行星運(yùn)行軌道的推導(dǎo)

1、行星運(yùn)行軌道的推導(dǎo) 王曉琳，陳海軍 （隴東學(xué)院 物理與電子工程學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng) 745000 ） 摘 要：從力的觀點(diǎn)對(duì)行星運(yùn)行軌道推導(dǎo)計(jì)算，通過(guò)求有心力，然后求出在有心力作用下的質(zhì) 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，進(jìn)而對(duì)行星運(yùn)行軌道形狀展開(kāi)討論；再?gòu)哪芰康挠^點(diǎn)出發(fā)，得到行星運(yùn)行軌道的一般 Binet 方程，還可以從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微方程導(dǎo)出比耐方程，從而了解行星運(yùn)行軌道的一般規(guī)律，即天 體運(yùn)行軌道的方程。關(guān)鍵詞：有心力，比耐公式，軌道方程0 引言天體行星的運(yùn)行軌道都是橢圓，這一點(diǎn)早已被科學(xué)觀察所證實(shí)。但為什么行星的運(yùn)動(dòng)軌跡都會(huì) 是橢圓的呢 1609 年，德國(guó)著名的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開(kāi)普勒在研究古希臘天文學(xué)家托勒密的“地心

2、 說(shuō)”和波蘭天文學(xué)家哥白尼的“日心說(shuō)”的基礎(chǔ)上，提出了“開(kāi)普勒定律”，描述了行星繞太陽(yáng)運(yùn) 動(dòng)的規(guī)律，其中開(kāi)普勒第一定律，即軌道定律，認(rèn)為每一行星沿一個(gè)橢圓軌道環(huán)繞太陽(yáng)，而太陽(yáng)則 處在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)中。幾個(gè)世紀(jì)來(lái)，牛頓給出了計(jì)算橢圓軌道的公式，康德在其宇宙發(fā)展史概 論中做出了一個(gè)不很明確的解答 “行星的偏心率是自然界因力圖使行星作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)， 由于中間 出現(xiàn)了許多情況，而不能完全達(dá)到圓形的結(jié)果 ”。而拉普拉斯在其宇宙體系論中是這樣解釋的“如果行星只受太陽(yáng)的作用，它們圍繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓的。” 20世紀(jì)的愛(ài)因斯坦也只告訴我們“空間是彎曲的 ”， 現(xiàn)代天文學(xué)研究表明，當(dāng)今人類(lèi)所能觀察到的離地球最

3、遠(yuǎn)的距離是 200 億光年，但這并不是宇宙的邊緣，而宇宙的一切天體，一切一切星系的運(yùn)行，都有著特定的森 嚴(yán)的規(guī)律，如月球繞地球旋轉(zhuǎn)，地球繞太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，太陽(yáng)系繞銀河系旋轉(zhuǎn)，銀河系繞室女星系旋轉(zhuǎn)等 等，萬(wàn)物各成其形，各行其道，這是當(dāng)代一切科學(xué)家共同確認(rèn)的。本文首先從力的角度進(jìn)行討論1 用力的觀點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)軌道有心力各大行星的運(yùn)行軌道都是繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)的，因?yàn)槿f(wàn)有引力的作用，一般而言，若運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn) 所受的力作用線始終通過(guò)某一個(gè)定點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)所受的力是有心力。在平面極坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：m(r r 2)F(r) |m(r 2r ) F 0(1)對(duì)（1）1 d2的第二式進(jìn)行第一積分，得m12 （r

4、2 ） 0r dt將( 1)的第一式和（2）作為有心力的基本方程。我們知道有心力是保守力，則它一定存在勢(shì)能V,且FV由于勢(shì)能差與原點(diǎn)選取無(wú)關(guān)，故有r2F(r)dr(V2 V1)(3)由于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量 m是常數(shù)，故積分得r2hri其中V也是r的函數(shù)，由機(jī)械能守恒定律得1m(r2r2 2) V(r) E (4)其中E是質(zhì)點(diǎn)的總能，為常數(shù)。比耐公式為了求出在有心力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，由（2）和（4）出發(fā)，求出r, B和t的關(guān)系，即r r（t）,（t），但很多情況下并不能得出這樣的顯函數(shù)形式，而只能把他們表示為t的隱函數(shù)，在力學(xué)中想求軌道方程，通常是先求運(yùn)動(dòng)規(guī)律，然后從運(yùn)動(dòng)規(guī)律中把參數(shù)t消去，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)

