自己整理圓錐曲線?？碱}型總結(jié)歸納——配有大題和測試

1、圓錐曲線大綜合第一部分圓錐曲線?？碱}型和熱點問題一常考題型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題 II; y題型七：弦或弦長為定值的問題干/fi' 'i * f " °,題型八：角度問題（.' I 1L . Z.J-題型九：四點共線問題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）題型十一：存在性問題（存在點，存在直線 y=kx m，存在實數(shù)，三角形（等邊、I ；等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓）二熱點問題、- I 產(chǎn)#、%

2、/1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱問題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定點，定直線問題第二部分知識儲備與一元二次方程ax2 bx c = 0(a = 0)相關(guān)的知識(三個“二次”問題)1.判別式：厶=b2 -4acax2 bx c = 0(a = 0)有兩個不等的實數(shù)根x1,x2，則ax2 bx 0(- 0)有兩個不等的實數(shù)根XiX，則2. 韋達定理：若一元二次方程bcX1 X2， X| x2 :aa3. 求根公式：若一元二次方程-b 二；'b -4 acXl,2 =2a二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式：點斜

3、式，斜截式，截距式，兩點式，一般式2. 與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率：y二ta“ 0,二);點到直線的距離公式：d二Ax° By° C (一般式)或d = kx。二仝b (斜截式) JA2 + B2Jl2+k23. 弦長公式：直線y=kx b上兩點人化孑小化小)間的距離：4. 兩直線h: % *必b2: y2二k2X2 b的位置關(guān)系： h _ l2 = K k2 = -1 l1 /12 二 K 二 k2且d = p5. 中點坐標公式：已知兩點A(x, y),B(x ,y )若點M(x,y)線段AB的中點，則11 IX1 X1y1 y2x = ,y =2 2三圓錐曲線的

4、重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標準方程：橢圓的標準方程 雙曲線的標準方程 拋物線的標準方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù) a,b,c三者的關(guān)系，p的幾何意義等2 24. 圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓 空，雙曲線空，拋物線2paa焦點三角形的面積：p在橢圓上時丸尹2 =b2 -tan£p在雙曲線上時SFlPF2=b2/tan夕四常結(jié)合其他知識進行綜合考查1. 圓的相關(guān)知識：兩

5、種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2. 導數(shù)的相關(guān)知識：求導公式及運算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識3. 向量的相關(guān)知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角函數(shù)的相關(guān)知識：各類公式及圖像與性質(zhì)5. 不等式的相關(guān)知識：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五不同類型的大題(1) 圓錐曲線與圓例1.(本小題共14分)2 2已知雙曲線C：X2y2=1(a 0,b 0)的離心率為3，右準線方程為x=*3a b U3(I)求雙曲線C的方程； < I1(H)設直線l是圓O:x2 y2 =2上動點P(x。, yo)(xoyo =0)處的切線，I與雙曲線

6、C交 于不同的兩點代B,證明.AOB的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和 方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.(I)由題意，得 c 3，解得a=1,c = -、3 ,2(n) b，所求雙曲線C的方程為Xo點 P Xo,yo Xoyo -0 在圓 x2 y2上,圓在點p Xo, yo處的切線方程為y-yo0 xx° ,yo化簡得 xox yoy = 2 .22 y 彳X12由X _ 2 "及XoX y°y =2xO y2 = 2 得 3瑋 -4 x2 一 4xOx 8 - 2x： = 0 ,T切線

7、I與雙曲線C交于不同的兩點 A B,且O：x2：2 ,二 3x：_4=0，且.: -16x2-4 3x2-4 8-2x20 ,設A B兩點的坐標分別為xi, y-i , x2, y2 ,貝S %+X2= 4X0 ,X1X2 = 8 22Xo ,3x0-43x0-4T cos/AOBOA OB1OA OB = X1X2 yy = Ex? 2 2 - XoXi 2-x°X2 , yo82x：8 2x；3x2-4 _3x2-4_ . AOB的大小為90 .【解法2】(I)同解法1.(n)點P Xo,y (XoY =0在圓x2 y2 =2上，圓在點P Xo,y°處的切線方程為2八瓷

