二次函數(shù)的三中表示方法

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)的三種表示方式（第六講）通過上一小節(jié)的學(xué)習(xí)，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：1一般式： y ax2 bx c(a0)；2頂點(diǎn)式： y a(x h)2 k (a0)，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)是( h， k)除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示為了研究另一種表示方式，我們先來研究二次函數(shù)y ax2 bx c(a0)的圖象與x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)當(dāng)拋物線y ax2 bxc(a0)與 x 軸相交時(shí)，其函數(shù)值為零，于是有ax2 bx c0并且方程的解就是拋物線 y ax2 bxc(a0)與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) （縱坐標(biāo)為零） ，于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線 y ax2 bx c(a

2、0)與 x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的解的個(gè)數(shù)有關(guān)，而方程的解的個(gè)數(shù)又與方程的根的判別式 b2 4ac有關(guān)，由此可知，拋物線yax2 bx c(a0)與x 軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與根的判別式 b2 4ac 存在下列關(guān)系：（ 1）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線y ax2 bx c(a0)與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)； 反過來，若拋物線y ax2 bx c(a0)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則 0 也成立（ 2）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線 y ax2 bx c(a0)與 x 軸有一個(gè)交點(diǎn)（拋物線的頂點(diǎn)） 22（ 3）當(dāng) 0 時(shí)，拋物線 y ax bx c(a0)與 x 軸沒有交點(diǎn)； 反過來， 若拋物線；反過來，若拋物y ax2 bx c(a0)與 x

3、軸沒有交點(diǎn)，則 0 也成立于是，若拋物線 y ax2bx c(a0)與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn) A(x，0)， B(x， 0)，則 x ， x 是方程 ax2 bx1212 c 0的兩根，所以x1 x2b ， x1x2 c ，aa即b (x1 x2)，c x1x2aa所以， y ax2 bx c a( x2b xc )aa2= ax (x1x2) x x1x2 a(x x1) (x x2)由上面的推導(dǎo)過程可以得到下面結(jié)論：若拋物線 y ax2 bx c(a0)與 x 軸交于 A(x1，0)，B( x2，0)兩點(diǎn)，則其函數(shù)關(guān)系式可以表示為y a(x x1 ) (x x2) (a0)這樣，也就得到了表示

4、二次函數(shù)的第三種方法：3交點(diǎn)式： y a(x x1) (x x2) (a0)，其中 x1， x2 是二次函數(shù)圖象與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)今后，在求二次函數(shù)的表達(dá)式時(shí)，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式這三種表達(dá)形式中的某一形式來解題例 1已知某二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點(diǎn)在直線y x 1 上，并且圖象經(jīng)過點(diǎn)（3， 1），求二次函數(shù)的解析式分析： 在解本例時(shí)，要充分利用題目中所給出的條件 最大值、頂點(diǎn)位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點(diǎn)式，再由函數(shù)圖象過定點(diǎn)來求解出系數(shù)a解： 二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 2又頂點(diǎn)在直線 y

5、 x 1上，所以， 2 x 1， x1頂點(diǎn)坐標(biāo)是（ 1， 2）設(shè)該二次函數(shù)的解析式為ya( x 2) 21(a 0) ，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（3， 1）， 1 a(3 2)2 1 ，解得 a 2二次函數(shù)的解析式為y2( x2)21 ，即 y 2x2 8x 7說明： 在解題時(shí)，由最大值確定出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用頂點(diǎn)的位置求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，最終解決了問題因此，在解題時(shí)，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題例 2已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)( 3， 0)， (1， 0)，且頂點(diǎn)到x 軸的距離等于2，求此二次函數(shù)的表達(dá)式分析一： 由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象

6、所過的兩點(diǎn)實(shí)際上就是二次函數(shù)的圖象與x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，于是可以將函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成交點(diǎn)式解法一： 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)( 3，0)， (1， 0)，可設(shè)二次函數(shù)為ya( x 3) ( x1) (a0)，展開，得y ax2 2ax3a，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12a24a24a4a ，x 軸的距離 2，由于二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)到| 4a| 2，即 a12y 1 x231 x23所以，二次函數(shù)的表達(dá)式為x，或 yx2222分析二： 由于二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) (3， 0)， (1， 0)，所以，對(duì)稱軸為直線x 1，又由頂點(diǎn)到x 軸的距離為2，可知頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或 2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達(dá)式設(shè)成頂點(diǎn)式來解，

