ) , f x yy , yz ( , ) , yfx y , zx ( , ) , f x yx , xz ( , ), xfx y 分別記作函數(shù)在區(qū)域上的偏導(dǎo)數(shù).一般仍稱為),(yxf在區(qū)域 D則稱函數(shù)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的多元函數(shù)二元以上的多元函數(shù).如函數(shù)如函數(shù) 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx),(zyxfx xzyxfzyxxf

9、x ),(),(lim0),(zyxfy yzyxfzyyxfy ),(),(lim0 0),(zyxfz zzyxfzzyxfz ),(),(lim0 0第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù) 注意！偏導(dǎo)數(shù)的符號(hào)yzxz ,是一個(gè)整體記號(hào),z 與yx ,的商.dxdy不能像一元函數(shù)那樣將看成是yzxz , 全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù))(xf dxxfdy)( 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfxzx ),(),(lim0可以看出可以看出: 定義定義xz 時(shí)時(shí), 變量變量 y 是不變的是不變的, 實(shí)際上實(shí)際上,是對函數(shù)是對函數(shù)),(yxf, 將將 y 視為常數(shù)視為常數(shù), 關(guān)于變量關(guān)于變量

10、 x 按按一元一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行的：進(jìn)行的：xyxfyxxfxzxyx ),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相應(yīng)的一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 實(shí)質(zhì)上是求實(shí)質(zhì)上是求忘記了忘記了, 請趕快復(fù)習(xí)一下請趕快復(fù)習(xí)一下.如果一元函數(shù)的求導(dǎo)方法和公式如果一元函數(shù)的求導(dǎo)方法和公式2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,沒有任何沒有任何技術(shù)性的新東西技術(shù)性的新東西.求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí), ,只要將只要將 n 個(gè)自變量個(gè)自變量中的某一個(gè)看

11、成中的某一個(gè)看成變量變量, ,自變量均視為自變量均視為常數(shù)常數(shù), , 的求導(dǎo)方法的求導(dǎo)方法進(jìn)行計(jì)算即可進(jìn)行計(jì)算即可 . .方法方法:其余的其余的 n1個(gè)個(gè) 然后然后按一元函數(shù)按一元函數(shù)2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 )( 1 aaxax ln)( aaaxx 將將 y 看成常數(shù)時(shí)看成常數(shù)時(shí), , 將將 x 看成常數(shù)時(shí)看成常數(shù)時(shí), , 解解是對冪函數(shù)求導(dǎo)是對冪函數(shù)求導(dǎo). .是對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)是對指數(shù)函數(shù)求導(dǎo). .例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).)0( xxzyxz .1 yyxyz .ln xxy 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 例例2 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).22eyxz 例

12、例2 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).22eyxz yz xz 解解xyxyx)(e2222 .e222yxx yyxyx)(e2222 .e222yxy 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(1, 3) 處對處對x 和和 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).222),(yxyxyxf 例例3 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)(1, 3) 處處對對x 和和 y 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).222),(yxyxyxf 解解),(yxfx),(yxfy將點(diǎn)將點(diǎn)(1,3)代入上式，得代入上式，得)3 , 1(xf, 96)3 ,(2 xxxf221), 1(yyyf 可得可得, 62)3 ,( xxfyy

13、f22), 1( 所以所以 , 8612)3 , 1( xf , 83212 )3 , 1( yf. 43212 . 4322)3 , 1( yf,22yx .22yx 在求在求定點(diǎn)處定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先代入固定變量取值，先代入固定變量取值，然后再求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)計(jì)算。然后再求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)計(jì)算。2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 或或例例4 設(shè)設(shè) ,arcsin)1()2(),(22yxyyxyxf 求求 ),1 , 2(xf解解)1 ,(xf),0(yf)1 , 2(xf所以所以二元以上多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可類似地定義和計(jì)算例例 求函數(shù)求函數(shù) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).)sin(32yxeuz

14、對對x求偏導(dǎo)數(shù)就是視求偏導(dǎo)數(shù)就是視y, z為常數(shù)，對為常數(shù)，對x求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)xu yu zu 同理同理因?yàn)橐驗(yàn)?)1 ,( xxxf2)2(2 xx,0 解解),cos(232yxxez ).1 , 0(yf)1 , 0(yf1), 0( yyyf18 yy. 8 ,)2(2 x,42y ),cos(3322yxeyz ).sin(32yxez 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 .),()0 ,0(),(0)0 ,0(),(),(22的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例5 5解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx.)()(22222yxxyy .)()(22222yxy

15、xx 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求),(yxfx22222)(2)(yxxxyyxy ),(yxfy22222)(2)(yxyxyyxx ,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx由偏導(dǎo)數(shù)定義可知：由偏導(dǎo)數(shù)定義可知：0(,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx xx 0lim00(0,)(0,0)(0,0)limyyfyffy yy 0lim022222()( , )(0,0)( , ),()0( , )(0,0)xy yxx yfx yxyx y 22222()( ,)(0,0)( ,).()0( ,)(0,0)yx xyx yfx yxyx y . 0 .0 故故)(22yxxy

