不定積分與定積分部分典型例題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載不定積分與定積分部分典型例題例 1驗(yàn)證 F( x)1 (1ln x)2 和 G( x)1 ln 2 xln x 是同一個(gè)函數(shù)的原函數(shù), 并說(shuō)明22兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 .分析依原函數(shù)的定義,若 F (x) 和 G (x) 的導(dǎo)數(shù)都是某個(gè)函數(shù)f (x) 的原函數(shù) , 即有F ( x)G ( x)f ( x) ,則 F ( x) 和 G (x) 是 f ( x) 的原函數(shù) .所以 ,只需驗(yàn)證F (x) 和G ( x) 的導(dǎo)數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)即可 .解 因?yàn)?F ( x)(1ln x) 11ln xxxG ( x)ln x111ln xxxx所以 F ( x)1 (1ln x) 2和 G

2、(x)1 ln 2 xln x 是同一個(gè)函數(shù)1ln x 的兩個(gè)原函數(shù) .22x且有 F ( x)1 (1ln x) 21 ln 2x ln x1G (x)12222說(shuō)明兩個(gè)原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù).例 2已知某曲線(xiàn) y=f(x)在點(diǎn) x 處的切線(xiàn)斜率為1(4,3) , 試求曲線(xiàn)方程 .2, 且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)x分析 根據(jù)不定積分的幾何意義, 所求曲線(xiàn)方程為過(guò)點(diǎn)(4,3) ,斜率是 f (x)1的積2 x分曲線(xiàn) .解yf (x)dx21 dxx cx且曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn) (4,3), 即34c ,得出 c341于是所求曲線(xiàn)方程為y x 1例 3 判斷下列等式是否正確 .（ 1）11xdxdd1 x21x2學(xué)習(xí)必備

3、歡迎下載（ 2）(sin x) dxcos xc（ 3）de ln x1dx1 xdx2分析 （ 1） , （ 2）根據(jù)不定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷；（3）根據(jù)定積分的定義進(jìn)行判斷 .解 （ 1）依照不定積分的性質(zhì)df ( x)dxf (x) dx所以 , 等式 d1dx1dx 成立 .11x 2x 2（2）依照不定積分的性質(zhì)f (x)dxf ( x)c所以, 等式(sin x) dxcos x c 不成立 . 正確的應(yīng)為(sin x) dxsin xcbF (b)F (a) 是一個(gè)確定的數(shù)值（ 3）由定積分定義 ,f ( x)dx, 因此 , 對(duì)函數(shù)先求a定積分再求導(dǎo)數(shù)等于對(duì)一個(gè)數(shù)值求導(dǎo)數(shù)de l

4、n x1, 所以結(jié)果應(yīng)該為零 . 即等式dx錯(cuò)誤 ,dx1 x2正確的結(jié)果應(yīng)為de ln x.dx1 xdx 0例 4 計(jì)算下列積分：（ 1）12x(x)dx3（ 2） ex (3 xe x)dxsin 2x（ 3）2sin xdx0分析 對(duì)于（ 1） , （ 2）利用基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行積分, 注意在計(jì)算時(shí) , 對(duì)被積函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?；?duì)于（3）, 注意到被積函數(shù)帶有絕對(duì)值符號(hào), 而在積分時(shí) , 絕對(duì)值符號(hào)是一定要打開(kāi)的,且在積分區(qū)間 0,2 上有sin xsin x0 xsin xx 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用定積分的區(qū)間可加性和N-L 進(jìn)行計(jì)算 .解（ 1）將被積函數(shù)變形為(

5、x1 ) 2x21x 3xx3(x1)2 dx=( x213)dxxdx2dx13 dxx3xxxx=1x 22 ln x1c .22x 2（ 2）將被積函數(shù)變形為ex (3 xe x)(3e) x1sin 2 xsin 2 x再利用積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì)得x(3xe x)dx(3e)xdx1dxesin2xsin2x(3e) xcot x c=1ln 3(3)2sin xdxsin xdx2sin xdx00cos x 0cos x 211 1 (1)4 .說(shuō)明：本例在求積分的方法直接積分法.這種方法適用與那些只用到基本積分公式和積分運(yùn)算性質(zhì) ,或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形就可以運(yùn)用積分公式求

