《圖解剛體力學(xué)——歐拉運(yùn)動學(xué)方程》

1、本科生畢業(yè)論文論文題目：圖解剛體力學(xué)歐拉運(yùn)動學(xué)方程學(xué)生姓名：羅加寬學(xué)號:2008021152專業(yè)名稱：物理學(xué)論文提交日期：2012 年05月17日申請學(xué)位級別：理學(xué)學(xué)士論文評審等級：指導(dǎo)教師姓名：陳洛恩職工作單稱：教授位:玉溪師范學(xué)院學(xué)位授予單位：玉溪師范學(xué)院玉溪師范學(xué)院理學(xué)院物理系2012年05月圖解剛體力學(xué)一歐拉運(yùn)動學(xué)方程羅加寬（玉溪師范學(xué)院理學(xué)院物理系 08級物理1班云南玉溪653100 ）指導(dǎo)教師：陳洛恩、楊春艷摘要：本文闡述了描述剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的歐拉角及歐拉運(yùn)動學(xué)方程的圖解，以期讓復(fù)雜的問題轉(zhuǎn) 化得簡單清晰而易于學(xué)習(xí)者的理解，抽象的概念變得直觀具體而易于學(xué)習(xí)者的掌握；并能在一 定程度上

2、對提高學(xué)習(xí)者的空間思維能力、引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新思維能力有一定的幫助。 關(guān)鍵字：圖解；剛體；歐拉角；歐拉運(yùn)動學(xué)方程1. 引言理論力學(xué)是研究物體機(jī)械運(yùn)動一般規(guī)律的科學(xué)；依照牛頓的說法，理論力學(xué)“是關(guān)于力產(chǎn)生的運(yùn)動和產(chǎn)生任何運(yùn)動的力的理論，是精確的論述和證明”。理論力學(xué)作為使用數(shù)學(xué)方法的自然知識的一部分，不僅研究實(shí)際物體，而且研究其模型一 質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系、剛體和連續(xù)介質(zhì)。從研究次序來看，通常先研究描述機(jī)械運(yùn)動現(xiàn)象 的運(yùn)動學(xué)，然后再進(jìn)一步研究機(jī)械運(yùn)動應(yīng)當(dāng)遵循哪些規(guī)律的動力學(xué)。至于研究平衡 問題的靜力學(xué)，對理科來講可以作為動力學(xué)的一部分來處理，但在工程技術(shù)上，靜 力學(xué)卻是十分的重要，因此，常把它和動力

3、學(xué)分開，自成一個系統(tǒng) 2。本文圖解的 內(nèi)容為剛體力學(xué)運(yùn)動學(xué)問題之一的剛體的繞定點(diǎn)的轉(zhuǎn)動?！皥D解”的方法，較早見于上?？茖W(xué)技術(shù)出版社1988年翻譯出版的圖解量子 力學(xué)，原書名為 The Picture Book of Quantum Mechanics，由 Springer-Verlag出版；類似的書還有 Springer-Verlag 出版的Visual Quantum Mechanics。其特點(diǎn) 是通過將理論物理與數(shù)值計(jì)算相結(jié)合實(shí)現(xiàn)可視化來講解物理知識。國外對物理的可 視化教學(xué)十分重視，早在1995-1996年間Wiley出版社出版了 9本有關(guān)物理多媒體 教學(xué)的叢書,是由大學(xué)高等物理軟件聯(lián)盟

4、（The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS編寫該叢書及其所用的教學(xué)軟件 。如今，圖解法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于 力學(xué)、電磁學(xué)、模擬電子技術(shù)等方面，理論力學(xué)方面同樣也有不少人已經(jīng)采用了圖 解法。如趙宗杰使用3dsmax建立質(zhì)點(diǎn)外彈道運(yùn)動規(guī)律的虛擬模型和場景 ；樂山師 范學(xué)院王峰等利用 Matlab分別對質(zhì)點(diǎn)受力僅為位置、速度或時間的函數(shù)進(jìn)行了圖 解，并說明了 Matlab在理論力學(xué)中的應(yīng)用；阜陽師范學(xué)院孫美娟、韓修林利用 Mathematica進(jìn)行編程作出了落體的位移一時間圖像 。通過圖解，使很多抽象繁難 的物理問題在解析時達(dá)到空間立體直觀，

