求數(shù)列通項(xiàng)公式的十種方法

1、.求數(shù)列通項(xiàng)公式的十一種方法（方法全，例子全，歸納細(xì)）總述：一利用遞推關(guān)系式求數(shù)列通項(xiàng)的11種方法：累加法、累乘法、待定系數(shù)法、階差法（逐差法）、迭代法、對數(shù)變換法、倒數(shù)變換法、換元法（目的是去遞推關(guān)系式中出現(xiàn)的根號）、數(shù)學(xué)歸納法、不動點(diǎn)法（遞推式是一個數(shù)列通項(xiàng)的分式表達(dá)式）、特征根法二。四種基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列、等和數(shù)列、等積數(shù)列及其廣義形式。等差數(shù)列、等比數(shù)列的求通項(xiàng)公式的方法是：累加和累乘，這二種方法是求數(shù)列通項(xiàng)公式的最基本方法。 三 求數(shù)列通項(xiàng)的方法的基本思路是：把所求數(shù)列通過變形，代換轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列。 四求數(shù)列通項(xiàng)的基本方法是：累加法和累乘法。 五數(shù)列的本質(zhì)是一個函

2、數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。一、累加法 1適用于： -這是廣義的等差數(shù)列 累加法是最基本的二個方法之一。2若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則練習(xí)1.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：練習(xí)2.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：裂項(xiàng)求和 評注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可

3、分組求和;若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。例3.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來求解.二、累乘法 1.。 -適用于： -這是廣義的等比數(shù)列累乘法是最基本的二個方法之二。2若，則兩邊分別相乘得，例4 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為例5.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_.解：已知等式可化為：()(n+1), 即時，=.評注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過因式分

4、解（一般情況時用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.練習(xí).已知,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.答案：-1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把原來的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.三、待定系數(shù)法 適用于 基本思路是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。1形如,其中)型（1）若c=1時，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來求.待定系數(shù)法：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：

5、將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式逐項(xiàng)相減法（階差法）：有時我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例6已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一： 又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的練習(xí)已知數(shù)列中，求通項(xiàng)。答案：2形如： (其中q是常數(shù)，且n0,1) 若p=1時，即：，累加即可.若時，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列即： ,令，則,然后類型1，

6、累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列。 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來解，iii.待定系數(shù)法：目的是把所求數(shù)列構(gòu)造成等差數(shù)列設(shè).通過比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).注意：應(yīng)用待定系數(shù)法時，要求pq，否則待定系數(shù)法會失效。例7已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一（待定系數(shù)法）：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略解法三（兩邊同除以）： 兩邊同時除以得：，下面解法略練習(xí).（2003天津理）設(shè)為常數(shù)，且證明對任意1，；3形如 (其中k,b是常數(shù)，且)方法1：逐項(xiàng)相減法（階差法）方

7、法2：待定系數(shù)法通過湊配可轉(zhuǎn)化為 ; 解題基本步驟：1、確定=kn+b2、設(shè)等比數(shù)列，公比為p3、列出關(guān)系式,即4、比較系數(shù)求x,y5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例8 在數(shù)列中，求通項(xiàng).（逐項(xiàng)相減法）解：， 時，兩式相減得 .令,則利用類型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可聯(lián)立 解出.例9. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).（待定系數(shù)法）解：原遞推式可化為比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為所以是一個等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為. 即：故.4形如 (其中a,b,c是常數(shù)，且)基本思路是轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，而數(shù)列的本質(zhì)是一個函數(shù)，其定義域是自然數(shù)集的一個函數(shù)。例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公

8、式。解：設(shè) 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。5.形如時將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，（取-3 結(jié)果形式可能不同，但本質(zhì)相同）則，則是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，所以練習(xí).數(shù)列中，若,且滿足,求.答案： .四、迭代法 (其中p,r為常數(shù))型例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例13.（2005江西卷）已知數(shù)列，（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公

9、式an.解：（1）略（2）所以 又bn=1，所以.方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡捷，請?jiān)囈辉?解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類型（1）來解五、對數(shù)變換法 適用于(其中p,r為常數(shù))型 p>0， 例14. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，（n2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：兩邊取對數(shù)得：，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，練習(xí) 數(shù)列中，（n2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：例15 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。兩邊取常用對?shù)得設(shè)（同類型四）比較系數(shù)得， 由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。 六、倒數(shù)變換法 適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例16 已知數(shù)

10、列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，七、換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系例17 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則代入得即因?yàn)椋?則，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。八、數(shù)學(xué)歸納法 通過首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例18 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。九、階差法（逐項(xiàng)相減法） 1、遞推公式中既有

11、，又有 分析：把已知關(guān)系通過轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例19 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：對任意有 當(dāng)n=1時，解得或當(dāng)n2時， -整理得：各項(xiàng)均為正數(shù)，當(dāng)時，此時成立當(dāng)時，此時不成立，故舍去所以練習(xí)。已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案： 2、對無窮遞推數(shù)列例20 已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t 故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為十、不動點(diǎn)法 目的是將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列的方法不動點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，使成立，則稱為的不動點(diǎn)或稱為函數(shù)的不動點(diǎn)。分析：由求出不動點(diǎn)，

12、在遞推公式兩邊同時減去，在變形求解。類型一：形如例21 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)系是對應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，不動點(diǎn)為-1，類型二：形如分析：遞歸函數(shù)為（1）若有兩個相異的不動點(diǎn)p,q時，將遞歸關(guān)系式兩邊分別減去不動點(diǎn)p,q，再將兩式相除得，其中，（2）若有兩個相同的不動點(diǎn)p，則將遞歸關(guān)系式兩邊減去不動點(diǎn)p，然后用1除，得，其中。例22. 設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.分析：此類問題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.解：對等式兩端同時加參數(shù)t,得：,令, 解之得t=1,-2 代入得,相除得,即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列, =, 解得.方法2：，兩邊取倒數(shù)得，令b，則b,轉(zhuǎn)化為累加法來求.

