2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)67正態(tài)分布學(xué)案理

1、第六十七課時(shí)正態(tài)分布課前預(yù)習(xí)案考綱要求1. 了解正態(tài)分布與正態(tài)曲線的概念，掌握正態(tài)分布的對(duì)稱性；2. 能根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)求正態(tài)隨機(jī)變量在特定區(qū)間上的概率.以*根底知識(shí)梳理1. 正態(tài)曲線正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線，其函數(shù)表達(dá)式為f(X)2ne (T2(-1 ,CT 為參數(shù)，且 CT >0,8<+ m ).X &2, X R(其中2 (T2. 正態(tài)曲線的性質(zhì)(1) 曲線在x軸的 _，并且關(guān)于直線 對(duì)稱.(2) 曲線在時(shí)處于最高點(diǎn)，并由此處向左右兩邊延伸時(shí)，曲線逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低的形狀.(3) 曲線的形狀由參數(shù) (T確定，(T越，曲線越“矮胖；(T越，

2、曲線越“高瘦.3. 正態(tài)變量在三個(gè)特定區(qū)間內(nèi)取值的概率值(1) P( 口一廳 <X<y + 廳)=68.3%;(2) P( 口一 2疔 <X< + 2 c) = 95. 4% ;(3) P( 口 3 c <X< 口 + 3 c) = 99.7%.注意：通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N( 口，c 2)的隨機(jī)變量 X只取(口 3c, 口 + 3c )之間的值，并簡(jiǎn)稱為3 c原那么.正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間(口一 3c , 口 + 3 c )之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.003，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生.亠預(yù)習(xí)自測(cè)1 . E NO,c2)且P( 2

3、W E W 0)= 0.4，貝yP(E >2)=2.假設(shè) XN(0,1)，且 P(X<1.54) = 0.938 2，那么 P(| <1.54)3.設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f (X)的圖象，且1f(X)干ex 10那么這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是A. 10 與 8B. 10 與 2C. 8 與 10D. 2 與 104. 設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布 N(2,9)，假設(shè)RX>c + 1) = P(X<c 1)，那么c等于 ( )A. 1B. 2C.3D. 45.隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布N2 ,T2)，且 P( E <4) = 0.8，那么 R0

4、< E <2)等于()A. 0.6B.0.4C. 0.3D.0.2第六十七課時(shí)正態(tài)分布(課堂探究案)丄典型例題< 2n考點(diǎn)1正態(tài)曲線的性質(zhì) 【典例1】假設(shè)一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式;N 1 1 , T 1)( T 1>0)和 1 2 ,求正態(tài)總體在(4,4)的概率.【變式1】設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布2(T 2)( (T 2>0)的密度函數(shù)圖象如下圖，那么有A. 口1<口2,(T 1<(T 2B. 口1<口2,T 1 >T 2C. 口1>12,T 1 <T 2D. 11

5、>12,T 1 >T 2考點(diǎn)2服從正態(tài)分布的概率計(jì)算(1)求總體隨機(jī)變量的期望和方差； 求成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率.【變式2】(1)在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果E服從正態(tài)分布N(1 , T2) ( T>0).假設(shè)E在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，貝U E在(2 ,+)上取值的概率為 .1假設(shè)XN 0, 9，貝U X落在(一8, 1 U 1 ,+)內(nèi)的概率為 考點(diǎn)3正態(tài)分布的應(yīng)用【典例3】電燈泡的使用壽命XN(1 500,100 2)(單位：h).(1) 購(gòu)置一個(gè)燈泡，求它的使用壽命不小于1 400小時(shí)的概率；(2) 這種燈泡中，使用壽命最長(zhǎng)的占0.15%，這局部燈泡的使

6、用壽命至少為多少小時(shí)?【變式3】在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)E服從正態(tài)分布，即EN(100,100)，總分值為150分.(1)試求考試成績(jī) E位于區(qū)間(80,120)內(nèi)的概率;(2)假設(shè)這次考試共有2 000名考生參加,試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù).*當(dāng)堂檢測(cè)1.三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)f i (x)=2X i1：e i2 n ff i(X R, i =1,2,3)的圖象如下圖，那么A.口 1< a 2= a 3，(T 1 =CT2>3B. 1> a 2= 口 3，CT 1 =CT 2<3c.1= a 2< a 3，CT 1<2=(T 3D.CT 1