8、X-Xo，化簡得XoX yo2 .由 2 及 xOyo = 2 得XoXyoy =22223xo4 x -4xoX 82xo = 03x-4 y2 _8y0x _8 2xq =0切線I與雙曲線C交于不同的兩點 A B,且0：沐仁2 ,3x0 -4 =0，設A B兩點的坐標分別為 捲， , X2,y2 ,則x282x02x282 , %丫2 3x0-43x0-4.OA OB 二為x2 %y2 =0,二AOB 的大小為 90 .(v x0yo =2 且 x°yo=O，二 0 ： x： ： 2,0 ： y： ： 2，從而當 3圧-4=0時，方程和方程的判別式均大于零)2 2練習1:已知點A

9、是橢圓C : + =1(t >0 )的左頂點，直線丨：x = my +1(m R)與橢圓C相9 t交于E,F兩點，與x軸相交于點B.且當m=0時， AEF的面積為16 .3(I )求橢圓C的方程；(II )設直線AE , AF與直線x = 3分別交于M , N兩點，試判斷以MN為直徑的"J ' I、1L Z'_J-'圓是否經(jīng)過點B ?并請說明理由.(2) 圓錐曲線與圖形形狀問題2例2.1已知A, B, C是橢圓W: x + y2= 1上的三個點，O是坐標原點.4(1) 當點B是W的右頂點，且四邊形 OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2) 當點B不是W的

10、頂點時，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.2 解: (1)橢圓W x + y2= 1的右頂點B的坐標為(2,0).4因為四邊形OAB(為菱形，所以AC與 OB相互垂直平分.所以可設A(1 , m，代入橢圓方程得丄+ m= 1,即m= _ .42所以菱形OAB啲面積是丄|OB JAC =丄x 2X 2| m = 3.2 2(2)假設四邊形OAB(為菱形.因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設AC的方程為y= kx+ m(k工0, m 0).由 x y -,消 y 并整理得(1 + 4k2) x2 + 8km>+ 4 4 = 0. 畀=kx + m設 A(x1, y

11、1) , C(X2, y2),貝y X1U2 =_ 4kmyr =k "如2協(xié)=m21+4k2'221 + 4k2所以AC的中點為M 一上竺，.V 1 +4k 1 +4k 丿因為M為AC和 0B的交點，所以直線 0B的斜率為一丄.4k因為k 匚1,所以AC與 0B不垂直.I 4k丿所以OAB不是菱形，與假設矛盾.所以當點B不是W的頂點時，四邊形 OAB不可能是菱形.2 2練習1：已知橢圓C ： x2 yr =1(a b 0)過點(.2 , 1)，且以橢圓短軸的兩個端點和一a b個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形(I )求橢圓的標準方程；(II )設M (x,y)是橢圓C上的

12、動點，P (p,0)是X軸上的定點，求|Mp的最小值及取最 小值時點M的坐標.(3) 圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C:x2 2y4 ,(1)求橢圓C的離心率.(2)設0為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y = 2上，且0A_ 0B，求直線AB與圓x2 y2 =2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解析：橢圓的標準方程為：a =2 , b二2 則C" 2，離心率2 2直線AB與圓X +y =2相切.證明如下:法一: 設點A B的坐標分別為Xo yo . t 2，其中人因為0A丄0B，所以OAOB=0，即txo 2yo =0，解得t-空.Xo2 當Xo珂時，yoL，代入橢圓C的方程，得-2

13、,2故直線AB的方程為x = 一 2 .圓心O到直線AB的距離d -& .22此時直線AB與圓x y =2相切.2xo -tyo當x 7時，直線AB的方程為y_2二上x_tXo -1 '即 I yo - 2 X _ xo -t jy 2xo _tyo =°.又 x2 2y： =4 ,X。Xo+逝Xo y。2此時直線AB與圓x2 y2 =2相切.法二：f.” I I.J1由題意知，直線OA的斜率存在，設為k，貝y直線OA的方程為y=© , OA丄OB ,當k=o時，A -2 o，易知B o 2，此時直線AB的方程為x 2或-x 2 ,原點到直線AB的距離為2，

