函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性(1)課件

1、1機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束第四節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 與曲線的凹凸性一、單調(diào)性的判別法一、單調(diào)性的判別法二、單調(diào)區(qū)間求法二、單調(diào)區(qū)間求法六、小結(jié)六、小結(jié)三、曲線凹凸的定義三、曲線凹凸的定義五、曲線凹凸的判定五、曲線凹凸的判定四、曲線的拐點(diǎn)及其求法四、曲線的拐點(diǎn)及其求法2機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束一、單調(diào)性的判別法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf【定理】【定理】.,)(0)(),()2(,)(0)(),(1.),(,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在那那末末函函數(shù)數(shù)，內(nèi)內(nèi)如如果果在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在

2、在，那那末末函函數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)如如果果在在）（導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)可可上上連連續(xù)續(xù)，在在在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA3機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【證】【證】),(,21baxx ,21xx 且且應(yīng)用拉氏定理應(yīng)用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上單調(diào)增加上單調(diào)增加在在baxfy , 0)(),( xfba內(nèi)，內(nèi)，若在若在, 0)( f則則).()(12xfxf .,)(上上單單調(diào)調(diào)減減少少在在b

3、axfy 4機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例1】【解】【解】.1 的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù) xeyx1 xey,)0 ,(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y上上單單調(diào)調(diào)減減少少；，函函數(shù)數(shù)在在 0(- ,), 0(內(nèi)內(nèi)在在 , 0 y. )0, 上上單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)在在 【注意】【注意】函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性).,(: D又又【說明】【說明】定理中區(qū)間換成

4、其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍成立定理中區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍成立. .5機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例2】 32的的單單調(diào)調(diào)性性討討論論函函數(shù)數(shù)xy 【解】【解】),( D連續(xù)連續(xù)332xy )0( x時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng))0 ,( x0 y時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)), 0( x0 y 0 ,( 32內(nèi)單調(diào)減少內(nèi)單調(diào)減少在在則則 xy )0, 32內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在則則 xy如上圖如上圖32xy 【問題】【問題】函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)怎么求呢？部分區(qū)間上單調(diào)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)怎么求呢？6機(jī)動(dòng)機(jī)

5、動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束二、單調(diào)區(qū)間求法【定義】【定義】若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單 調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的調(diào)的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)( (駐點(diǎn)駐點(diǎn)) )和不可導(dǎo)點(diǎn)，和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)【方法】【方法】.,)()(0)(數(shù)數(shù)的的符符號(hào)號(hào)然然后后判判斷斷區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)導(dǎo)導(dǎo)的的定定義義區(qū)區(qū)間間來來劃劃分分函函數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)的的根根及及用用方方程程xfxfxf 【可能分界點(diǎn)可能分界點(diǎn)】7機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束

6、單調(diào)區(qū)間的求法步驟：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間的求法步驟：求求)( xfD ，求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)( (可能的分界點(diǎn)可能的分界點(diǎn)) )確定單調(diào)區(qū)間確定單調(diào)區(qū)間列表考察列表考察 f ( (x) )在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)8機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例3】【解】【解】.31292)(23的的單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間確確定定函函數(shù)數(shù) xxxxf ).,(:可可導(dǎo)導(dǎo) D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得得，解解方方程程0)( xf. 2, 121 xx上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在1 ,(上單調(diào)減少；上單調(diào)減少；在在2 , 1 上上單單調(diào)調(diào)增增加加；在在

7、), 2 單調(diào)區(qū)間為單調(diào)區(qū)間為，1 ,(，2 , 1)., 2x)1 ,( )2 , 1(), 2()(xf )(xf 10209機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例4】【解】【解】 討論函數(shù)的單調(diào)性討論函數(shù)的單調(diào)性3xy ),( : xD032 xy00 xy在在 x = 0 處有一水平切線處有一水平切線3xy 在在(,0及及0,）上都單調(diào)增加）上都單調(diào)增加如圖所示如圖所示10機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例5】【證】【證】.)1ln(,0成成立立試試證證時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxx ),1ln()( xxxf 設(shè)設(shè).1)(xxxf 則則,

8、0)(), 0(,), 0)( xfxf可導(dǎo)，可導(dǎo)，且且上連續(xù)上連續(xù)在在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在), 0 , 0)0( f時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0)1ln( xx).1ln(xx 即即 , 0)0()( fxf【應(yīng)用】【應(yīng)用】 利用單調(diào)性證明不等式利用單調(diào)性證明不等式【結(jié)論】【結(jié)論】 若函數(shù)在某區(qū)間上除有限個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為若函數(shù)在某區(qū)間上除有限個(gè)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為 零外零外, , 均有均有 ( (或或 ),), 則不影響函數(shù)的單調(diào)性則不影響函數(shù)的單調(diào)性. . 0)( xf0)( xf教材教材P130例例111機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例【補(bǔ)例6】證明證明 6sin 20