16、 2.2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 小結(jié)小結(jié)二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 , zx .yz 一、多元函數(shù)的連續(xù)性一、多元函數(shù)的連續(xù)性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyxP52 3. 確定并畫出下列函數(shù)的定義域確定并畫出下列函數(shù)的定義域:;)2(yxz 解解 yxyx00函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)? , 0, 0),(2yxyxyxD 要使函數(shù)有意義須滿足要使函數(shù)有意義須滿足作業(yè)講評(píng):Oxy .arccos)4(22yxzu Solution. 012222yxyxz 022222yxyxz所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?0,

17、| ),(22222 yxyxzzyxD作業(yè)講評(píng):.)(lim)4( 22)0,0(),(xyyxyx Solution. )ln(2)ln(0222222yxyxyxxy ttttyxln2lim022 ttlnlimt2 20 0 02lim0 tt. 0)ln(lim22 yxxyyxP58 1. 求下列極限求下列極限 xyyxyx)(lim 22)0,0(),( )ln()0,0(),(22lim yxxyyxe )ln(2lim 2222)0 , 0(),(yxyxyx 由夾逼準(zhǔn)則由夾逼準(zhǔn)則 即即 xyyxyx)(lim 22)0 , 0(),( )ln()0 , 0(),(22li

18、m yxxyyxe 0 00 00 0elim ),() y , x( . 1 1 P59.4.P59.4.討論下列函數(shù)的連續(xù)性討論下列函數(shù)的連續(xù)性解解),(lim0yxfkxyx ,0)sin(),()3(22 yxxyyxf),0 , 0(22 yx),0 , 0(22 yx22220)sin(limxkxkxkxyx 2220)1 ()sin(limxkkxkxyx 21 kk .)0 ,0(),(以以外外的的點(diǎn)點(diǎn)均均連連續(xù)續(xù)在在除除所所以以函函數(shù)數(shù)yxf,)0 , 0(22時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx.,),(故故連連續(xù)續(xù)為為初初等等函函數(shù)數(shù)yxf,)0 , 0(22時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx.),(lim00

19、不不存存在在yxfyx 復(fù)習(xí)二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 , zx .yz 一、多元函數(shù)的連續(xù)性),(),(lim00,00yxfyxfyyxx . 0lim00 zyx 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)處處連續(xù).3.3.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 當(dāng)當(dāng) y = y0時(shí)時(shí), 曲面曲面z = f (x, y)與平面與平面 y = y0 的交線方程的交線方程為為, ),(0 yyyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) M0(x0, y0, z0) 處處由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知 ：fx (x0, y0) 幾何意義幾何意義是是 ),(0yyy

20、xfz對對x 軸的切線斜率軸的切線斜率. zxy),(00yx ),(0yyyxfz .tan),(00 yxfx同理同理.tan),(00 yxfy二元函數(shù)二元函數(shù) z =f (x, y) 的圖形表示空間一張曲面的圖形表示空間一張曲面.曲線曲線即即fx (x0, y0), 第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)4.4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 對于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系如何？對于二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系如何？連續(xù)連續(xù).)0, 0(0, 00,),(222222關(guān)關(guān)系系點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)與與連連續(xù)續(xù)性性的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) yxyxyxxyyxf解解)0 ,

21、 0(xfxx 00lim0一元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：一元函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)可導(dǎo)由偏導(dǎo)數(shù)定義由偏導(dǎo)數(shù)定義xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 . 0 )0 , 0(yf. 000lim0 yyyfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 例例第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)所以，函數(shù)在所以，函數(shù)在(0, 0) 處對變量處對變量 x，y 的偏導(dǎo)數(shù)存在的偏導(dǎo)數(shù)存在.讓讓 沿直線沿直線 而趨于（而趨于（0,0），），),(yx)0( kkxy220limyxxykxyx 它將隨它將隨k k的不同而具有不同的值，的不同而具有不同的值，2200limyxxyyx 結(jié)論

22、：結(jié)論：二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在, ,但未必連續(xù)但未必連續(xù). .則有則有)1(lim2220kxkxx 所以函數(shù)在所以函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)處不連續(xù).不存在不存在.因此極限因此極限21kk 求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求4.4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 例例 說明二元函數(shù)說明二元函數(shù) ，在點(diǎn)，在點(diǎn)(0,0)處是連續(xù)的處是連續(xù)的, 但在但在(0,0)點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不存在.22),(yxyxf 解解),0 , 0(lim2200fyxxy 所以，函數(shù)所以，函數(shù) 在點(diǎn)處在點(diǎn)處(0,0)連續(xù)連續(xù).22),(yxyxf 又因?yàn)橛忠驗(yàn)閤xx00)(lim220 極