14、此時直線AB與圓x2 y2=2相切;當k"時，直線OB的方程為2聯(lián)立?fkX 2得點A的坐標而融 乂 +2y2 =4打八y '八X一聯(lián)立f k得點B的坐標（_2k 2 ）, 卜=2、.丿Ji +2k2 丿或 i G +2k22kJi +2k2； 由點A的坐標的對稱性知，無妨取點亠篤進行計算,心+2k丿于是直線AB的方程為：2k_2抽+2/丄、kJ1+2k2丄、y -2 二 122kx 2k 二2 x 2k ,2 2 +2k'1 2kW +2k2即 k - 1 2k2 x - 1 k 1 2k2 y 2k2 2 =o原點到直線AB的距離d = j22.k -、1 2k2

15、 亠1 k 1 2k2圓心O到直線AB的距離=2此時直線AB與圓寸/相切。綜上知，直線AB 一定與圓x2 y2 *相切. 法三：當k=0時，A -2 0，易知B 0 2，此時0A =2 0BAB|=2運，原點到直線AB的距離d =OA OBAB|- 2血22-2 八當k"時，直線OB的方程為此時直線AB與圓x2 y2 =2相切;1 y x， k設 A x1 y1 B x2 y2，則。人一口人，OB = 1 -k2 y2 =2 1 k2，22k聯(lián)立呎2=4得點A的坐標時 '后K或盲2_2k+ 2k2 " Ji +2k2 J ；于是 QA| = k2 刈=2'：

16、；：2 , |0B| = 2j喬k2AB =4 1k2OA Ob1+2k2”AB1-2血(1 +k2 )所以d =22 1+k2)1 2k241，1好，2 1 k2 c TTT”1 2k2二乙,直線AB與圓x2 y2相切;綜上知，直線AB 一定與圓x2 y2 =2相切2 2 _練習1：已知橢圓C:篤 當=1(a b 0)過點(0,1)，且長軸長是焦距的2倍.過橢圓左a b焦點F的直線交橢圓C于A, B兩點，0為坐標原點.(I)求橢圓C的標準方程；(H)若直線AB垂直于x軸，判斷點O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由；(皿)若點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線 AB的斜率k的取值范圍

17、.(4)圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點0，焦點在x軸上，離心率為且橢圓C上的點到2兩個焦點的距離之和為4 .(I)求橢圓C的方程；(H)設A為橢圓C的左頂點，過點A的直線I與橢圓交于點M ,與y軸交于點N ,過原點與I平行的直線與橢圓交于點P .證明：| AM | | AN|=2|OP|2 .2 2解: (I)設橢圓C的標準方程為：2 y2 “(a b 0),a2 =b2 +c2,由題意知逅，a 22a =4,解得 a = 2, b = 1 .2所以橢圓C的標準方程為:十1.(H)設直線AM的方程為：y =k(x 2)，則N(0,2k).由y2 k(X2 2)，得(1+4

18、k2)x2 16k2x 16k2-4 = 0x +4y =4,(*).設 A( -2,0) , M(X1,yJ，貝S -2 ,為是方程(*)的兩個根,所以x1話22-8k 4k 、所以M (兀,).1 +4k2 1+4k2|AM |.(2一8： 4；伙)2 (1 4：)216 16k2 (1 4k2)241 k21 4k2|AN 4 4k2 =2 ,1 k2 .|AM |陽=云尹告1 4k2設直線OP的方程為：y = kx .由:y2=4,得(1 n.設 p(xo，yo)，則 xo2二缶，y。24k21 4k2所以|0P|2 =4 4k21 4k22|OP|2 二8 8k21 4k2所以 |

