初三奧賽班數(shù)學第十五周綜合難題訓練

1、初三奧賽班數(shù)學第十五周綜合難題訓練1.（此題總分值10分）如圖13,在平面直角坐標系中，圓M通過原點0,且與x軸、y軸別離相交于 A（-8,0）、8（0,-6）兩點.（1）求出直線AB的函數(shù)解析式：（2）假設(shè)有一拋物線的對稱軸平行于），軸且通過點M,極點C在。M上，開口向下，且 通過點B,求此拋物線的函數(shù)解析式；（3）設(shè)（2）中的拋物線交x軸于D、E兩點，在拋物線上是不是存在點P,使得 假設(shè)存在，請求出點P的坐標；假設(shè)不存在，請說明理由2.（此題總分值10分）已知拋物線y = "+bx + c通過點月（5, 0）、B （6, 6）和原點.（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式：（2）假設(shè)過點8的

2、直線），=依+'與拋物線相交于點C （2, m）,請求出AO8C的面積S 的值.（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D,在拋物線對稱軸右邊位于直線DC下 方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線尸尸平行于y軸交x軸于點凡 交直線OC 于點£直線P廠與直線OC及兩坐標軸圍成矩形0正。（如圖），是不是存在點P，使 得AOCO與ACPE相似？假設(shè)存在，求出點P的坐標：假設(shè)不存在，請說明理由.3. (10分)如圖，二次函數(shù)y=or2+/»+c(a>0)與坐標軸交于點A、B、C且OA=1, OB = OC = 3 .(1)求此二次函數(shù)的解析式.(2)寫出極點坐標和對稱

3、軸方程.(3)點M、N在y=a.x2+bx+c的圖像上(點N在點M的右邊)，且MNx軸，求以MN 為直徑且與X軸相切的圓的半徑.4. （ 1 2分）已知兩個關(guān)于x的二次函數(shù)與當x =左時， =17；且二次函數(shù)力的圖象的對稱軸是直為，Ji = a（x-k）2 +2（k> 0）,乃+乃=x2+6x+12線工=一1.（1）求k的值；（2）求函數(shù)凹，為的表達式：（3）在同一直角坐標系內(nèi)，問函數(shù)的圖象與力的圖象是不是有交點？請說明理由./、/八0 = 8女+ A（-8,0）,8（0l6），,-6 =。.3L解：（1）設(shè)AB的函數(shù)表達式為），= Zx+/z工直線AB的函數(shù)表達式為y =二%一6. 3

4、分4（2）設(shè)拋物線的對稱軸與。M相交于一點，依題意知這一點確實是拋物線的極點C。又設(shè) 對稱軸與x軸相交于點N,在直角三角形AOB中，AB= 4AO1 + OB1 = 782 +62 =10.因為。M通過0、A、B三點，且44。8=90；,.A8為。M的直徑，半徑MA=5,N為 AO 的中點 AN=NO=4, AMN=3 ACN=MC-MN=5-3=2,，C 點的坐標為（4, 2）.1/? = -4,c = -6.設(shè)所求的拋物線為丁 = ax2 + hx + c2a2 = 16。- 4 + c, <-6 = c.所求拋物線為> =一1/一4%一6 7分2(3)令一 1工2-4x-6.

5、 = o,得D、E兩點的坐標為D (-6, 0)、E (-2, 0),因此DE=4. 2又 AC=2V5,BC = 46,.直角三角形的而積Smjc =- 275 <4>/5 = 20. 2假設(shè)拋物線上存在點 P(x,力吏得S*DE = Sc，B|jl DE |y| = 20,.-. y = ±. 10210當), = 1時，x = _4±VI;當y = l時，x =-4±6.故知足條件的存在.它們是14 +(4 (4 +1),巴(4 "TS",-1). 10分25a + 5b + c = 02.解：(1)由題意得：, 36a +

6、6/? + c =。2 分c = 0解得jb = 5 3分c = 0故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為丁 = 一/+5工 4分（2） 丁。在拋物線上，.二一2?+5x2 =，,.加=6 5分.C點坐標為（2, 6）, ,8、C在直線 > ="+ /上6 = 2攵+/-6 = 6k + b'解得 =-3/'=12/.直線BC的解析式為y = 3x +126分設(shè)與x軸交于點G,那么G的坐標為（4, 0） obc = x4x64-x4x|-6| = 24 （3）存在 P,使得OCfJscPE設(shè) PQ,），NOOC = NE = 90。故 CE = m - 2, EP = 6-/7

7、假設(shè)要OCQs.cpe,那么要空=2二 CE EPOD DCEP CE6m - 2或上- 6-772團一 2解得 m = 20 - 3 或 =123m又。,）在拋物線上,7 = 20 3" n = 12-3/7/nV<n = 一 "廠 + 5mn = 一廠 + 5m10叫=Y 解得50=m2 = 2 =6故P點坐標為（W,9和（6,-6）（只寫出一個點的坐標記9分）10分3.解析）（1）依題意月（一1,0）, 8（3,0）, C（0,-3）別離代入 y = or+c解方程組得所求解析式為y = V 一 2%一3 4分(2) y = x?-2戈一3 =(工一1)2-4

8、5 分極點坐標(1, 4) ,對稱軸x = 17分(3)設(shè)圓半徑為r，當MN在工軸下方時，N點坐標為(1 +八一)8分把N點代入y = /_2x_3得/ _ _1二I 9分同理可得另一種情形r = 土衛(wèi) 2.-1 + yj17 ， 1 + y/1 7，圓的半徑為-或一- 10分224.解析)解(1)由,="(x-Z)2+2, yx+y2=x2 +6x + 12得 了2 =(y + 必)一%=12 +6x + 12-+(x-：)2 - 2 = x2 +6x + 10-+(x-：)2 .又因為當工=攵時，刈=17,即女2+6 + 10 = 17,解得占=1,或22=-7 (舍去)，故攵的值為1(2)由 = 1,得=丁+6x + 10-a(x-l)2 =(1 -a)/+(2a + 6)x + 10-a ,因此函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x =2a+ 62(" a)于是,解得。=一1,因此=一/+2x + L y2 = 2x2 +4x