5、規(guī)律就是軌道的參數(shù)方程，而在有心力問(wèn)題中，常采用另一種方法，為了計(jì)算方便，常用r的倒數(shù)u來(lái)代替r,由（1）以u(píng)1代替r可得到rhu2drdr dd 1x d1 du又r()dtd dtd u dtu2 d即求出u和B的微分方程drdtdt( hddu)du)d )h2u2 馬d 2(5)的表達(dá)式代入（1 ）中t就消去了，并得到(d2uu)即軌道微分方程，又稱(chēng)比耐公式，引力時(shí)F為負(fù)號(hào)，斥力時(shí)F為正號(hào)。軌道形狀的討論:力與質(zhì)點(diǎn)到力心間的距離 r成平方反比，在行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)就是在力與距離成平方反比的引力作用下發(fā)生的，即為萬(wàn)有引力。另一方面，在物理學(xué)中也存在平方反比的斥力問(wèn)題，例如用粒子（帶正電）轟

6、擊原子核（也帶正電），將發(fā)生散射現(xiàn)象，這是粒子所受的力雖然也是有心力，但與萬(wàn)有引力不同，是一種與距離平方成反比的排斥力。如果令太陽(yáng)的質(zhì)量為現(xiàn)由比耐公式來(lái)求質(zhì)點(diǎn)在與距離平方成反比的引力作用下的軌道方程。ms，行星的質(zhì)量為 m,則由萬(wàn)有引力定律，知行星和太陽(yáng)之間的作用力可以寫(xiě)為lGmsmF -s2r.2 k m2rmk2u2(6)1(10)式中G為萬(wàn)有引力常數(shù)，k2 Gms是一個(gè)與行星無(wú)關(guān)而只和太陽(yáng)有關(guān)的量，稱(chēng)為太陽(yáng)的高斯常量，r為行星和太陽(yáng)之間的距離。把（6）代入（2 2/ d u . 2 25)中得：h u (2 u) k ud 2(7)k2 u 7(8)£h2（8）式變?yōu)閐2(9)

7、這個(gè)微分方程的形式與諧振動(dòng)方程完全一樣，所以它的解是Acos(o)Acos(o)j 21 Acos(o)h2k20，則式（10 ）就簡(jiǎn)化為式中A及0是兩個(gè)積分常數(shù)，如果把極軸轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，可使(11)h2/k21 A -2 cosk2這就是所要求的軌道方程。將它與標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線方程edr1 ecos比較，可知在平方反比引力作用下的質(zhì)1 ecos點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道是一條以力心為焦點(diǎn)的圓錐曲線。其離心率ea£，半正焦弦:2 2h2/k2 。因此,也就知道在萬(wàn)有引力作用之下的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道是圓錐曲線。由解析幾何知在萬(wàn)有引力之下，軌道是圓錐曲線。圓錐曲線按e的量值可分為三種類(lèi)型，因此在力與距離平方

8、成反比的引力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)的軌道類(lèi)型有三種。軌道類(lèi)型h2AF1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡是一個(gè) 橢圓a£1拋物線1雙曲線在圓錐曲線中，離力心最近的點(diǎn)叫做近日點(diǎn).在橢圓中，離力心最遠(yuǎn)的點(diǎn)叫遠(yuǎn)日點(diǎn)，拋物線和雙曲線沒(méi)有遠(yuǎn)日點(diǎn)。對(duì)于橢圓來(lái)說(shuō)它的近日點(diǎn)距離r a c（ a為橢圓長(zhǎng)半軸，c橢圓中心到焦點(diǎn) F的距離）。a(1a(a e)，r 2a2ac a(1e)。此外，我們利用圓錐曲線方程1 ecos距日點(diǎn)X的將焦點(diǎn)參數(shù)P用a和e來(lái)表示。因?yàn)樵诮拯c(diǎn)0，所以咒 a(1 e)，所以 p a(1e2)。e,P），但我們還應(yīng)該要明確它與A， h有關(guān)。光從幾何的角度來(lái)看，圓錐曲線的類(lèi)型和形狀取決于幾何參數(shù)（的物理意義。從