19、AM | | AN |=2|OP|2 .例 4.2：已知橢圓 C:軍 Z" (a>b>0)的離心率為二,A( a,0) ,B(0,b) , O( 0,a b20), OAB勺面積為1.(I )求橢圓C的方程；(I I) 設P的橢圓C上一點，直線PA與丫軸交于點M直線PB與X軸交于點N。 求證：|an卜|bm|為定值。'i I I |.：" / 盧老 I，“<練習1：已知橢圓C:X2 y2 “(a b 0)的離心率為'6,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點a b3構(gòu)成的三角形的面積為弘2.3(I)求橢圓C的方程；(H)已知動直線y二k(x1)與橢圓

20、C相交于A、B兩點.若線段AB中點的橫坐I 標為- 1 ,求斜率k的值;若點M (- 7 ,0),求證：MA MB為定值.23練習2：已知拋物線C : y2 = 2 px (p> 0),其焦點為F, O為坐標原點，直線 AB (不 垂直于x軸)過點F且拋物線C交于A, B兩點，直線OA與OB的斜率之積為p .(1) 求拋物線C的方程；(2) 若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點 D，求證：匹田>2|OM |練習3:動點P(x, y)到定點F(1,0)的距離與它到定直線l:x = 4的距離之比為-.2(I )求動點P的軌跡C的方程；(H)已知定點A( -2,0) , B(2,

21、0)，動點Q(4,t)在直線l上，作直線AQ與軌跡C的另一個交點為M，作直線BQ與軌跡C的另一個交點為N，證明：M , N,F三點共線.(5)圓錐曲線最值問題例5：已知橢圓C:冷 聳=1(a b 0)的離心率為，橢圓C與y軸交于A, B兩點, a b2| AB |=2.(I)求橢圓C的方程;(H)設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側(cè).直線PA , PB與直線x=4分別相交于M , N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E, F ,求點P橫坐標的解：(I)由題意可得，b=1 ,分取值范圍及|EF |的最大值.a2=4圓C的標準方x24 yT.2 a3(H)設 P(X0,y0)(O：X

22、0 乞 2), A(0,1) ,B(0, -1),所以kPA=心，直線PA的方程為廠心x-1 ,X。X。同理：直線PB的方程為y1 ,Xo直線PA與直線x=4的交點為M（4,也衛(wèi)1） , 7分Xo直線PB與直線x=4的交點為N（4,K耳-1）,Xo線段MN的中點（4, 4也）,8Xo分所以圓的方程為（x4）2 （y4yo）2 =（1一 4）2 , 9分XoXo2令 y =0，則（x_4）216yo 二（1 - “）2 , 10 分X。422 彳 彳因為生& =1,所以冒丄,114Xo 4分所以（x -4）2 8 -5 =0 ,Xo因為這個圓與X軸相交,該方程有兩個不同的實數(shù)解,azO&

23、gt;8 -XO5XO分設交點坐標（冷0）,&2,0），則以X2#2, 5 - 8（ - xQ< 2 ）YXo5所以該圓被 X 軸截得的弦長為最大值為2. 14 分練習1：已知橢圓C:a b i的一個焦點為F（2，0），離心率為 。過焦點a b3D勺直線F的直線I與橢圓C交于A, B兩點，線段ABK點為D, C為坐標原點，過Q 交橢圓于M N兩點。(1) 求橢圓C的方程；(2) 求四邊形AMBN面積的最大值。練習2:已知橢圓C : mx2 3my2 =1(m 0)的長軸長為2 6 , O為坐標原點.(I )求橢圓C的方程和離心率；(n )設點a(3,o)，動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若 |BA|BP|，求四邊形OPAB面積的最小值.(6)圓錐曲線存在性問題2 2例6.已知橢圓C : X2 y2a b 0的離心率為2，點P0,1和點Am,n m = 0都在a b2橢圓C上，直線PA交X軸于點M .(I )求橢圓C的方程，并求點M的坐標(用m n表示)；_ - - I "? /".(n)設O為原點，點B與點A關(guān)