多項(xiàng)式除法(共12頁)

1、關(guān)于多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以先把這兩個(gè)多項(xiàng)式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個(gè)多位數(shù)相除的計(jì)算方法，用豎式進(jìn)行計(jì)算例如，我們來計(jì)算(7x26x2)÷(2x1)，仿照672÷21，計(jì)算如下：(7x26x2)÷(2x1)=3x2由上面的計(jì)算可知計(jì)算步驟大體是，先用除式的第一項(xiàng)2x去除被除式的第一項(xiàng)6x2，得商式的第一項(xiàng)3x，然后用3x去乘除式，把積6x23x寫在被除式下面(同類項(xiàng)對(duì)齊)，從被除式中減去這個(gè)積，得4x2，再把4x2當(dāng)作新的被除式，按照上面的方法繼續(xù)計(jì)算，直到得出余式為止上式的計(jì)算結(jié)果，余式等于0如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式的余式為0，我

2、們就說這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除，這時(shí)也可說除式能整除被除式整式除法也有不能整除的情況按照某個(gè)字母降冪排列的整式除法，當(dāng)余式不是0而次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，除法計(jì)算就不能繼續(xù)進(jìn)行了，這說明除式不能整除被除式例如，計(jì)算(9x22x35)÷(4x3x2)解：所以商式為2x1，余式為2x8與數(shù)的帶余除法類似，上面的計(jì)算結(jié)果有下面的關(guān)系：9x22x35(4x3x2)(2xl)(2x8)這里應(yīng)當(dāng)注意，按照x的降冪排列，如果被除式有缺項(xiàng)，一定要留出空位當(dāng)然，也可用補(bǔ)0的辦法補(bǔ)足缺項(xiàng)當(dāng)除式、被除式都按降冪排列時(shí)，各項(xiàng)的位置就可以表示所含字母的次數(shù)因此，計(jì)算時(shí)，只須寫出系數(shù)，算出結(jié)果后，再把字母和

3、相應(yīng)的指數(shù)補(bǔ)上去這種方法叫做分離系數(shù)法按照分離系數(shù)法，上面例題的計(jì)算過程如下：于是得到商式=2x1，余式=2x8對(duì)于多項(xiàng)式的乘法也可用分離系數(shù)法進(jìn)行計(jì)算，例如，(2x35x4)(3x27x8)按分離系數(shù)法計(jì)算如下：所以，(2x35x4)(3x27x8)=6x514x4x323x212x32如果你有興趣，作為練習(xí)，可用上面的方法計(jì)算下面各題1(6x3x21)÷(2x1)2(2x33x4)÷(x3)3(x32x25)(x2x21)4(xy)(x2xyy2)【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式 二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)整式的除法與

4、我們以前所學(xué)的整式的加法、減法、乘法有很多不同，特別是多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，雖然是選學(xué)內(nèi)容，但多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式在解決代數(shù)式求值，及復(fù)雜的因式分解都有很大的用處。 【典型例題】例1 化簡求值：，其中，解：    當(dāng)，時(shí)原式    例2 A.         B.        C.         D.

5、以上都不對(duì)解析：解這道題如用正規(guī)途徑應(yīng)對(duì)比等式左右兩邊系數(shù)從左邊到右邊少了，所以所求代數(shù)式的系數(shù)為2而最后一項(xiàng)為1，所以所求代數(shù)式為。但這是一道選擇題可以用代入法把A、B、C四個(gè)答案代入試試，很快發(fā)現(xiàn)也是A。說明：同學(xué)們?cè)谧鲞x擇題時(shí)應(yīng)選用較為靈活的方法。例3 化簡解：原式        例4 計(jì)算我們仿照小學(xué)學(xué)習(xí)的多位數(shù)除以多位數(shù)的法則建立多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的法則所以規(guī)則：1. 先把除式與被除式按降冪排列，如果除式與被除式中有缺項(xiàng)，缺項(xiàng)的位置補(bǔ)0。2. 用被除式的第一項(xiàng)除以除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)再用這個(gè)商式去乘以除式，再

6、把積寫在被除式下面（同類項(xiàng)對(duì)齊），從被除式中減去這個(gè)積再把差當(dāng)作新的被除式，按照上面的方法繼續(xù)計(jì)算，直到得出余式為止。 例5 計(jì)算此題已把除式與被除式按降冪排列好了先用被除式的首項(xiàng)除以除式的首項(xiàng)得商式首項(xiàng)，再用乘以得把它寫在被除式下面同類項(xiàng)對(duì)齊作減法得（），再把作為新的被除式，用除以得再用乘以得寫在下面作減法得0除完。例6 在用多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式法則之前，我們觀察被除式，發(fā)現(xiàn)被除式有缺項(xiàng)，如果忽視這個(gè)問題那么按法則去做，則同類項(xiàng)不能對(duì)齊。所以應(yīng)該在缺項(xiàng)的地方補(bǔ)0?，F(xiàn)在新的問題出來了，再用除以會(huì)得負(fù)指數(shù)，這是不行的，這時(shí)除法已經(jīng)結(jié)束，我們仿照多位數(shù)除以多位數(shù)把叫做余式。所以說明：如果多項(xiàng)式除以多項(xiàng)

