大學期末考試機械優(yōu)化設(shè)計復習題(共9頁)

1、一、填空題1.組成優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的三要素是 設(shè)計變量 、 目標函數(shù) 、 約束條件 。2.函數(shù)在點處的梯度為，海賽矩陣為3.目標函數(shù)是一項設(shè)計所追求的指標的數(shù)學反映，因此對它最基本的要求是能用來評價設(shè)計的優(yōu)劣，同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù) 。4.建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的基本原則是確切反映 工程實際問題，的基礎(chǔ)上力求簡潔 。5.約束條件的尺度變換常稱 規(guī)格化，這是為改善數(shù)學模型性態(tài)常用的一種方法。 6.隨機方向法所用的步長一般按 加速步長 法來確定，此法是指依次迭代的步長按一定的比例 遞增的方法。 7.最速下降法以 負梯度 方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其收斂速度較 慢 。8.

2、二元函數(shù)在某點處取得極值的必要條件是 , 充分條件是該點處的海賽矩陣正定9.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束 優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為 升維 法。10改變復合形形狀的搜索方法主要有反射，擴張，收縮，壓縮 11坐標輪換法的基本思想是把多變量 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題12在選擇約束條件時應特別注意避免出現(xiàn) 相互矛盾的約束， ，另外應當盡量減少不必要的約束 。13目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1, 空間中描述出來，為了在n維空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用 目標函數(shù)等值面 的方法。14.數(shù)學規(guī)劃法的迭代公式是 ，其核心是 建立搜

3、索方向， 和 計算最佳步長 。15協(xié)調(diào)曲線法是用來解決 設(shè)計目標互相矛盾 的多目標優(yōu)化設(shè)計問題的。16.機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中， 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型 是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。1. 優(yōu)化設(shè)計問題的基本解法有 解析法 法和 數(shù)值法2. 無約束優(yōu)化問題取得極值的充分必要條件是 一階導數(shù)等于零 和 二階導數(shù)大于零。3. 在進行一維搜索時，所要確定的搜索區(qū)間應為 高低高 的趨勢。4. 多元函數(shù)求極值的阻尼牛頓法的迭代公式為：二、名詞解釋1凸規(guī)劃： 對于約束優(yōu)化問題 若、都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。2可行搜索方向：是指當設(shè)計點沿該方向作微量移動時，目標函數(shù)值下降，且不會越出可行

4、域。3設(shè)計空間：n個設(shè)計變量為坐標所組成的實空間，它是所有設(shè)計方案的組合4.可靠度：5收斂性：是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列收斂于6. 非劣解：是指若有m個目標，當要求m-1個目標函數(shù)值不變壞時，找不到一個X，使得另一個目標函數(shù)值比，則將此為非劣解。7. 黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值。8.可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間中的活動范圍稱作可行域。9.維修度 略三、簡答題 1什么是內(nèi)點懲罰函數(shù)法？什么是外點懲罰函數(shù)法？他們適用的優(yōu)化問題是什么？在構(gòu)造懲罰函數(shù)時，內(nèi)點懲罰函數(shù)法和外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子的選取有何不同？ 1）

5、內(nèi)點懲罰函數(shù)法是將新目標函數(shù)定義于可行域內(nèi)，序列迭代點在可行域內(nèi)逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內(nèi)點法只能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。 內(nèi)點懲罰函數(shù)法的懲罰因子是由大到小，且趨近于0的數(shù)列。相鄰兩次迭代的懲罰因子的關(guān)系為 為懲罰因子的縮減系數(shù)，其為小于1的正數(shù)，通常取值范圍在2）外點懲罰函數(shù)法簡稱外點法，這種方法新目標函數(shù)定義在可行域之外，序列迭代點從可行域之外逐漸逼近約束邊界上的最優(yōu)點。外點法可以用來求解含不等式和等式約束的優(yōu)化問題。外點懲罰函數(shù)法的懲罰因子，它是由小到大，且趨近于的數(shù)列。懲罰因子按下式遞增，式中為懲罰因子的遞增系數(shù)，通常取2共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？

6、試畫圖說明。. 對于二次函數(shù)，,從點出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達點，則點處的搜索方向應滿足，即終點與始點的梯度之差與的共軛方向正交。3為什么說共軛梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進行的一種改進？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個共軛向量都依賴于迭代點處的負梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個搜索方向取負梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負梯度進行修正。所以共軛梯度法的實質(zhì)是對最速下降法的一種改進。4.寫出故障樹的基本符號及表示的因果關(guān)系。5.算法的收斂準則由哪些？試簡單說明。6.優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學模型一般有哪幾部分組成？簡單說明。7