7、然后再利用圖象過點(diǎn) ( 3， 0)，或 (1， 0)，就可以求得函數(shù)的表達(dá)式解法二： 二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)( 3，0)， (1， 0)，對(duì)稱軸為直線x 1又頂點(diǎn)到 x 軸的距離為2，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，或 2于是可設(shè)二次函數(shù)為 y a(x 1)2 2，或 y a(x 1)2 2，由于函數(shù)圖象過點(diǎn)(1， 0)， 0 a(11) 22，或 0a(1 1)2 2 a 1 ，或 a 1 22y 1(x 1)2 2，或 y 1所以，所求的二次函數(shù)為(x 1)2 222說明： 上述兩種解法分別從與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)的坐標(biāo)這兩個(gè)不同角度，利用交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式來解題，在今后的解題過程中，要善于利用條件，選擇恰

8、當(dāng)?shù)姆椒▉斫鉀Q問題例 3 已知二次函數(shù)的圖象過點(diǎn) ( 1， 22)， (0， 8) ，(2， 8)，求此二次函數(shù)的表達(dá)式解： 設(shè)該二次函數(shù)為 y ax2 bx c(a0)由函數(shù)圖象過點(diǎn) ( 1， 22)， (0， 8)， (2， 8)，可得22abc,8c,84a2bc,解得a 2，b 12， c 8所以，所求的二次函數(shù)為y 2x2 12x 8通過上面的幾道例題，同學(xué)們能否歸納出：在什么情況下，分別利用函數(shù)的一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式學(xué)習(xí)必備歡迎下載來求二次函數(shù)的表達(dá)式？練習(xí)1選擇題 :（ 1）函數(shù) y x2 x1 圖象與 x 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）（A）0 個(gè)（B）1 個(gè)（C）2 個(gè)（D ）無法確定

9、（ 2）函數(shù) y 1( x1) 2 2 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）2（A ） (1， 2)（ B） (1， 2)（C）(1，2)（ D） (1， 2)2填空：（ 1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x 軸交于點(diǎn) ( 1， 0) 和 (2 ， 0)，則該二次函數(shù)的解析式可設(shè)為y a(a 0)（ 2）二次函數(shù) y x2+2 3x 1 的函數(shù)圖象與 x 軸兩交點(diǎn)之間的距離為3根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式（ 1）圖象經(jīng)過點(diǎn) (1， 2)， (0， 3) ，( 1， 6)；（ 2）當(dāng) x 3 時(shí)，函數(shù)有最小值5，且經(jīng)過點(diǎn) (1， 11)；（ 3）函數(shù)圖象與x 軸交于兩點(diǎn) (12， 0)和 (1 2， 0)，并與 y

10、軸交于 (0， 2)二次函數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)圖象的平移變換與對(duì)稱變換1平移變換問題 1 在把二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在對(duì)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行平移時(shí)，具有這樣的特點(diǎn) 只改變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時(shí)，只需利用二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)式研究其頂點(diǎn)的位置即可例 1 求把二次函數(shù) y x2 4x3 的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（ 1）向右平移 2 個(gè)單位，向下平移 1 個(gè)單位；（ 2）向上平移 3 個(gè)單位，向左平移 2 個(gè)單位分析： 由于平移變換只改變函數(shù)圖象的位置而

11、不改變其形狀（即不改變二次項(xiàng)系數(shù)），所以只改變二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置（即只改變一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)），所以，首先將二次函數(shù)的解析式變形為頂點(diǎn)式，然后，再依據(jù)平移變換后的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置求出平移后函數(shù)圖像所對(duì)應(yīng)的解析式解： 二次函數(shù)y 2x2 4x 3 的解析式可變?yōu)閥 2(x 1)2 1，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1， 1)（ 1）把函數(shù) y 2(x 1)2 1 的圖象向右平移 2 個(gè)單位， 向下平移 1 個(gè)單位后， 其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (3， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y 2(x 3)2 2（ 2）把函數(shù) y 2(x 1)2 1 的圖象向上平移 3 個(gè)單位， 向左平移 2