9、解比耐方程得到的結(jié)果可以看到幾何參數(shù)（ e，p）總之（3）A h和初使條件有關(guān).A、h這兩個(gè)物理量與有心運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的初始狀態(tài)（條件）有關(guān)。A h這些力學(xué)參量決定的。顯然，在平方反比引力作用之下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道的形狀是由F面我們就從能量的觀點(diǎn)來(lái)討論在平方反比引力作用之下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道。2用能量的觀點(diǎn)來(lái)討論軌道：天體運(yùn)行軌道的一般性Binet方程形式能量方程的一般解根據(jù)介質(zhì)層殼彎曲方法，目前已給出能量方程及其一特殊條件解為2 r dEmEmEmdr 0，（ 12）Em me2moc2 exo(M0C2r具有相同的形式，故可確定Newt on引力常數(shù)式中 為介質(zhì)層殼常數(shù)，r為粒子與物質(zhì)間的作用距離，Em

10、及Em即分別為基于質(zhì)速關(guān)系的作用物質(zhì)及質(zhì)點(diǎn)粒子的Ei nstein 能量。能量方程（12）式的一半解能量方程及勢(shì)能方程為Em22 /M0C2r），mcm0c exp(（13）Amr2M0C2r），mcm0c exo(（14）式中為待定常量。根據(jù)勢(shì)能方程（14）式，得作用力方程及其二個(gè)條件解分別為F MmdAmrdrc2Mexo( rM0C2r），（15）FMmC4 響(1M 0C2rM 0C2F MmM0C2r(16)方程（16）式與Newt on引力方程M°m°Mm2 r 2G C , （17）根據(jù)（13 ）、（17）二式得質(zhì)點(diǎn)粒子在引力作用下的運(yùn)動(dòng)速度及其一條件解形式分

11、別為222GM 0Vm2C2(1 eXP( X 2)，(18)2 2GM 02V；-2c222c22GM 00 22厶GM 0 (-),rrGM 0c r1（ 19）由（23）式得行星運(yùn)動(dòng)軌道的一般Binet方程形式為式中Vm為粒子的運(yùn)動(dòng)速度。顯然上面（19）式與Newton引力理論的活力積分公式2 2 1Vm GM°（）r a是一致的，式中a為行星軌道半徑，得與之相對(duì)應(yīng)的待定常量GM 0玨。（20）天體運(yùn)行軌道的一般Bint方程形式對(duì)于（19）式有Newt on引力方程組2 z dr 2/ dVm(詔叮込ldt込2c2r(21)式中 為行星軌道平面的極坐標(biāo)角度,L a（1 e2 ）

12、GM 0為行星掃面速度常數(shù)的二倍，e為行星軌道的偏心率。行星運(yùn)行的參量方程為V dVm GM°dV mmdrL dt 0( 22)相應(yīng)地對(duì)于（18）式有V：(W)2 (rj dtdt2“/ 2GM。c (1 exp( 2 - c r.)2d 1$ 2GM。 cr Lexp( 2 一 2 dtc rd2ud 22 2u u0 (2exp(4c u 4 ) exp(2c u 2 ) ( 24)式中uGM 0r ，u。（芋）2 o將方程(24)式右邊2u 以零階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，即得Newton引力理論（21）式的Bi net方程形式d2u 廠u2u0 c u0 (25)則由（22）

13、（23）可得角動(dòng)量方程為mr2ddrLoexp(GM02c r即軌道方程為)2/dr、2 / d()(r dtdtc2(1 exp( 2繆 0 2 ),(26)c r2d |/ 2GM。mrL°exp( 2 一 2 )drc r由（26）式得天體運(yùn)行軌道的一般性Binet方程形式為d2ud22 u u0 (2exo( 4c u2exp( 2c u 2）（27） 2在極弱場(chǎng)時(shí)因?yàn)?c u0，故將方程（24）式右邊c2u 以零階Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi),即得Newt on引力理論（21）式的Binet方程形式d2u22u u0 c ud 20，我們還可以從質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微方程導(dǎo)出比耐方程,再由比