7、簡述隨機方向法的基本思路答：隨機方向法的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數(shù)值下降最快的隨機方向作為可行搜索方向。從初始點出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長進行搜索，得到新的值，新點應該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點移至，重復以上過程，經(jīng)過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。8. 復合形法的基本思路是什么？答：在可行域中選取K個設(shè)計點(n+1K2n)作為初始復合形的頂點。比較各頂點目標函數(shù)值的大小，去掉目標函數(shù)值最大的頂點(稱最壞點)，以壞點以外其余各點的中心為映射中心，用壞點的映射點替換該點， 構(gòu)成新的復合形頂

8、點。反復迭代計算，使復合形不斷向最優(yōu)點移動和收縮，直至收縮到復合形的頂點與形心非常接近，且滿足迭代精度要求為止。9. 在可行方向法中，產(chǎn)生可行方向的條件是什么？答：1可行性條件d k與起作用的約束函數(shù)在xk點的梯度g(X k )的夾角大于或等于90°：g(X k )T dk 0* 若迭代點X k 處于J個約束邊界的相交處,應同時成立: g (X k )T d k 0 （j=1,2,J）2. 下降性條件d k 與目標函數(shù)在X k 點的梯度f (X k )的夾角大于90°：f (X k ) T d k < 0綜上所述，當X k處于J個起作用的約束面上時，適用可行方向的數(shù)學

9、條件是：三、計算題1試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。初始點為，則初始點處的函數(shù)值和梯度分別為 ，沿梯度方向進行一維搜索，有為一維搜索最佳步長，應滿足極值必要條件 ，從而算出一維搜索最佳步長 則第一次迭代設(shè)計點位置和函數(shù)值，從而完成第一次迭代。按上面的過程依次進行下去，便可求得最優(yōu)解。2、試用黃金分割法求函數(shù)的極小點和極小值，設(shè)搜索區(qū)間（迭代一次即可）解：顯然此時，搜索區(qū)間，首先插入兩點，由式計算相應插入點的函數(shù)值。因為。所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，即。第一次迭代：插入點，相應插入點的函數(shù)值，由于，故消去所以消去區(qū)間，得到新的搜索區(qū)間，則形成新的搜索區(qū)間。至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復迭代過程，最終

10、可得到極小點。3用牛頓法求目標函數(shù)+5的極小點，設(shè)。解：由 ，則 ，其逆矩陣為因此可得：，從而經(jīng)過一次迭代即求得極小點，優(yōu)化設(shè)計期末考試（二）1優(yōu)化問題的三要素：設(shè)計變量，約束條件， 目標函數(shù)。2機械優(yōu)設(shè)計數(shù)學規(guī)劃法的核心：一、建立搜索方向，二、計算最佳步長因子3外推法確定搜索區(qū)間，函數(shù)值形成 高-低-高 區(qū)間4數(shù)學規(guī)劃法的迭代公式是 ，其核心是 建立搜索方向， 和 計算最佳步長 5若n維空間中有兩個非零向量d0，d1，滿足(d0)TGd1=0，則d0、d1之間存在_共軛關(guān)系6，與負梯度成銳角的方向為函數(shù)值 下降 方向，與梯度成直角的方向為函數(shù)值 不變 方向。外點；內(nèi)點的判別7那三種方法不要求

11、海賽矩陣：最速下降法 共軛梯度法 變尺度法8、那種方法不需要要求一階或二階導數(shù)： 坐標輪換法9、拉格朗日乘子法是 升維法 P3710、懲罰函數(shù)法又分為外點懲罰函數(shù)法、內(nèi)點懲罰函數(shù)法、混合懲罰函數(shù)法三種11，.函數(shù)在點處的梯度為，海賽矩陣為12.目標函數(shù)是一項設(shè)計所追求的指標的數(shù)學反映，因此對它最基本的要求是能用來評價設(shè)計的優(yōu)劣，同時必須是設(shè)計變量的可計算函數(shù) 。13.建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型的基本原則是確切反映 工程實際問題，的基礎(chǔ)上力求簡潔 。14.約束條件的尺度變換常稱 規(guī)格化，這是為改善數(shù)學模型性態(tài)常用的一種方法。 15，.隨機方向法所用的步長一般按 加速步長 法來確定，此法是指依次迭代的步

12、長按一定的比例 遞增的方法。 16.最速下降法以 負梯度 方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱為 梯度法，其收斂速度較 慢 。17，.二元函數(shù)在某點處取得極值的充分條件是必要條件是該點處的海賽矩陣正定18.拉格朗日乘子法的基本思想是通過增加變量將等式約束 優(yōu)化問題變成 無約束優(yōu)化問題，這種方法又被稱為 升維 法。19，改變復合形形狀的搜索方法主要有反射，擴張，收縮，壓縮 20坐標輪換法的基本思想是把多變量 的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為 單變量 的優(yōu)化問題21在選擇約束條件時應特別注意避免出現(xiàn) 相互矛盾的約束， ，另外應當盡量減少不必要的約束 。22目標函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1, 空間

