導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)的極值

1、利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為: :求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域; ;求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ; ;)(xf 解不等式解不等式 00得得f(x)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間; ; 解不等式解不等式 00).=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x x變化時(shí)變化時(shí), ,f(x), ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表: :)(xf 練習(xí)練習(xí):求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x

2、(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小值3 因此因此,當(dāng)當(dāng)x=-1時(shí)有極大值時(shí)有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)有極小值時(shí)有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.課本課本p130 p130 練習(xí)練習(xí)1.1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)在在x x0 0及其附近有定義及其附近有定義, ,如果如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大所有各點(diǎn)的函數(shù)值都大, ,我們說我們說f(xf(x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的一個(gè)極的一個(gè)極大值大值; ;如

3、果如果f(xf(x0 0) )的值比的值比x x0 0附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小附近所有各點(diǎn)的函數(shù)值都小, ,我們說我們說f(xf(x0 0) )是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)y=f(x)的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值. .極大值與極小值統(tǒng)稱極值極大值與極小值統(tǒng)稱極值. .2.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)f(x)在在x x0 0處連續(xù)時(shí)處連續(xù)時(shí), ,判別判別f(xf(x0 0) )是極大是極大( (小小) )值的方法是值的方法是: :(1):(1):如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 那么那么,f(x,f(x0 0) )是是極大值極大值; ;( ) 0,( ) 0,f xf x右右側(cè)側(cè) (2): (2

4、):如果在如果在x x0 0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 那么那么,f(x,f(x0 0) )是是極小值極小值. .( ) 0, ( ) 0,f xf x右右側(cè)側(cè)3.3.理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意理解函數(shù)極值的定義時(shí)應(yīng)注意: :(1)(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念, ,極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)極值點(diǎn)是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn)而不會(huì)是端點(diǎn). .(2)(2)若若f(x)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值, ,那么那么f(x)f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定不是在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù), ,即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值. .(3)(3)極大值與極

5、小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系, ,即極大值不一定比即極大值不一定比極小值大極小值大, ,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小. .(4)(4)函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值, ,它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的的, ,相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn), ,同樣相鄰兩個(gè)同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn). .一般地一般地, ,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)f(x)在某區(qū)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí)間上連續(xù)且有有限極值點(diǎn)時(shí), ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)在該

6、區(qū)間內(nèi)的極大值在該區(qū)間內(nèi)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的點(diǎn)與極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的. .(6)(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)或?qū)?shù)為零的點(diǎn)取到. .4.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手, ,理解可導(dǎo)函數(shù)在其定義理解可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系, ,掌握利掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值極值的基本方法的基本方法. .(5)(5)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件, ,而不是充分條件而不是充分條件. .例例: :已知函數(shù)已知函數(shù)f(

7、x)=-xf(x)=-x3 3+ax+ax2 2+b+b.(1).(1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)f(x)在在x=0,x=4x=0,x=4處取得極處取得極值值, ,且極小值為且極小值為-1,-1,求求a a、b b的值的值.(2).(2)若若 , ,函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)圖象上圖象上的任意一點(diǎn)的切線斜率為的任意一點(diǎn)的切線斜率為k,k,試討論試討論k k-1-1成立的充要條件成立的充要條件 . . 1 , 0 x解解:(1):(1)由由 得得x=0 x=0或或x=4a/3.4a/3=4,a=6.x=4a/3.4a/3=4,a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0 x0 x0時(shí)時(shí), , 故當(dāng)故

8、當(dāng)x=0 x=0時(shí)時(shí), ,f(x)f(x)達(dá)到極小值達(dá)到極小值f(0)=b,f(0)=b,所以所以b=-1.b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)(2)等價(jià)于當(dāng)?shù)葍r(jià)于當(dāng) 時(shí)時(shí),-3x,-3x2 2+2ax+2ax-1-1恒成立恒成立, ,即即g(x)=3xg(x)=3x2 2-2ax-1-2ax-10 0對一切對一切 恒成立恒成立. . 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2ag(1)=2-2a0,0,即即a a1.1.反之反之, ,當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí),g(x)0,g(x)0對一切對一切 恒成立恒成立. . 1 , 0 x所以

9、所以,a1,a1是是k-1k-1成立的充要條件成立的充要條件. . 223( )(2).f xxx求求函函數(shù)數(shù)例例的的極極值值(:( ),)f x 的的定定義義域域?yàn)闉榻饨?)2(3)1 (4)(xxxxf1, 0)(xxf解得令.)(,20不存在時(shí)及當(dāng)xfxx:)(),(, 2, 1, 0的變化情況如表將定義域分成四個(gè)區(qū)間由xfxfxxx1)(1; 0)(,20極大值極小值時(shí)當(dāng)時(shí)或當(dāng)xfxxfxx x(-, 0) 0(0,1)1(1,2) 2(2,+) f(x)- 不存在不存在 +0 -不存在不存在 + f(x) 極小值極小值0 極大值極大值1 極小值極小值0 例例:已知函數(shù)已知函數(shù) f(x

10、)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時(shí)時(shí), ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件由條件可知可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),x20,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 極大值極大值 極小值極小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)若若a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ), 1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2. 例例:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極大值為且極大值為 4,極小值為極小值為0.試確定試確定a,b,c的值的值. 練習(xí)練習(xí):已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個(gè)根有一個(gè)根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時(shí)時(shí)