不等式知識結(jié)構(gòu)及知識點(diǎn)

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)不等式知識結(jié)構(gòu)及知識點(diǎn)總結(jié)一知識結(jié)構(gòu)二知識點(diǎn)1、不等式的基本性質(zhì) （ 對 稱 性 ） abba （ 傳 遞 性 ） ab,bcac（可加性）a bacbc（ 同 向 可 加 性 ） ab, c da c b d（異向可減性）a b, c dacbd（可積性） ab, c0acbcab, c0acbc（同向正數(shù) 可乘性）ab0,cd0ac bd（異向正數(shù) 可除性）abab0,0 cddc（平方法則） ab0a nbn (nN, 且 n1)（開方法則）a b 0n an b ( n N , 且 n 1)（倒數(shù)法則） ab011b 011a; aabb2、幾個重要不等式 a2b22

2、aba，bR ,（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取 "" 號）.變形公式： aba2b2.2名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)（基本不等式）abR ,（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時取到等號） .ab a， b22變形公式：ab2ababab. 用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積2最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等” .（三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）abc3abc (a、 b、 cR )（ 當(dāng)且僅當(dāng) a bc3時取到等號） . 22c2abbcca abR（當(dāng)且僅當(dāng) abc 時取到等號） .ab， a3b3c33abc(a0, b0, c0) （當(dāng)且僅當(dāng) abc 時取到等號） . 若 ab0,

3、 則 ba2 （當(dāng)僅當(dāng) a=b時取等號） 若 ab0, 則 ba2 （當(dāng)僅當(dāng) a=babab時取等號） bbm1ana 其中 (ab0， m0， n0) 規(guī)律：小于 1 同加則變大， 大于 1aambnb同加則變小 . 當(dāng) a0時，x ax2a2xa或x a;x ax2a2a x a.絕對值三角不等式ababab .3、幾個著名不等式平均不等式：2ababa2b2a， bR ,（當(dāng)且僅a 1b 122當(dāng) ab 時取 "" 號） . （即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均） .ab2a2b2(ab) 2變形公式： ab2;a2b2.22冪平均不等式：a12a22.an21 (

4、a1a2.an ) 2.n二維形式的三角不等式：x12y12x22y22( x1x2 )2( y1 y2 )2( x1 , y1, x2 , y2R).二維形式的柯西不等式( a2b2 )(c2d 2 )(acbd )2 (a, b, c, dR). 當(dāng)且僅當(dāng) adbc時，等號成立 .三維形式的柯西不等式：( a12a22a32 )(b12b22b32 )(a1b1a2 b2a3b3 )2 .一般形式的柯西不等式：(a12a22.an2 )(b12b22. bn2 )(a1b1a2b2.anbn ) 2 .名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)向量形式的柯西不等式：設(shè),是兩個向量，則, 當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實(shí)

5、數(shù)k ，使k時，等號成立 .排序不等式（排序原理）：設(shè) a1a2.an ,b1 b2.bn 為兩組實(shí)數(shù) .c1 , c2 ,., cn 是 b1 ,b2 ,., bn 的任一排列，則a1bn a2bn1.an b1a1c1a2c2.an cna1b1a2b2.anbn .（反序和亂序和順序和 ）當(dāng)且僅當(dāng) a1a2.an 或 b1b2.bn 時，反序和等于順序和 .琴生不等式 : （特例 : 凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f ( x) , 對于定義域中任意兩點(diǎn) x1 , x2 ( x1x2 ), 有 f ( x1 x2 )f ( x1 )f (x 2) 或f ( x1x2 )f (x1)

6、f (x2 ) . 則稱 f(x)為凸（或2222凹）函數(shù) .4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有： 比較法（作差， 作商法）、綜合法、 分析法； 其它方法有： 換元法、 反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法， 數(shù)學(xué)歸納法 等 . 常見不等式的放縮方法：舍去或加上一些項，如( a1) 23(a1)2 ;242將分子或分母放大（縮小），如11112212(),k2,k2,kk( k 1)k (k 1)2 kkkkk 112(k N * , k 1) 等 .kkk15、一元二次不等式的解法求一元二次不等式ax2bxc0(或0) (a0,b24ac0) 解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).

7、二判：判斷對應(yīng)方程的根. 三求：求對應(yīng)方程的根. 四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象. 五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律： 當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法 . 分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.f ( x)0f ( x)g( x)07、分式不等式的解法： 先移項通分 標(biāo)準(zhǔn)化， 則 g( x)（時“ 或 ”f ( x)0f ( x) g (x)0g( x)g( x)0名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解f ( x)a(a0

8、)f ( x)0f (x)a(af (x)0f ( x)0)a2a2f (x)f ( x)g( x)f (x)0或 f ( x)0 f (x)0g(x) 0f (x) g ( x)g (x) 0f (x) g(x) 2g( x)0f (x) g( x) 2f ( x)0f ( x)g( x)g ( x)0f ( x)g( x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng) a 1時 , a f (x)a g( x)f ( x) g( x) 當(dāng) 0 a1時 ,a f ( x)ag ( x)f ( x) g( x)規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10

