兩個重要的極限(5)課件

1、1sinlim0 xxx1.4 兩個重要的極限兩個重要的極限1.4.1 我們先考察當 0 xxxsin的變化趨勢： 0.958851 0.998334 0.999983 0.999999 xxxsin5 . 01 . 001. 0001. 0由上表可以看出，當 0 x1sinxx可以證明 推廣：推廣：則,),C(若x0(x)1sinlim0 xxx1 1( (x x) )( (x x) )s si in nx xl li im m例例1.12.3sinlim0 xxx求解解)(3sin(lim0 xx. 3)31)()(sinlimxxxx3例例1.13.tanlim0 xxx求求解解xxxt

2、anlim0.cos1limsinlim00 xxxxx)1cossin(lim0 xxxx.cos1sinlim0 xxxx11)()(sinlimxxx例例1.141.14.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 1sinlim0 xxx例例1.15 求 2 2x x4)4)sin(xsin(xlimlim2 22 2x x解：原式解：原式=2)2)(x(x2)2)2)(x2)(x(x(x4)4)sin(xsin(xlimlim2 22 2x x1)()(sinli

3、mxxx441思考：思考： 9 9x x3)3)sin(xsin(xlimlim2 22 2x x例例1.15 求 2 2coscoslimlim2 2解解2 2coscoslimlim2 22 2) )2 2sin(sin(limlim2 212時，時， 02，因此因此當1)()(sinlimxxx例例.arcsinlim0 xxx求求解解于于是是有有時時當當則則令令. 0,0,sin,arcsin txtxxt. 1sinarcsinlimlim00 ttxxtx1)()(sinlimxxxexxx )11(lim1.4.2 我們先列表考察當我們先列表考察當 xx時，函數(shù)時，函數(shù) xx)1

4、1 ( 的變化趨勢的變化趨勢. xxx)11 ( 1 10100100010000100000 2 2.59 2.7052.717 2.7182.71827xxx)11 ( -10-100-1000-10000-100000.2.882.7322.7202.71832.71828從上表可以看出，當 xx時，函數(shù) xx)11 ( 的值無限接近于一個常數(shù)，可以證明，這里證明從略 exxx )11(lim這個數(shù)e是個無理數(shù)，它的值是 .590457182818284. 2eexxx 10)1(lim,1xt 令令. e ttxxtx)11(lim)1(lim10 exxx )11 (lim1exxx)(1)(1 (lim推廣：若推廣：若則0,(x),0(x例例1.161.16.)(limxxx21求求解解)()()21(limxx原式.2eettt)11 (limettt10)1 (lim12x2例例1.17 求 xxx)11 (lim解解 )()11(lim)(xxx11 e例例1.18 求 12)21 (limxxx解解 ：原式= ettt)11 (limettt10)1 (lim1