6、積分的題目. 在解題中應(yīng)該注意：1熟悉基本積分公式；2在解題中經(jīng)常要對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)牡淖冃危ɡ纾?）中將二項(xiàng)和的平方展開(kāi)；（2）中將 ex 乘到括號(hào)里邊去； （ 3）中將絕對(duì)值打開(kāi)）, 變形的目的是使被積函數(shù)為積分基本公式中的函數(shù)或它們的線(xiàn)性組合. 這些方法和技巧的掌握是基于平時(shí)的練習(xí)；3如果連續(xù)試探幾次, 進(jìn)行不同的變形后仍無(wú)法達(dá)到目的, 則應(yīng)考慮其它積分方法求解.例 5 計(jì)算下列積分：（ 1）xx ；d1x 2學(xué)習(xí)必備歡迎下載ex（ 2）dx(1ex ) 22（ 3）e lnxdx1 x（ 4）2 sin 3 xdx0分析注意到這幾個(gè)被積函數(shù)都是復(fù)合函數(shù), 對(duì)于復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題一般

7、是利用湊微分法（第一換元積分法）, 在計(jì)算中要明確被積函數(shù)中的中間變量u( x),設(shè)法將對(duì)x 求積分轉(zhuǎn)化為對(duì)u( x)求積分.對(duì)于定積分的湊微分的題目要注意：換元積分法的特點(diǎn), 即“換元變限 ” .（1）將被積函數(shù)1x看 成x,其 中 u1x 2, 且 du2xdx ,于 是 ,x 2uxdx11du , 這時(shí)對(duì)于變量 u 可以利用公式求積分 .u2uexexxxexdu（ 2）將被積函數(shù)(1 ex ) 2 看成 u2 ,其中 u1e, 且 duedx , 于是 u2dxu 2 ,這樣對(duì)于變量 u1ex 可以利用積分公式求積分 .（ 3）將被積函數(shù)(ln x) 2看成 u 2, 其中 uln

8、x ,且 du1 dx , 于是 u 2dxu2 du ,xxxx這樣對(duì)于變量 uln x 可以利用積分公式求積分 .（ 4）將被積函數(shù) sin 3x 分解成 sin 2 x sin x(1cos2x) sin xsin xcos2x sin x 即分成兩個(gè)函數(shù)積分的和, 第一個(gè)積分可以由N-L公式直接得到 , 第二個(gè)積分中被積函數(shù)視為u 2 sin x , 其中 ucosx ,dusin xdx解 （1）xx=11d(12)1 1u(u1x2)1d21x2dx2x 2u=uc1x 2c學(xué)習(xí)必備歡迎下載ex1x1x（2）(1ex ) 2 dx(1ex ) 2 d(1e)u 2 du（ u 1e

9、 ）=1c1cu1ex（3） 方法 1換元換限 .令 uln x ,則 du1 dx ,且當(dāng) x1時(shí) ,u0 ,xe時(shí) ,u1, 于是有xe ln 2 x111112du3303)1dx0uu(1x3033方法 2只湊微分不換元 , 不換積分限 .e ln 2 xdxe ln2d(lnx)1x1x1 (ln x) 3e1 (ln e) 31(ln 1)3 3133(4) 因?yàn)? sin 3 xdx =2 1cos2 x sin xdx2 sin xdx2 cos2 x sin xdx0000對(duì)于積分2 sin xdxcos x0210對(duì)于積分2 cos2 xsin xdx 用湊微分法 ,0方法

10、 1 令 ucos x , 則 dusin xdx ,且當(dāng) x0時(shí) ,u 1,x時(shí) , u0 , 于2是有01 u12 cos2 xsin xdx2 du3u013013方法 2 只湊微分不換元, 不換積分限 .2 cos2x sin xdx2 cos2 xdcosx1 cos3 x2100303說(shuō)明：第一換元積分法是積分運(yùn)算的重點(diǎn), 也是難點(diǎn) . 一般地 , 第一換元積分法所處理的函數(shù)是復(fù)合函數(shù) , 故此法的實(shí)質(zhì)是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算. 在運(yùn)算中始終要記住換元的目的是使換元后的積分f (u)du 容易求原函數(shù) .學(xué)習(xí)必備歡迎下載應(yīng)用第一換元積分法時(shí) , 首先要牢記積分基本公式, 明了基本公