9、、對數(shù)不等式的解法當(dāng) a1時 ,f ( x)0當(dāng) 0 a1 時 ,logaf (x) log a g( x)g ( x)0f ( x)g( x)f (x)0log a f ( x) loga g (x)g ( x)0 .f (x)g ( x)規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11 、 含 絕 對 值 不 等 式 的 解 法 ： 定 義 法 ： aa(a0 )a(a.平方法：0 )f (x)g (x)f 2 ( x) g 2 ( x).同解變形法，其同解定理有： xaa xa(a0); x axa或 xa(a0);f (x)g( x)g( x)f ( x)g( x) ( g( x)0)f ( x)g

10、 (x )f ( x)g( x) 或f ( x)g (x ) (g (x )0)規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如 ax2bxc0 且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論 a 與 0 的大??；討論與 0 的大小；討論兩根的大小.14、恒成立問題 不等 式 ax2bxc 0 的 解 集 是 全體 實(shí) 數(shù) （ 或 恒 成 立 ）的 條 件 是 ： 當(dāng) a0 時b0, c0;當(dāng) a 0 時a 0不等式 ax2

11、bxc0 的解集是全0.體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)a0 時b 0, c 0; 當(dāng) a0 時a 00. f (x)a 恒成立f (x)maxa;f ( x)a 恒成立f ( x)maxa; f (x)a 恒成立f (x)mina;f ( x)a 恒成立f ( x) mina.15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點(diǎn)定域法：由于直線AxByC0 的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入AxByC 后所得的實(shí)數(shù)的符號相同.所以，在實(shí)際判斷時， 往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)( x0 , y0 )（如原點(diǎn)），由Ax0By0C的正負(fù)即可判斷出AxByC0 ( 或0) 表示直線哪一側(cè)的平

12、面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).法二： 根據(jù)AxByC0 ( 或0) ，觀察B 的符號與不等式開口的符號，若同號，AxByC0 ( 或0)表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z AxBy ( A, B 為常數(shù)）的最值：法一：角點(diǎn)法：By （ x、y 即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）如果目標(biāo)函數(shù) z Ax的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng) z 值，最大的那

13、個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z 的最小值法二：畫移定求：l0 : Ax By 0第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線 l0 （據(jù)可行域，將直線l0 平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解( x, y) ；第四步，將最優(yōu)解 ( x, y) 代入目標(biāo)函數(shù) z AxBy 即可求出最大值或最小值 .名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)第二步中 最優(yōu)解的確定方法：利用 z 的幾何意義： yA xz ,z 為直線的縱截距 .BBB若 B 0, 則使目標(biāo)函數(shù)zAxBy 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z 取得最大值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z 取得最小值；若 B 0, 則

14、使目標(biāo)函數(shù)zAxBy 所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z 取得最小值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z 取得最大值 .常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：“截距”型：zAxBy ;“斜率”型：zy 或 zyb ;xxa“距離”型：zx2y 2 或 zx2y2 ;z(x a)2( yb)2 或z( x a) 2( yb) 2 .在求該 “三型” 的目標(biāo)函數(shù)的最值時，題簡單化 .可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義 求解，從而使問16. 利用均值不等式：a b2a2b 22ab a， bR ； a b2 ab； ab求最值時，你是否注2意到“ a， b R ”且“等號成立”時的條件，積(ab 或和ab 其中之一為定值

15、？（一正、)()二定、三相等）a2b2a b2ab，注意如下結(jié)論：22aba b Ra b當(dāng)且僅當(dāng) ab時等號成立。a2b2c2abbc，當(dāng)且僅當(dāng) abc時取等號。ca a b Ra b 0，m0， n0，則bbmanaaa1bnbm如：若 x0，2x4的最大值為3x（設(shè) y23x42212243x當(dāng)且僅當(dāng) 3x4，又 x0， x23時， y max243）x3名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)又如： x2y 1，則 2 x4y 的最小值為（2x22y2 2x 2y221 ，最小值為22）17. 不等式證明的基本方法都掌握了嗎？（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等）并注意簡單放縮法的應(yīng)用。如：證明 1111

16、22232n 2（ 111111112 232n21223n 1 n111111 123n 1n2122）n18 .解分式不等式f (x)a a0 的一般步驟是什么？g( x)（移項通分，分子分母因式分解，x 的系數(shù)變?yōu)?，穿軸法解得結(jié)果。 ）19. 用“穿軸法”解高次不等式“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始23如： x 1 x 1 x 2020. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論如：對數(shù)或指數(shù)的底分 a1或 0a1討論21. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？（找零點(diǎn)，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。）例如：解不等式|x3|x11（解集為x|x1 ）222、 會用不等式| a | b | | ab | | a | b | 證明較簡單的不等問題如：設(shè)f (x )x2x13，實(shí)數(shù) a滿足 | xa|1求證：f ( x)f (a)2(|a| 1)名師總結(jié)優(yōu)秀知識點(diǎn)證明：|f (x)f (a)|( x2x13)(a2a13)|( x|x|x|a)( xa|x|a| 1a1)| (a1| |x|xa|1)a1|又|x| |a