5、概念形成清晰，邏輯鏈路曉暢明朗，數(shù)式 轉(zhuǎn)換準(zhǔn)確易見。理論力學(xué)因理論性較強(qiáng)，與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系密切，一些概念的形成、公式的推導(dǎo)、 邏輯推理等較抽象、繁難、復(fù)雜，往往使教授者感到教學(xué)很難達(dá)到預(yù)期的效果，學(xué) 習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中感覺不但學(xué)起來困難吃力，而且學(xué)習(xí)的效率很低，以致容易產(chǎn)生 怕學(xué)、厭學(xué)的心理。基于上述分析，本文試圖通過以圖解的形式講解描述剛體運(yùn)動的三個歐拉角的 獲得及用其描述的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)方程的建立過程，來呈現(xiàn)歐拉運(yùn)動學(xué)方程的 圖解形式。本文第二部分為對剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的表述；第三部分為以圖解的形式呈現(xiàn)歐拉 角；第四部分為歐拉運(yùn)動學(xué)方程；第五部分為圖解過程的縮影。2. 剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動表述剛體可

6、以視為質(zhì)點(diǎn)組，但卻有著區(qū)別于一般質(zhì)點(diǎn)組的特殊性：其內(nèi)的所有質(zhì)點(diǎn) 的相對位置不論在何種情況下都保持不動，即任意兩個質(zhì)點(diǎn)之間的距離始終保持不 變。通常在三維空間中，若一個質(zhì)點(diǎn)組包含有 N個質(zhì)點(diǎn)，那么就需要3N個坐標(biāo)變量 才能確定整個質(zhì)點(diǎn)組的位形。然而，因剛體具有上述特殊性，所以無論構(gòu)成剛體質(zhì) 點(diǎn)組的質(zhì)點(diǎn)數(shù)為多少，可以獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量只有6個，即與其內(nèi)包含有的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的多少無關(guān)。換句話說，也就是若我們把描述物體運(yùn)動時獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量的 數(shù)目稱為自由度，那么一般情況（沒有任何約束）下剛體運(yùn)動的自由度為6。若受到某些約束，自由度就將更少。當(dāng)剛體運(yùn)動時，若剛體內(nèi)只有一點(diǎn)始終固定不動，整個剛體圍繞該點(diǎn)轉(zhuǎn)動

7、，則 稱為剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動。譬如，陀螺（圖1-a），安裝在萬向支架上的陀螺儀轉(zhuǎn)子（圖1-b），和錐形行 星齒輪（圖1-c）等。圖1定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的剛體由于一點(diǎn)始終固定不動（即我們說剛體受到約束），所以 6個可獨(dú)立變化的坐 標(biāo)中有3個是給定不變了，因而此時剛體可以獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量只剩下 3個，亦 即剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的自由度為3。圖1 b中，陀螺儀中轉(zhuǎn)子可以繞自身對稱軸 Oz，轉(zhuǎn)動，Oz，軸又可隨同內(nèi)環(huán)一 起繞ON軸轉(zhuǎn)動，而ON軸又可隨同外環(huán)一起繞固定軸 Oz轉(zhuǎn)動。這樣三個彼此獨(dú)立 的繞相交軸的轉(zhuǎn)動使轉(zhuǎn)子可以繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動到任何空間位置，而三軸交點(diǎn) O始終固定 不動。圖1-a和圖1-c中的陀螺、錐形行星齒輪的