14、耐公式直接求出質(zhì)點(diǎn)的軌道方程?，F(xiàn)在我們從這個(gè)一個(gè)角度即用動(dòng)量距守恒和機(jī)械能守恒:1 2 2 2 m(r2 r2 2) v(r) E2m( 28)r2 h這組方程來(lái)解質(zhì)點(diǎn)的軌道方程。如果已知質(zhì)點(diǎn)所受的有心力的具體形式，上式中的勢(shì)能的具體形式也就可以求得，與平方反比的引力相關(guān)的勢(shì)能:mk2mk2“、v(r)F (r)dr dr(29)r以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零勢(shì)能的參考點(diǎn)，那么質(zhì)點(diǎn)距離力心r處的引力勢(shì)能從r的ASDF將此弓I力勢(shì)能代到（1)式。則有1z 2m(r2mr2 h2) mk2 E)T(30)為了由上述兩方程推出質(zhì)點(diǎn)的軌道方程r(),我們得想辦法消去t，從式（2）的第二式得:將它們代入第一式則有1

15、h2 g(ddr 2)h2 r2E所以有dr 2Er2 h r、d . mh2 2k2r分離變量得:hdrd(2E 222r .r h 2k r mk2m 一rdrdr hd dth22 (rdr)2h2(乎)2d(31)(32)1 h22吩(Ldr 22E2E 4 r m對(duì)它的兩邊同時(shí)進(jìn)行積分，在這里要利用積分公式:dxx、a bx cx21. 1 bx 2aLn贏匸(17)h2r2dr .22k22k2h2r2k2r32k2Er其中（a<0）。兩邊積分得到。(18)2 2.1 2k r 2hsin rj4k4 8Eh2/mc sin(c)2 22k r 2hr、4k4 8Eh2/m我

16、們令c3這樣就可以將正弦改為余弦cos來(lái)表示，即23sin(c) sin(-20)cos(o)所以2k2r 2h2cos(0 )42 “r Y4k 8Eh mr 4k4 8 Eh2 mcos(0)2k2r 2h2(19)r 4k48 Eh2 m cos( 0) 2h2將它與標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線方程P進(jìn)行比較,1 ecos可見(jiàn)，在平方反比引力作用下的圓錐曲線的離心率1 2E(h2) m k(20)而焦點(diǎn)參數(shù)ph2k2，可見(jiàn)，軌道的幾何參數(shù)（e,p)完全決定于動(dòng)力力學(xué)常數(shù) h和E,有些書(shū)上就稱(chēng)這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)常數(shù)為動(dòng)力參量。因此，在平方2 h 2反比引力作用之下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道的類(lèi)型就可以用它的總能量E來(lái)判斷。因

17、為 蘭（-為）2恒為正值。所m k2以，E 0時(shí)，則e就小于1： e 1質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓當(dāng) E 0時(shí),等于1: e 1拋物線E 0時(shí)，大于1: e 1雙曲線Ah2最后還得還一下前面我欠大家的一筆帳，前面我們給出e現(xiàn)在我們由（3）可得k2八h,2Eh oA _2 - 1 （2） （21）k m k這就說(shuō)明了積分常數(shù) A取決于E和h而E和h又取決于質(zhì)點(diǎn)初始條件，所以說(shuō)A與初始條件有3結(jié)論本文分別用力的觀點(diǎn)和能量的觀點(diǎn)兩個(gè)方面對(duì)行星運(yùn)行軌道展開(kāi)討論。首先從有心力這一觀點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)對(duì)比耐公式的討論，來(lái)推導(dǎo)出軌道微分方程；然后以太陽(yáng)系為基礎(chǔ)，對(duì)軌道形狀做出細(xì)致的討論，得出軌道微分方程即比耐公式,2 2 , d 2u huGu)-的結(jié)論；接著從能量的觀點(diǎn)出發(fā),m對(duì)天體運(yùn)行軌道的一般性2Binet方程形式通過(guò)能量方程Emme2m0c