13、中描述出來，為了在n維空間中反映目標函數(shù)的變化情況，常采用 目標函數(shù)等值面 的方法。23協(xié)調(diào)曲線法是用來解決 設(shè)計目標互相矛盾 的多目標優(yōu)化設(shè)計問題的。24.機械優(yōu)化設(shè)計的一般過程中， 建立優(yōu)化設(shè)計數(shù)學模型 是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、解答題1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)別答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理區(qū)別：（1）、試探法：給定的規(guī)定來確定插入點的位置，此點的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法（2）、插值法：沒有函數(shù)表達式，可以根據(jù)這些點處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達式，近而求出函數(shù)的極小點，并用它作

14、為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。2、在變尺度法中，為使變尺度矩陣與近似，并具有容易計算的特點，必須附加哪些條件？ 答：（1）必須是對稱正定的（2）要求有簡單的迭代形式 （3）必須滿足擬牛頓條件3，總結(jié)：無約束優(yōu)化方法l 只算函數(shù)值方法1,坐標輪換法：小規(guī)模，收斂慢（無耦合問題快）；2，單形替換法：中小規(guī)模，收斂較快,3，格點法：非凸問題；4，Monte Carlo 法：非凸問題。l 計算一階導數(shù)方法1， 梯度法：中小規(guī)模，開始快；2，共軛梯度法：中大規(guī)模，收斂快，程序簡單；2， 變尺度法：中大規(guī)模，收斂快；4，Powell方法：中大規(guī)模，收斂快。l 計算二階導數(shù)方法1，

15、 Newton 方法：收斂快，計算難度大；2，共軛方向法：收斂快，計算難度大。4共軛梯度法中，共軛方向和梯度之間的關(guān)系是怎樣的？試畫圖說明。. 對于二次函數(shù)，,從點出發(fā)，沿G的某一共軛方向作一維搜索，到達點，則點處的搜索方向應滿足，即終點與始點的梯度之差與的共軛方向正交。3為什么說共軛梯度法實質(zhì)上是對最速下降法進行的一種改進？.答：共軛梯度法是共軛方向法中的一種，在該方法中每一個共軛向量都依賴于迭代點處的負梯度構(gòu)造出來的。共軛梯度法的第一個搜索方向取負梯度方向，這是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負梯度進行修正。所以共軛梯度法的實質(zhì)是對最速下降法的一種改進。4簡述

16、隨機方向法的基本思路答：隨機方向法的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個初始點，利用隨機數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個隨機方向，并從中選擇一個能使目標函數(shù)值下降最快的隨機方向作為可行搜索方向。從初始點出發(fā)，沿搜索方向以一定的步長進行搜索，得到新的值，新點應該滿足一定的條件，至此完成第一次迭代。然后將起始點移至，重復以上過程，經(jīng)過若干次迭代計算后，最終取得約束最優(yōu)解。5凸規(guī)劃：對于約束優(yōu)化問題 若、都為凸函數(shù)，則稱此問題為凸規(guī)劃。6可行搜索方向是指當設(shè)計點沿該方向作微量移動時，目標函數(shù)值下降，且不會越出可行域。7設(shè)計空間：n個設(shè)計變量為坐標所組成的實空間，它是所有設(shè)計方案的組合8收斂性：是指某種迭代程序產(chǎn)生的

17、序列收斂于9. 黃金分割法：是指將一線段分成兩段的方法，使整段長與較長段的長度比值等于較長段與較短段長度的比值。10.可行域：滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計空間中的活動范圍稱作可行域。三，計算1、求目標函數(shù)f(X)=2x12+3x22-x1x2-2x2-在點X1 =處的函數(shù)變化率最大的方向及其數(shù)值。解：f(x1)= 數(shù)值2、 求函數(shù)f(X)=x13+x22-4x1-2x2+在點X1（2,1）處的二階泰勒展開式。解：=6x12+x22-16x1+6+3、 用共軛梯度法求函數(shù)f(X)=2x12-x1x2+3x22+5的最優(yōu)解，初始點(1,2)，迭代精度解：4，求函數(shù) 的極值。解 首先，根據(jù)極值的必要條件求駐點得駐點為 再根據(jù)極值的充分條件，判斷此點是否為極值點。由于的一階主子式和二階主子式分別為 故 為正定矩陣 為極小點，相應的極值為 5試用牛頓法求的最優(yōu)解，設(shè)。初始點為，則初始點處的函數(shù)值和梯度分別為 ，沿梯度方向進行一維搜索，有 為一維搜索最佳步長，應滿足極值必要條件 ，從而算出一維