9、 3xxxx ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 【證】【證】6sin)( 3xxxxf 令令2, 0 x21cos)(2xxxf 2, 0 x正負(fù)不正負(fù)不易判定易判定0sin)( xxxf)2, 0( x 2, 0)( 內(nèi)單調(diào)增加，內(nèi)單調(diào)增加，在在 xxf )( 02 xfx 則則 2, 0 )( 為單增函數(shù)，為單增函數(shù)，在在故故 xxf )(0 xfx由由即即6sin 20 3xxxx ，時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 證完證完 0)0( f0)0( f0)0( f0)0( f12機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【補(bǔ)例【補(bǔ)例7】【應(yīng)用】【應(yīng)用】 利用單調(diào)性確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)利用單調(diào)性確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)

10、. . . 01 5只只有有一一個(gè)個(gè)正正根根證證明明方方程程 xx前已證過前已證過1. . 用零點(diǎn)定理證用零點(diǎn)定理證存在性存在性（正根）（正根）. .2. . 用羅爾定理反證用羅爾定理反證唯一性唯一性. .以下用以下用1. . 用零點(diǎn)定理證用零點(diǎn)定理證存在性存在性（正根）（正根）. .2. . 用函數(shù)的單調(diào)性證用函數(shù)的單調(diào)性證唯一性唯一性. .【證明】【證明】唯一性唯一性015)( 4 xxf ),( )( 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)增增加加在在 xf則其圖象若與則其圖象若與 軸相交則僅相交一次軸相交則僅相交一次x存在性存在性（略，用零點(diǎn)定理在（略，用零點(diǎn)定理在 內(nèi)證）內(nèi)證）1 , 0故方程故方程 只有一個(gè)

11、正根只有一個(gè)正根. .0)( xf【證完】【證完】13機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束三、曲線凹凸的定義【問題】【問題】單調(diào)性不能反映曲線的彎曲方單調(diào)性不能反映曲線的彎曲方 向；如何研究曲線的彎曲方向向；如何研究曲線的彎曲方向? ?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方ABC14機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束的的（或或凸凸弧?。┥仙系牡膱D圖形形是是（向向上上）凸凸在在那那末末稱稱如如果果恒恒有有的的（或

12、或凹凹弧?。┥仙系牡膱D圖形形是是（向向上上）凹凹在在那那末末稱稱恒恒有有點(diǎn)點(diǎn)上上任任意意兩兩如如果果對(duì)對(duì)上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè) )(,2)()()2(; )(,2)()()2(,)(2121212121IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf 【定義】【定義】;)(,)(,)(),(, ,)(的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹在在那那末末稱稱的的或或凸凸內(nèi)內(nèi)的的圖圖形形是是凹凹且且在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfbabaxf15機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束四、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞增遞增)(xf abB

13、A0 y遞減遞減)(xf 0 y【定理【定理1 1】.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上上的的圖圖形形是是凸凸的的在在則則上上的的圖圖形形是是凹凹的的在在則則內(nèi)內(nèi)若若在在一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 【觀察】【觀察】16機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【證】【證】只證只證( (1) )如圖如圖o1x2x0 x1 2 x,21baxx 21 xx 且且0212 xxx 記記hxxxx 1002 并并記記hxx 01 則則hxx 02由拉氏中值定理可得由拉氏中

14、值定理可得hhxfxfhxf)()()(1000 hx 0hx 0hhxfhxfxf)()()(2000 )1,0(21 hx10 hx20 17機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 兩式相減得兩式相減得)(2)()(000 xfhxfhxf hhxfhxf)()(2010 上上再再次次用用拉拉氏氏定定理理在在區(qū)區(qū)間間對(duì)對(duì) ,)(12 xf hhfhhxfhxf )()()()(212010 ),(12 0)(221 hf 即即0)(2)()(000 xfhxfhxf)(2)()(000 xfhxfhxf 亦即亦即)2(2)()(2121xxfxfxf 凹的凹的證完證完1

15、8機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例8】.3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 【解】【解】,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y為為凹凹的的；在在曲曲線線), 0 .)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是曲線由凸變凹的分界是曲線由凸變凹的分界點(diǎn)點(diǎn)【注意到】【注意到】【注】【注】定理中區(qū)間為非閉區(qū)間時(shí)仍然成立定理中區(qū)間為非閉區(qū)間時(shí)仍然成立. .這樣的點(diǎn)稱為這樣的點(diǎn)稱為拐點(diǎn)拐點(diǎn). .19機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束五、曲線的拐點(diǎn)及其求法 )(0的的左左右右鄰鄰近近異異號(hào)號(hào)在在