7、式有除不盡的情況，那么寫成被除式= 除式×商式+余式余式的定義：當(dāng)在做多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的除法時(shí)，如果新的被除式的最高次項(xiàng)小于除式的最高次項(xiàng)，則這個(gè)新的被除式為余式。 例7 已知多項(xiàng)式能被整除求值。解： 多項(xiàng)式能被整除 余式    例8 已知能被整除，求的值。解： 能被整除       例9 已知求的值分析：設(shè)法把用含有的代數(shù)式表示 說明：在這里我們用除以，有些同學(xué)存在困惑怎能做除數(shù)，這里作除法是尋找兩個(gè)多項(xiàng)式之間的關(guān)系，并不是除0這一點(diǎn)，同學(xué)們要好好體會(huì)。 【模擬試題】（答題時(shí)間：30分鐘）1.

8、 計(jì)算 2. 計(jì)算 3. 計(jì)算4. 已知多項(xiàng)式能被整除且商式是，求的值。5. 如果能被整除，求的值。6. 已知，求7. 確定a的值使多項(xiàng)式能被除余數(shù)為1。8. 求除以的商式和余數(shù)9. 已知多項(xiàng)式可被和整除，求、的值及此式的因式。12一、選擇：1. （ ）若多項(xiàng)式A除以多項(xiàng)式B得商式為Q，餘式為R，則下列敘述何者恆正確？(A)AR是Q的倍式(B)AR是B的因式(C)A是B的倍式(D)B是A的倍式答案A詳解：由題意得：ABQR(B)ARBQ，即AR是B的倍式(C)當(dāng)R0時(shí)，A才是B的倍式(D)當(dāng)R0時(shí)，A是B的倍式，B是A的因式故選(A)2. （ ）若2xxmx6為x2的倍式，則2xxmx6亦為下

9、列何者的倍式？(A)x3 (B)x3 (C)2x3 (D)2x3答案C詳解：因?yàn)?xxmx6為x2的倍式所以x2能整除2xxmx6用x2去除2xxmx6得到：62(m10)0解得m72xxmx6(x2)(2x5x3)(x2)(x1)(2x3)故選(C)3. （ ）3x13xaxb是x2x3的倍式，則ab？(A)152 (B)44 (C)38 (D)2答案B詳解：用x2x3除3x13xaxb得：a230，b210所以a23，b21故ab44，選(B)4. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，試求n？(A)6 (B)6 (C)12 (D)12答案A詳解：(x2)(2x3)2x2

10、7x6用2x27x6除8xmx17xn得：n3(m28)0又m26解得n6，故選(A)5. （ ）若(x2)和(2x3)都是8xmx17xn的因式，則m？(A)26 (B)26 (C)30 (D)30答案A詳解：(x2)(2x3)2x27x6用2x27x6除8xmx17xn得：7(m28)0解上式得：m26，故選(A)6. （ ）若不是2x1的倍式，則下列哪一個(gè)不可能是a的值？(A)3(B)1(C)1(D)3答案A詳解：用2x1去除得餘式為a3因?yàn)椴皇?x1的倍式所以餘式a3不可能為0即a值不可能為3故選(A)二、填充：1. 已知x2與4x1都是8x2x41x10的因式，則因式分解8x2x41

11、x10 。答案(x2)(4x1)(2x5)詳解：(x2)(4x1)4x29x2用4x29x2除8x2x41x10得商式為2x5所以8x2x41x10(x2)(4x1)(2x5)2. 如圖，翊寧做了一個(gè)多項(xiàng)式直式除法，發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式2x3是多項(xiàng)式4xax9xb的因式，其中部分係數(shù)以a、b、c、d、e、f表示，則：(1)a ，b ，c ，d ，e ，f 。(2)4xax9xb的另一個(gè)因式為 。答案(1)8，9，1，2，3，0(2)2xx3詳解：(1)由直式除法可知：2c2，c1e3c3d20，d2f0(整除，餘式為0)b90，b9(2)2x2cx32x2x3是4xax9xb的因式3. 若x3xm為5x