7、 = CT2<32.設(shè)隨機(jī)變量 XN(0，ff2)，且P( 2W X< 0) = 0.4，貝U R0 W X 2)的值是A. 0.3B. 0.4C.0.5D. 0.6隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,1)，且 R2 W X 4) = 0.6826，貝U P(X>4)等于A. 0.158 8B. 0.158 5C.0.158 6D. 0.158 74.隨機(jī)變量N3,2 2)，假設(shè) E = 2 n + 3，那么D( n )等于A. 0B. 1C. 2D. 4課后拓展案1.某市組織一次高三調(diào)研考試,*A組全員必做題考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布,x 80200( x R)，那么以下命題

8、不正確的選項(xiàng)是其概率密度函數(shù)為 f (x)( )A.該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分B.分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C.分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D.該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為1012. 設(shè)隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N 口，d2)，函數(shù)f(x) = x2+ 4x +E沒(méi)有零點(diǎn)的概率是-,那么口等于( )A. 1B. 2C. 4D.不能確定3. 隨機(jī)變量E服從正態(tài)分布 N1 , d 2)，P( E <0) = 0.3，貝U R E <2) =.4. 某中學(xué)2 000名考生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(120,100)，那么此校

9、數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的考生人數(shù)約為 .(注：正態(tài)總體 N( 口，d 2)在區(qū)間(口一 2d, 口 + 2 d)內(nèi)取值的概率約為0.9544).5. 在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果E服從正態(tài)分布N(1 , d2)( d> 0).假設(shè)E在(0,1)內(nèi)取值的概率為0.4，那么E在(0,2)內(nèi)取值的概率為.6. 商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝大米的質(zhì)量(單位：kg)服從正態(tài)分布 XN10,0.1 2)，任選一袋這種大米，質(zhì)量在9.810.2 kg的概率是-W' - B組提高選做題1. 汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗

10、油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量E服從正態(tài)分布 N8 ,d 2)，耗油量E 7,9的概率為0.7，那么耗油量大于 9升的汽車大約有 輛.12. 工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布 N4, 9，問(wèn)在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5)這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？N(60,100)，成3 .在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布績(jī)?cè)?0分以上含90分的學(xué)生有13人.求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？參考答案1. 0.1 解析/ P(02) = P( 2W EW 0) = 0.4

11、 ,1 R E >2) = 2(1 2X 0.4) = 0.1.2. 0.876 4 解析由正態(tài)曲線的對(duì)稱性知RX?1.54) = RXw 1.54).又 P(X> 1.54) = 1 RX<1.54) = 1 0.938 2 = 0.061 8 RXw 1.54) = 0.061 8 ,p X<1.54) = P( 1.54< X<1.54)=RX<1.54) F(Xw 1.54)=0.938 2 0.061 8 = 0.876 4.3. B由-8n e x 10,'2冗.e CT2 (T可知 T = 2, 口= 10.4. B 口 = 2,

12、由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x = 2對(duì)稱,=2,=2.5. C / P( E <4) = 0.8 , R E >4) = 0.2 ,由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線X = 2, R E <0) = R E >4)=0.2 , R0< E <4) = 1 p E <0) P( E >4) = 0.6.1 R0< E <2) = 2只0< E <4) = 0.3.O 公 4 蟲典型例題【典例1】解1由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,=0.由1.''2 n to- = 4,故該正態(tài)

13、分布的概率密度函數(shù)的解析式是f(x) =1 e32, x r P( 4<X<4) = P(0 4<X<0+ 4)=P( 口 一 a <X< 口+ a ) = 0.6826.【變式1 A 根據(jù)正態(tài)分布N( i ,a 2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x = 口對(duì)稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線;CT越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過(guò)來(lái),CT越小,曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，應(yīng)選A.【典例2】解 (1)從給出的密度曲線圖可知,該正態(tài)曲線關(guān)于x = 60對(duì)稱，最大值為1=:，解得 a = 4.4 2 n a ;2 n2x 601 - f (x) =e 32