12、 個(gè)單位后， 其函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 (1， 2)，所以，平移后所得到的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式就為y 2(x 1)2 22對(duì)稱變換問題 2 在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱x 1y變換時(shí)，有什么特點(diǎn)？依據(jù)這一特點(diǎn)，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標(biāo)軸平行的直線進(jìn)行對(duì)稱變換時(shí)，具有這樣的特點(diǎn) 只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)圖象的對(duì)稱變換問題時(shí)，Ox1A(1, 1)A ( 3, 1)圖 2.2 7學(xué)習(xí)必備歡迎下載關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點(diǎn)位置和開口方向來解決問題例 2求把二次函數(shù)y 2x2 4x 1 的

13、圖象關(guān)于下列直線對(duì)稱后所得到圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：（ 1）直線 x 1；（ 2）直線 y 1解：（ 1）如圖 2 27，把二次函數(shù) y 2x24x 1的圖象關(guān)于直線 x 1 作對(duì)稱變換后，只改變圖象的頂點(diǎn)位置，不改變其形狀22 1，可知，函數(shù)2A(1,1)，所以，對(duì)稱后由于 y 2x 4x 1 2(x 1)y 2x 4x 1 圖象的頂點(diǎn)為所得到圖象的頂點(diǎn)為A1( 3， 1)，所以，二次函數(shù)y 2x24x 1 的圖象關(guān)于直線x 1 對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y 2(x 3)2 1，即 y2x2 12x 17（ 2）如圖 22 8，把二次函數(shù) y 2x2 4x 1 的圖象關(guān)于直線 x 1 作對(duì)

14、稱變換后， 只改變圖象的頂點(diǎn)位置和開口方向，不改變其形狀由于 y2x2 4x 12(x 1) 2 1，可知，函數(shù) y 2x2 4x 1 圖象的頂點(diǎn)為A(1, 1)，所以，對(duì)稱后所得到圖象的頂點(diǎn)為B(1，3)，且開口向下，所以，二次函yB(1， 3)數(shù) y 2x2 4x 1 的圖象關(guān)于直線 y 1 對(duì)稱后所得到圖象的函數(shù)解析式為y 2(x 1)2 3，即 y 2x2 4x 1二、分段函數(shù)y 1一般地， 如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作 分段函數(shù) Ox例 3 在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g 付郵資 80 分，超過20g 不超A(1, 1)過 40g 付郵

15、資 160 分，超過 40g 不超過 60g付郵資 240 分，依此類推，每封 xg(0 x100)的信應(yīng)付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達(dá)式，作出函數(shù)圖象圖 2.28分析： 由于當(dāng)自變量 x 在各個(gè)不同的范圍內(nèi)時(shí)，應(yīng)付郵資的數(shù)量是不同的所以，可以用分段函數(shù)給出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式在解題時(shí)，需要注意的是，當(dāng)x 在各個(gè)小范圍內(nèi)（如 20 x40）變化時(shí)，它所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（郵資）并不變化（都是160 分）解： 設(shè)每封信的郵資為y（單位：分），則 y 是 x 的函數(shù)這個(gè)函數(shù)的解析式為8 0 , x(0, 201 6 0 x(20, 40y 2 4 0 , x940, 803 2 0 x(60, 804 0 0 , x(80,100由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖22 9 所示例 4 如圖 9 2 所示，在邊長為2 的正方形 ABCD 的邊DC上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P，從點(diǎn) A 出發(fā)沿折線 ABCD 移動(dòng)一周后，回到 A 點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 移動(dòng)的路程為 x， PAC 的面積為 y（ 1）求函數(shù) y 的解析式；P（ 2）畫出函數(shù) y 的圖像；（ 3）求函數(shù) y