12、9xnx12的因式，則m，n。答案2，28詳解：用x3xm除5x9xnx12得：(n5m)180，126m0解得：m2，n284. 已知xx1為xk的因式，則：(1)k 。(2)因式分解xk 。答案(1)1 (2)(xx1)(x1)詳解：(1)用xx1除xk得：k10，故k1(2) 用xx1除xk得到的商式為x1所以xkx1(x1)( xx1)5. 若x1與x2皆為x6xkx6的因式，則：(1)k 。(2)因式分解x6xkx6 。答案(1)11 (2)(x1)(x2)(x3)詳解：(1)(x1)(x2)x23x2用x23x2除x6xkx6得：(k2)90解得：k11(2)用x23x2除x6xk

13、x6得商式為：x3所以x6xkx6(x1)(x2)(x3)6. 已知xxx1有因式x1，則因式分解xxx1 。答案(x1)(x1)詳解：用x0x1(缺項(xiàng)補(bǔ)0)除xxx1得商式為：x1故xxx1(x1)(x1)7. 若xmxnx10為x2與x5的倍式，則：(1)(m , n) 。(2)xmxnx10的因式分解為 。答案(1)(2 , 13)(2)(x2)(x5)(x1)詳解：(1)(x2)(x5)x23x10用x23x10除xmxnx10得：(n10)3(m3)01010(m3)0解得：m2，n13故(m , n)(2 , 13)(2) 用x23x10除x2x13x10得商式為x1所以x2x13

14、x10(x23x10)( x1)(x2)(x5)(x1)8. 已知3x11x27x14是x3x7的倍式，則因式分解3x11x27x14 。答案(x3x7)(3x2)詳解：用x3x7除3x11x27x14得商式為：3x2即3x11x27x14)( x3x7) (3x29. 設(shè)2x1是4xmx6的因式，則：(1)m 。(2)x2是否為4xmx6的因式？答： 。(3)因式分解4xmx6 。答案(1)13 (2)是(3)(2x1)(x2)(2x3)詳解：(1)用2x1除4x0x2mx6(缺項(xiàng)補(bǔ)0)得：6(m1)0解得：m13(2)用x2除4x0x213x6(缺項(xiàng)補(bǔ)0)得商式為4x28x3，餘式為0，整

15、除故)x2是4xmx6的因式(3)由(2)知：4x13x6(x2)( 4x28x3)用2x1除4x28x3得商式為2x3，餘式為0即4x28x3(2x1)( 2x3)故4x13x6(2x1)(x2)(2x3)10. 若xx1是多項(xiàng)式2x5xax3的因式，則a 。答案1詳解：用xx1除2x5xax3得(a2)30故a111. 設(shè)x1及2x3都是6xax13xb的因式，則2ab 。答案2詳解：(x1)(2x3)2x2x3用2x2x3除6xax13xb得：4(a3)0，b(a3)0解得：a5，b12故2ab2×5(12)212. 若多項(xiàng)式(x2)(x2x4x8)有因式x4，則此多項(xiàng)式可因式

16、分解為 答案(x2)(x4)(x2)用x0x4(缺項(xiàng)補(bǔ)0)除x2x4x8得商式為：x2所以x2x4x8(x4)(x2)故(x2)(x2x4x8(x2)(x4)(x2)13. 若xax3xb為x2x1的倍式，則：(1)a。 (2)b。答案(1)0 (2)2詳解：用x2x1除xax3xb得：42(a2)0，b(a2)0解得：a0，b214. 欲使x3x1為x4的倍式，則必須在x3x1中加上常數(shù)k，則k 。答案5詳解：用x4除x3x1k得餘式為：k5因?yàn)閤3x1為x4的倍式所以k50故k5三、計(jì)算：1. 若x2xb為3x2xax12的因式，則：(1)a、b的值分別為何？(2)因式分解3x2xax12

17、？答案(1)a1，b3 (2)(x2x3)(3x4)詳解：(1)因?yàn)閤2xb為3x2xax12的因式所以x2xb可以整除3x2xax12即(a3b)(8)0a3b8(1)124b0b3(2)將(2)式代入(1)式中，解出a1(2)由上面的除法可知(3x2xax12)÷(x2xb)3x4也就是說3x2xax12可以因式分解為(x2x3)(3x4) 2. 若2x3xb是2x7xax2的因式，則：(1)a、b之值分別為何？(2)承上題，請(qǐng)因式分解2x7xax2。答案(1)a5，b1(2)(2x3x1)(x2)詳解：(1)2x3xb是2x7xax2的因式2x3xb能整除2x7xax2則(2)2x7xax2(2x3xb)(x2)又a5，b12x7x5x2(2x3x1)(x2)3. 已知6x11x19x6是x3與2x1的倍式，則因式分解6x11x19x6？答案(x3)(2x1)(3x2)詳解：因?yàn)?x3)(2x1)2x5x3而且6x11