16、點(diǎn)點(diǎn) xxf 1、【定義】、【定義】【注意】【注意】拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線（指拐點(diǎn)拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線（指拐點(diǎn)處可導(dǎo)時(shí)）處可導(dǎo)時(shí)）. .2、拐點(diǎn)的求法、拐點(diǎn)的求法【分析】【分析】連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)( 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn))稱為曲線的拐點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).就就是是曲曲線線的的一一個(gè)個(gè)拐拐點(diǎn)點(diǎn)則則點(diǎn)點(diǎn) ) )(,( 00 xfx20機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束所以要尋求拐點(diǎn)所以要尋求拐點(diǎn), ,只要找出只要找出f (x)符號(hào)發(fā)生變化的分界符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn)即可點(diǎn)即可. .如果如果f (x)在區(qū)間在區(qū)間I I內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階連續(xù)

17、導(dǎo)數(shù), ,則二則二階導(dǎo)數(shù)值在由負(fù)變正或由正變負(fù)的過程中階導(dǎo)數(shù)值在由負(fù)變正或由正變負(fù)的過程中, ,必在分界必在分界點(diǎn)處的值為零點(diǎn)處的值為零. .即即0)(0 xf此外此外 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)（如下圖）二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是拐點(diǎn)（如下圖）xyo原點(diǎn)既是角點(diǎn)、又是拐點(diǎn)，不可導(dǎo)原點(diǎn)既是角點(diǎn)、又是拐點(diǎn)，不可導(dǎo)可能的拐點(diǎn)可能的拐點(diǎn))(,( 0)( 00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)使使 )(,( )(00 xfxxf點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在的的 【總結(jié)】【總結(jié)】21機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【方法】【方法】 ;)(,(,)( )1(000即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號(hào)號(hào)左左右右兩兩旁

18、旁xfxxfx .)(,(,)( )2(000不不是是拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不不變變號(hào)號(hào)左左右右兩兩旁旁xfxxfx 【求拐點(diǎn)的步驟】【求拐點(diǎn)的步驟】)( )1(xfD ，求求定定義義域域 )( 0)( )2(0 xxfxf不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)的的根根，以以及及解解出出 . )( )3(點(diǎn)點(diǎn)的符號(hào)，確定是否拐的符號(hào)，確定是否拐列表考察列表考察xf 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在x0的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)的某去心鄰域內(nèi)二階可導(dǎo), ,且且x0是是可能的拐點(diǎn)可能的拐點(diǎn), ,則則22機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例9】 . 14334的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)及及凹凹、凸凸的的區(qū)區(qū)間間求求曲曲線

19、線 xxy【解】【解】),(: D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(23機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束).,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為24機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例10】 4是否有拐點(diǎn)？是否有拐點(diǎn)？曲線曲線xy 【解】【解】34xy 212xy 的的根根是是 0 0 yx但但 時(shí)時(shí) 0 x總有總有0 y凹的凹的 故故沒沒有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線4xy

20、 xyo4xy 此例說明了此例說明了 的點(diǎn)的點(diǎn) 也可能不是拐點(diǎn)也可能不是拐點(diǎn). .0)( xf)(,(00 xfx【結(jié)論】【結(jié)論】25機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【例【例1111】.3的拐點(diǎn)的拐點(diǎn)求曲線求曲線xy 【解】【解】,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,3132 xy,9235 xy. , ,0均均不不存存在在是是連連續(xù)續(xù)但但不不可可導(dǎo)導(dǎo)的的點(diǎn)點(diǎn)yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但但在在;0 ,(上是凹的上是凹的曲線在曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凸的上是凸的曲線在曲線在. )0 , 0(3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)xy . )()(,(,)(000的拐點(diǎn)，也可能不是的拐點(diǎn)，也可能不是是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點(diǎn)點(diǎn)不存在不存在若若xfyxfxxf 【注意】【注意】26機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束【凹凸性應(yīng)用】【凹凸性應(yīng)用】 由曲線的凹凸定義證明不等式由曲線的凹凸定義證明不等式證明證明2ln)(lnlnyxyxyyxx ), 0,(yxyx 教材教材P1529(3)【證】【證】令令0 ln)( ttttf則則1ln)( ttf01)( ttf ), 0( ln)( 上上是是凹凹的的在在