8、運(yùn)動都可以做同樣的理解。由此 可知，定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的剛體在某瞬時的運(yùn)動，可視為是繞通過定點(diǎn)的某一轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動 ；但與定軸轉(zhuǎn)動不同，這一轉(zhuǎn)動軸是瞬時轉(zhuǎn)動軸，簡稱瞬軸，它在空間的取向是 隨著時間的改變而改變的。3. 歐拉角由以上可知，為了確定定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體在某一時刻的位置，可選定點(diǎn)作為坐標(biāo)原 點(diǎn)，用兩個獨(dú)立變化的坐標(biāo)變量來確定轉(zhuǎn)動軸在空間的取向，再用另一個獨(dú)立變化 的坐標(biāo)變量來確定整個剛體繞該軸線所轉(zhuǎn)過的角度。通常這三個獨(dú)立變化的坐標(biāo)變 量取為歐拉角較為方便，下面將闡明如何來定義選取三個獨(dú)立變化的歐拉角。取兩套右手正交坐標(biāo)系，其坐標(biāo)原點(diǎn)均選在固定點(diǎn)o，組是定坐標(biāo)系O ，固定在空間不動；而另一組是動坐標(biāo)系O

9、 -xyz，固連于剛體本身，隨著剛 體一起轉(zhuǎn)動（圖2）。則剛體的空間位置可以由動坐標(biāo)系相對于定坐標(biāo)系的位置來確 定9，如圖3所示。圖2.坐標(biāo)系設(shè)某瞬時，剛體處于圖3所示的位置。動坐標(biāo)平面Oxy與定坐標(biāo)平面O，的交 線，用ON表示，稱為節(jié)線。節(jié)線ON與定軸O,的夾角稱為進(jìn)動角，動軸Oz與定 軸O '的夾角二稱為章動角，節(jié)線ON與動軸Ox的夾角*稱為自轉(zhuǎn)角，這三個角合稱為歐拉角（歐勒角）。規(guī)定從軸、N、z正端看來，由軸 、N按逆鐘向量 得的角度為正，反之為負(fù)10。從圖2中可以看出：節(jié)線ON既在平面O，上也在平面Oxy上，所以它既垂直于軸 也垂直于軸z，是兩軸所構(gòu)成的平面zO的法線。因此，節(jié)

10、線ON與定軸O 的夾角這一進(jìn)動角可以用來確定平面zO的位置。當(dāng)進(jìn)動角：和動軸Oz與定軸O 的夾角r這一章動角共同確定之后，軸z連同平面Oxy的位置便確定。而動軸Ox和Oy在 平面Oxy的位置則可用節(jié)線ON與動軸Ox的夾角*這一自轉(zhuǎn)角來確定。這樣，通過圖3.歐拉角5#歐拉角（、=、*）就能唯一確定動坐標(biāo)系O-xyz相對于定坐標(biāo)系O - 的 位置，又因?yàn)閯幼鴺?biāo)系O - xyz和剛體固連，所以也就確定了剛體的位置。進(jìn)動角、章動角二和自轉(zhuǎn)角 < 是彼此獨(dú)立的，當(dāng)剛體運(yùn)動時，、二、< 一般 都隨著時間t改變而改變，是時間t的單值連續(xù)函數(shù)，可寫為=fi（t）， - = f2（t），f3（t）（

11、 1-1 ）這一組方程就是剛體定點(diǎn)運(yùn)動的運(yùn)動學(xué)方程11。假定在初瞬時動坐標(biāo)系O-xyz與定坐標(biāo)系O - 重合（圖4）,則可通過如下 三次轉(zhuǎn)動而達(dá)到圖3的任意位置。3. 1進(jìn)動角 角度®。于是X軸同©軸分開，到達(dá)另一個位置（即ON位置）；y軸同H軸分開，到 達(dá)另一個位置；但因是繞與z軸重合的軸轉(zhuǎn)動，所以z軸同軸仍舊重合在一起， 如圖5所示。3. 2章動角在上面進(jìn)動角的基礎(chǔ)上，令動坐標(biāo)系O 一 xyz繞著Ox （即ON ）轉(zhuǎn)過一個角度二。于是z軸同 軸分開，到達(dá)另一個位置；y軸再轉(zhuǎn)動到另一個位置，如圖6所示。這時z軸與 軸的夾角是,動坐標(biāo)系O xyz與定坐標(biāo)系O 一 -的夾角亦

