微積分初步課件

《微積分初步》導(dǎo)數(shù)可應(yīng)用于求各種變化率，如求變速直線運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、切線的斜率，經(jīng)濟(jì)的邊際等問題。介紹微分的概念及應(yīng)用。介紹積分的概念及應(yīng)用。1.1、導(dǎo)數(shù)的定義：

一般地，函數(shù)y=f（x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率是：我們稱它為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)（derivative），記作或，即2、根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟：

2.算比值：

1.求增量：

3.取極限：

導(dǎo)數(shù)的計(jì)算2.解：（1）求增量：（2）算比值：

（3）取極限：這就是說(shuō)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零1

、求函數(shù)(c

是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。下面我們求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2

、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解：3.在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=2x，y=3x，y=4x的圖象，從圖象上看，它們的導(dǎo)數(shù)分別表示什么？yxO4.3、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：4、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解：5.

一般地，可以證明冪函數(shù)(是任意實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)公式為6.常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零1

、求函數(shù)(c

是常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。下面我們求幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。2

、求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地，可以證明冪函數(shù)(是任意實(shí)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)公式為(x

)′=x-14函數(shù)的導(dǎo)數(shù)7.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式8.可以幫助我們解決兩個(gè)函數(shù)加、減、乘、除的求導(dǎo)問題。導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則9.2、熟記運(yùn)算法則

（1）（C)‘=0（2）(3)（4）（7）（8）（5）（6）1、熟記以下導(dǎo)數(shù)公式：10.利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的極值問題:

一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時(shí),判別f(x0)是極大(小)值的方法是:(1):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極大值;(2):如果在x0附近的左側(cè)右側(cè)那么,f(x0)是極小值.說(shuō)明求函數(shù)極值的方法與步驟：②令③分區(qū)間討論④將極值點(diǎn)代入f(x)算出極值。①求。，求一階駐點(diǎn)。的正負(fù)號(hào)，確定單調(diào)區(qū)間進(jìn)而確定極值點(diǎn)。11.函數(shù)的極值:請(qǐng)注意幾點(diǎn)(1)極值是一個(gè)局部概念.由定義,極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小.并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.也就是說(shuō)極值與最值是兩個(gè)不同的概念.(2)函數(shù)的極值不是唯一的.即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè).12.(4)函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部,區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn).而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部,也可能在區(qū)間的端點(diǎn).(3)極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系.即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值,如下圖所示,x1是極大值點(diǎn),x4是極小值點(diǎn),而f(x4)>f(x1).oaX1X2X3X4bxy13.在函數(shù)取得極值處,如果曲線有切線的話,則切線是水平的,從而有.但反過(guò)來(lái)不一定.如函數(shù)y=x3,在x=0處,曲線的切線是水平的,但這點(diǎn)的函數(shù)值既不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值大,也不比它附近的點(diǎn)的函數(shù)值小.14.二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用曲線凹凸區(qū)間的判定直觀看曲線“往上彎”為凹，每點(diǎn)切線在曲線下方；曲線“往下彎”為凸，每點(diǎn)切線在曲線上方。xy0xy0abbay=f(x)y=f(x)a圖b圖a圖曲線是凹的,切線的傾斜角

為銳角，且由小變大，

是遞增的，則表明有

遞增，反之亦然。這就得到有f(x)凹；(b）圖同理有，f(x)凸。曲線上凹凸的分界點(diǎn)叫做曲線的拐點(diǎn)。進(jìn)一步觀察曲線凹凸性與切線的關(guān)系15.例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并畫出函數(shù)的大致圖像：（4）試證當(dāng)x>0時(shí)，有16.17.微分：導(dǎo)數(shù)的代數(shù)應(yīng)用

如果說(shuō)用導(dǎo)數(shù)判定確定函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的凹凸性、拐點(diǎn)，是導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用，那么這里“微分”則主要是導(dǎo)數(shù)在代數(shù)上的應(yīng)用。因?yàn)椤拔⒎帧钡闹饕獑栴}是函數(shù)的近似計(jì)算——如何求一個(gè)函數(shù)的改變量？