14、, x 0,100,4#2 n2總體隨機(jī)變量的期望是(1 = 60,方差是 a = 16.成績(jī)X位于區(qū)間(52,68)的概率為R 口一 2 a <X< 口+ 2 a ) = 0.9544.【變式2 (1) 0.1【解析】由正態(tài)分布的特征易得R E >2) = 1x 1 2P(0< E <1) = 2 x (1 0.8) = 0.1.(2)【答案0.0026 【解析T 口 = 0, a = 1,-P( Xw 1 或 x?1)=1 R 1<X<1) = 1 P( 口一 3 a <X< 口+ 3 a )=1 0.9974=0.0026【典例 3

15、(1) P(X> 1 400) = 1 P(X<1 400) = 1 1 P 1 400< 1 6001°.6826 = 0.841 3.(2)設(shè)這局部燈泡的使用壽命至少為X0小時(shí),2那么 X0>1 500，那么 P(X> X。) = 0.15%.RX 1 500 > Xo 1 500) = 1 一 P |X 1 50?< X01 500_ = 0.15%,PJ X 1 500|< X0 1 500) = 1 0.3%= 0.997 ,所以 Xo 1 500 = 300, xo= 1 800(小時(shí)).【變式3】 由EN(100,100)

16、知 卩=100, (T = 10. R80< E <120) = F(100 2疔 <E <100+ 2疔)=0.9544 ,即考試成績(jī)位于區(qū)間(80,120)內(nèi)的概率為0.9544.(2) F(90< E <110) = F(100 10< E <100+ 10) = 0.6826 ,1>110) = 2(1 0.6826) = 0.158 7 , F( E > 90) = 0.6826 + 0.158 7 = 0.841 3.及格人數(shù)為 2 000 X 0.84131 683(人).當(dāng)堂檢測(cè)1. D解析 正態(tài)分布密度函數(shù)f 2(

17、X)和f 3( X)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱，所以其平均數(shù) 相同，故口 2= 口 3,又f2(x)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值比f(wàn)1(X)的對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)值大，故有口 1< 口 2=口 3.又(7越大，曲線越“矮胖，d越小，曲線越“瘦高，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)f 1(X)和f 2( X)的圖象一樣“瘦高，0 3( X)明顯“矮胖，從而可知7 1= 72<7 3.2. B解析 正態(tài)曲線關(guān)于直線 X= 0對(duì)稱，T P( 2< XW 0) = 0.4， P(0 < X< 2) = 0.4.3. D解析 由于X服從正態(tài)分布N(3,1)，故正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為X= 3.所

18、以P(X>4) = F(X<2)，1 P 2 W XW4故 P(X>4) =2= 0.158 7.4. B 解析 由 E = 2 n + 3，得 D E) = 4D( n )，而 D( E) = 7 = 4， D( n) = 1.:F A組全員必做題1. B解析 由密度函數(shù)知，均值(期望)口= 80,標(biāo)準(zhǔn)差7 = 10,又曲線關(guān)于直線 x= 80對(duì)稱，故分?jǐn)?shù)在100分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在 60分以下的人數(shù)相同，所以B是錯(cuò)誤的.2. C解析 根據(jù)題意，函數(shù)f (x) = x2 + 4x + E沒(méi)有零點(diǎn)時(shí)，A = 16 4 E <0，即E >4，根據(jù)2 1正態(tài)曲線的對(duì)稱

19、性，當(dāng)函數(shù)f(x) = X2+ 4x+ E沒(méi)有零點(diǎn)的概率是2時(shí)，口= 4.3. 0.7解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱，所以R E <2) = P( E <0) +R0< E <1) + P(1< E <2)，又 P(0< E <1) = R1< E <2) = 0.2，所以 P( E <2) = 0.7.4.46解析 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差是 10,故在區(qū)間(120 20,120 + 20)之外的概率是 1 0.9544，數(shù)學(xué)10 9544成績(jī)?cè)?40分以上的概率是1 0.9544 = 0.0228，故數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為 2000X 0.02 2846 46.解析/ E服從正態(tài)分布 N(1 , (T2), E在(0,1)與(1,2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4. E在(0,2)內(nèi)取值的概率為 0.4 + 0.4 = 0.8.6.0.9