13、 例23 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點(diǎn)。因?yàn)?。所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，則。練習(xí)1：已知滿足，求的通項(xiàng)答案：練習(xí)2。已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)答案：練習(xí)3.（2009陜西卷文）已知數(shù)列滿足， .令，證明：是等比數(shù)列；()求的通項(xiàng)公式。答案：（1）是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）。十一。特征方程法 形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數(shù)）若有二重根，則可令是待定常數(shù)）再利用可求得，進(jìn)而求得例24 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例25

14、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 練習(xí)1已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)2已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)說明：(1)若方程有兩不同的解s , t,則, ,由等比數(shù)列性質(zhì)可得, ,由上兩式消去可得.(2)若方程有兩相等的解，則，,即是等差數(shù)列，由等差數(shù)列性質(zhì)可知，所以例26、數(shù)列滿足，且求數(shù)列的通項(xiàng)。解：令，解得，將它們代回得，÷，得,則，數(shù)列成等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比q=2所以，則，十二、四種基本數(shù)列1形如型 等差數(shù)列的廣義形式，見累加法。2.形如型 等比數(shù)列的廣義形式，見累乘法。3.形如型（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列為“等和數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為

15、2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過累加來求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例27. 數(shù)列滿足,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.分析 1：構(gòu)造 轉(zhuǎn)化為型解法1：令則.時,各式相加:當(dāng)n為偶數(shù)時，. 此時 當(dāng)n為奇數(shù)時，此時,所以.故 解法2：時，兩式相減得：.構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列;構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列 . 評注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.例28.（2005江西卷）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足SnSn2=3求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解：方法一：因?yàn)橐韵峦侠?，略答?4.形如型（1）若(p為常數(shù)

16、)，則數(shù)列為“等積數(shù)列”，它是一個周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來討論;（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時，可通過逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來分求通項(xiàng).例29. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：同上例類似，略.5形如型(1)若是常數(shù)，同題型1.(2)若是一次式同題型1(3)若是二次式。例1(2006年陜西理20)已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和S 滿足成等比數(shù)列，且10 S= ，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:10 S= 又10 S=(2), - ,得，即.當(dāng).此時不成等比數(shù)列，.當(dāng).此時有.評注:該題用即的關(guān)系, .消去,也可用的方法求出.例2（2007年重慶理科21）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的

17、數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，并記為的前項(xiàng)和，求證：解：（I）解由，解得或，由假設(shè)，因此，又由，得，即或，因，故不成立，舍去因此，從而是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，故的通項(xiàng)為（II）證法一：由可解得；從而因此令，則因，故特別地，從而即證法二：同證法一求得及，由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)時，不等式成立由此不等式有證法三：同證法一求得及令，因因此從而證法四：同證法一求得及下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，因此，結(jié)論成立假設(shè)結(jié)論當(dāng)時成立，即則當(dāng)時，；因故從而這就是說，當(dāng)時結(jié)論也成立綜上對任何成立例3（2008年全國理科2）設(shè)函數(shù)數(shù)列滿足，（）證明：函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)；（）證明：；（）設(shè)，整數(shù)

18、證明：解：（）證明：，故函數(shù)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)（）證明：（用數(shù)學(xué)歸納法）（i）當(dāng)n=1時，由函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，且函數(shù)在處連續(xù)，則在區(qū)間是增函數(shù)，即成立；（）假設(shè)當(dāng)時，成立，即那么當(dāng)時，由在區(qū)間是增函數(shù)，得：.而，則，也就是說當(dāng)時，也成立；根據(jù)（）、（）可得對任意的正整數(shù)，恒成立 （）證明：由可得：1、若存在某滿足，則2、若對任意都有，則： 成立例4.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:由已知得,化簡有,由類型(1)有,又得,所以,又,則6. 形如型例（2008年湖南理科）（本小題滿分12分）數(shù)列()求并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)證明：當(dāng) 解 ()因?yàn)橐话愕兀?dāng)時，即所以數(shù)列是首項(xiàng)為

19、1、公差為1的等差數(shù)列，因此當(dāng)時，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2、公比為2的等比數(shù)列，因此故數(shù)列的通項(xiàng)公式為()由()知， -得，所以要證明當(dāng)時，成立，只需證明當(dāng)時，成立. 證法一(1)當(dāng)n = 6時，成立. (2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即則當(dāng)n =k+1時，由(1)、(2)所述，當(dāng)6時，即當(dāng)6時，證法二 令，則 所以當(dāng)時，.因此當(dāng)時，于是當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)時，7. 形如型例1（2008年重慶理科22）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足.（）若，求，并猜想的值（不需證明）；（）記對2恒成立，求的值及數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.解：()因， 由此有，故猜想的通項(xiàng)為 （）令 由題設(shè)知x1=1且 ， 因式對n=2成立，有 下面用反證法證明： 由得 因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.故 又由知 因此是是首項(xiàng)為，公比為-2的等比數(shù)列,所以 由-