微分的概念及思想設(shè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，即，由極限的概念令，稱它為函數(shù)f(x)的微分。并記，則18.例1求函數(shù)的微分解

需要注意：(1)微分的意義由于，說(shuō)明可以用微分求函數(shù)的改變量，即這里越小近似程度越好。19.如下圖所示：MT是y=f(x)在M點(diǎn)的切線

微分，當(dāng)較小時(shí)，可用直線MT來(lái)近似曲線MP（或說(shuō)用三角形MTN近似曲邊三角形MPN）。可見，“以直代曲”是微分的一個(gè)基本思想。于是，可顧名思義，把“微分”看作動(dòng)詞，意思為“無(wú)限細(xì)分”，而把“微分”看作名詞，意思為“微小的一部分”。x0yMPTNxX+△Xy=f(x)(2)微分的思想20.(3)微分的計(jì)算

由于，因此，“求微分就是求導(dǎo)數(shù)”．（并且在存在的情況下，可微與可導(dǎo)等價(jià)）。

于是，由導(dǎo)數(shù)公式與法則可直接得到微分的公式與法則，如下表

微分基本公式（略）微分四則運(yùn)算法則

設(shè)u、v是x的可導(dǎo)函數(shù)，則

21.例2在下面的括號(hào)中以適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)填空：

分析例1求微分是通過(guò)求，這里對(duì)照，則是其逆運(yùn)算，已知求原來(lái)的函數(shù)。方法在于熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式：首先找到類似的求導(dǎo)公式，然后猜察反推和多次試算。解

說(shuō)明：由微分的逆運(yùn)算求原函數(shù)是接下來(lái)積分講的內(nèi)容，通過(guò)求原函數(shù)可求不定積分。

22.

微分的近似計(jì)算

由得到近似公式：例3證明近似公式：證明類似地，可以證明當(dāng)較小時(shí)有下面近似公式

23.～～～～～常用等價(jià)無(wú)窮小:～～24.

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.25.微分學(xué):積分學(xué):互逆問題26.二、基本積分表不定積分的概念和性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念三、不定積分的性質(zhì)27.一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1（原函數(shù)）如果在區(qū)間內(nèi),即都有或那么函數(shù)就稱為或在區(qū)間內(nèi)原函數(shù).的導(dǎo)函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)是在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).28.原函數(shù)存在定理：即連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1)原函數(shù)是否唯一？例（C為任意常數(shù)）(2)若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù)使都有29.關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：（1）若，則對(duì)于任意常數(shù)C，（2）若和都是的原函數(shù)，則（C為任意常數(shù)）證（2）（C為任意常數(shù)）都是的原函數(shù).30.被積表達(dá)式任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)定義2（不定積分）積分變量

在區(qū)間I內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)，稱為在區(qū)間I內(nèi)的不定積分,記為原函數(shù)31.例1

求解解例2

求32.例3

設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1,2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為即是的一個(gè)原函數(shù).33.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算“互逆”.微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算的關(guān)系34.啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論

既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、基本積分表35.基本積分表(k是常數(shù));說(shuō)明：36.37.38.例4

求積分解根據(jù)積分公式39.證等式成立.（可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）三、不定積分的性質(zhì)線性性質(zhì)為常數(shù)）40.解所求曲線方程為例

已知一曲線在點(diǎn)處的切線斜率為且此曲線與y軸的交點(diǎn)為求此曲線的方程.41.5.基本積分表(1)4.不定積分的性質(zhì)（線性性）1.原函數(shù)的概念：2.不定積分的概念：3.求微分與求積分的互逆關(guān)系小結(jié)6.利用積分公式求積分42.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．43.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．44.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．45.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．46.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．47.48.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．49.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．50.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．51.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．52.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．53.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．54.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．55.觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．56.求由連續(xù)曲線y=f(x)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積的方法(2)取近似求和:任取xi

[xi-1,xi]，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為取n個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:每個(gè)小區(qū)間寬度⊿x57.一、定積分的定義如果當(dāng)n

∞時(shí)，S的無(wú)限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過(guò)程中可以看出,通過(guò)“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.58.定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號(hào)，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積表達(dá)式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。59.被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分下限積分上限60.

按定積分的定義，有

(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)

0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形