23、限不存在，極限不存在，因?yàn)橐驗(yàn)?lim0 xxx ),(00yxfx所以偏導(dǎo)數(shù)不存在所以偏導(dǎo)數(shù)不存在. 結(jié)論：結(jié)論：二元函數(shù)二元函數(shù)連續(xù)連續(xù), ,但但偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)未必未必存在存在. .4.4.偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)的關(guān)系 對多元函數(shù)來說對多元函數(shù)來說, ,函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關(guān)系存在與否與函數(shù)的連續(xù)性無必然關(guān)系. .這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的這是多元函數(shù)與一元函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)區(qū)別一個(gè)本質(zhì)區(qū)別. .偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)連續(xù)， 可見，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的理可見，多元函數(shù)的理論除了與一元函數(shù)的

24、理論有許多論有許多類似類似之處，也是還有一些之處，也是還有一些本質(zhì)本質(zhì)的差別。的差別。二、高階偏導(dǎo)數(shù) xzx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z = f (x, y) 在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù)內(nèi)有偏導(dǎo)函數(shù) 與與 ),(yxfx),(yxfy yzy xzy yzx有下列有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù). 則稱其偏導(dǎo)數(shù)為二階則稱其偏導(dǎo)數(shù)為二階且其偏導(dǎo)數(shù)仍存在且其偏導(dǎo)數(shù)仍存在, 22xz ),(yxzxx );,(yxfxx 22yz ),(yxzyy );,(yxfyy yxz 2),(yxzxy ),(yxfxy xyz 2),(yxzyx ),(yxfyx )

25、,( 混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)).( 混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo) 一個(gè)多元一個(gè)多元函數(shù)的函數(shù)的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 例例1 求求 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).3233),(yxyxyxf ),(yxfxx),(yxfy,6332xyyx 解解),( yxfyy),(yxfxy),(yxfyx高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)原則是高階偏導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)原則是逐階求導(dǎo)逐階求導(dǎo).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).同樣可定義三階、四階以至同樣可定義三階、四階以至 n 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù).n階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù). 稱為原來函數(shù)的稱為原來函數(shù)的),( yxfx2239yxx ,663yxy

26、 ,18322xyx ,182yx .18322xyx 1、先求一階偏導(dǎo)數(shù)、先求一階偏導(dǎo)數(shù) 2、再求二階偏導(dǎo)數(shù)、再求二階偏導(dǎo)數(shù),zzxy稱為稱為一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù) （低階偏導(dǎo)數(shù)低階偏導(dǎo)數(shù)）.二、高階偏導(dǎo)數(shù)解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx二、高階偏導(dǎo)數(shù)原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形二階混合偏二階混合偏導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏

27、導(dǎo)函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系：二、高階偏導(dǎo)數(shù)解解例例3 求求 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù).xxyyeez xz yz yxz 2xyz 2 此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等此例中兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等. 如果函數(shù)如果函數(shù)z =f (x, y)在開區(qū)域在開區(qū)域 D上二階混合偏導(dǎo)數(shù)上二階混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)連續(xù), .22xyzyxz ,xxyyeye ,xxyexe ,xxyxyexyee .xxyxyexyee 在什么條件下在什么條件下兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)相等？ 兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)也未必一定相等,數(shù)運(yùn)算的次序不同，數(shù)運(yùn)算的次序不同，但是由于求偏導(dǎo)但是由于

28、求偏導(dǎo)定理定理則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有則在該區(qū)域上任一點(diǎn)處必有 即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在即：二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的的條件下與求導(dǎo)的次序次序無關(guān)無關(guān),這給混合偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來了方便這給混合偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來了方便.二、高階偏導(dǎo)數(shù)問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？解解322( ,)(0,0)( ,)0( ,)(0,0)x yx yf x yxyx y 例例4 4求求xx 0lim0.0 )0 ,0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0).0 , 0(),0 , 0(yxxyff時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx),(yxfx2223222)(2)(3yx

29、xyxyxyx 222324)(3yxyxyx ),(yxfy2223223)(2)(yxyyxyxx 222235)(yxyxx yy 0lim0.0 )0 ,0(yfyfyfy )0 , 0(), 0(lim0問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？.1 )0 ,0(xyfyfyfxxy )0 , 0(), 0(lim0).0 , 0()0 , 0(yxxyff 顯然顯然).0 ,0(),0 ,0(yxxyff),0(yfx,0 )0 ,( xfy,x yy 0lim0.0 )0 ,0(yxfxfxfyyx )0 , 0()0 ,(lim0 xxx 0lim 0,)(3),(222324yxyxyxyxfx),0 , 0(),( yx),0 , 0(