11、式中的變量x 換成 x 的函數(shù)時(shí)公式仍然成立 . 同時(shí)還要熟悉微分學(xué)中的微分基本公式, 復(fù)合函數(shù)微分法則和常見(jiàn)的“湊微分”形式 . 具體解題時(shí) , “湊微分”要朝著f (u) du 容易求積分的方向進(jìn)行 .在定積分計(jì)算中 , 因?yàn)榉e分限是積分變量的變化范圍, 當(dāng)積分變量發(fā)生改變, 相應(yīng)的積分限一定要隨之變化 , 所以 , 在應(yīng)用換元積分法解題時(shí), 如果積分變量不變（例如（3）（4）中的方法 2）. 則積分限不變 . 而且在換元換限時(shí),新積分變量的上限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的上限, 新積分變量的下限對(duì)應(yīng)于舊積分變量的下限,當(dāng)以新的變量求得原函數(shù)時(shí)可直接代入新變量的積分上、 下限求積分值即可無(wú)須在還原到

12、原來(lái)變量求值（例如（ 3）（ 4）中的方法 2）.由于積分方法是靈活多樣的 , 技巧性較強(qiáng) , 一些“湊”的方法是要靠一定量的練習(xí)來(lái)積累的（例如（ 4）因此 , 我們只有通過(guò)練習(xí)摸索規(guī)律,提高解題能力 .例 6 計(jì)算下列積分：（ 1）( x 1)sin2 xdx ；x2（ 2）xe2 dx ；0e（ 3） 1 lnx dxe分析注意到這些積分都不能用換元積分法, 所以要考慮分部積分,對(duì)于分部積分法適用的函數(shù)及 u, v 的選擇可以參照表3-1, 具體步驟是：1湊微分 , 從被積函數(shù)中選擇恰當(dāng)?shù)牟糠肿鳛関 dx ,即 v dx dv , 使積分變?yōu)閡dv ；2代公式 ,udvuvvdu , 計(jì)算

13、出 duu dx3計(jì)算積分vdu .bbb它與不定積分的區(qū)別在于每一項(xiàng)在定積分的分部積分公式是a udvuv aa vdu ,b都帶有積分上、下限. 注意公式中 uv a 是一個(gè)常數(shù) , 在計(jì)算中應(yīng)隨時(shí)確定下來(lái) , 在計(jì)算（ 3）小題時(shí)應(yīng)設(shè)法先去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào), 這時(shí)需要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)適當(dāng)?shù)睦枚ǚe分對(duì)區(qū)間的可加性質(zhì) .解 （ 1）設(shè) ux1,vsin 2x , 則 v1 cos 2x , 由分部積分公式有1 ( x12(x 1)sin2 xdx1) cos2xcos 2xdx22學(xué)習(xí)必備歡迎下載1(x1) cos2x1 sin 2 xc24xx(2) 設(shè) ux, ve2 , 則 v

14、2e2, 由定積分分部積分公式有xx2xx222xe 22e 2 dx4e 4e24e4e 4 4xe2 dx20000（ 3）因?yàn)?ln xln x1x1 ,eln x1xe利用積分區(qū)間的可加性得到eln x dx1e11 ln xdxln xdxee1111 xdx其中第一個(gè)積分為1 ln xdxx ln x 11eee x11121eeeelnxdxeedxee1 1 ,第二個(gè)積分為1xln x 11最后結(jié)果為e1e12121 ln x dx1 lnxdxln xdx2.ee1ee例 7 計(jì)算下列無(wú)窮限積分：（ 1）13 dx ；1(x1)（ 2）0e 2 x dx ；（ 3）01dxxlnx分析 對(duì)于無(wú)窮限積分f ( x)dx 的求解步驟為：abF (a) ；（ 1）求常義定積分f ( x) dx F (b)a（ 2）計(jì)算極限lim F (b)F (a)b極限存在則收斂（或可積）否則發(fā)散. 收斂時(shí)積分值等于極限值.學(xué)習(xí)必備歡迎下載1b11 (xb解 （1）3 dxlim3 dxlim 1)211(x1)b(x1)b21=1 lim (b1) 2(1 1)2 (1 )(1)2 b2418b1 e 3 xb（2）e 3