12、是03. 3自轉(zhuǎn)角在圖6的基礎(chǔ)上，再令動坐標(biāo)系O xyz繞著自身z軸轉(zhuǎn)過一個角度。于是Ox 同ON （原來位置）分開，Oy再轉(zhuǎn)動到另一位置。這時，剛體便轉(zhuǎn)動到我們所需要 的位置，如圖3中的位置。若要得到剛體可能具有的其他各種位形， 只需要在下列區(qū)間內(nèi)改變、的 數(shù)值：0冬乞2冗,0 v n，0叮一：乞2n歐拉角的這種取法并不是唯一的，在陀螺儀實(shí)用理論中，可根據(jù)具體結(jié)構(gòu)和裝 置情況，選取不同的歐拉角度系統(tǒng)，這里的取法是古典的或稱古典歐拉角11 04. 歐拉運(yùn)動學(xué)方程因?yàn)榻撬俣仁且粋€矢量，所以它符合一般的矢量的運(yùn)算法則，如合成和分解等。 現(xiàn)在來求剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度。為便于更好地理解接下來所要作的

13、分析推理,首先在圖3中依次標(biāo)出剛體在進(jìn)動角度后動軸x和y所到達(dá)的位置為Ox，（亦 即ON的位置）和Oy，在章動二角度后動軸y所到達(dá)的位置為Oy”，如圖8所示； 并分別設(shè)定沿動坐標(biāo)系x、y、z軸的單位矢量為i、j、k，沿定坐標(biāo)系乙圖9.角速度的分解（一）圖8.角速度方向的確定軸的單位矢量為q、e2、e3;而沿軸ON、Oy 和0y“的單位矢量則分別為i1 > j1和 j2 0圖中剛體的角速度分解為各個歐拉角速度的矢量和表為e3 九汴 k（ 1-2）若把，向動坐標(biāo)系0 xyz各軸分解，則可表為；.-? ： ；.-;x 亠心 y 亠心= J 亠Cyj 亠fk（ 1-3）而由幾何關(guān)系可知： ：可沿

14、x、y、z三個軸分解，但在這里，由于0,與Ox和Oy之間的夾角不 容易確定，所以我們先將其分解到 z軸和Oy”軸上（因?yàn)镺z、O'、Oy”同在一平 面，且Oz與Oy “垂直），如圖9。則有G 二 cos 亠。sin 可2然后再把Oy軸上的分量分解到Ox和Oy上，即卩sin 耳2sin vsin'- i sin vcos' j最終得：e = ®sin 日 sin即i -sin 日 cosFcosk 由于ON與Oz垂直，因此匚只能沿x軸和y軸分解，而在z軸上沒有分量，即h - vcos'-i -)sin'- j 而t沿著z軸，故在x軸和y軸上沒有分

15、量。集合：、二廣在x、y、z軸上的各個分量，并聯(lián)立式(1-3)，得xi'yj 九 訃 = sin，sin 'isin cos j cosk cos i -)sin - j ' k= ( sin sin-vcos'- )i ( sincos- - sin'- )j ( :cosv ' )k由此我們便得到用歐拉角及其對時間的微商來表示角速度沿動坐標(biāo)系的x、y、z各軸的投影的歐拉運(yùn)動學(xué)方程:國x=®s in日si nW +日8訓(xùn)(1-4)y = sin 寸 cos'- 丁 sin'* z cos -亠或以矩陣式表示為:sin

16、- sin'- si n日cos即 cos日(1-5)剛體的角速度同樣也可以向定坐標(biāo)系 o -的、各軸進(jìn)行分解:7#_ $ 亠心亍?亠1 “ e#:沿著軸，故在軸和 上沒有分量。由于ON與Oz垂直，因此T只能沿 軸 和.軸分解，即v h - v cos G v sin e2而廠則可沿>、各軸分解，但是Oz與O,和0之間的夾角不容易確定，所以我們先將其分解到軸和Oy，軸上（因?yàn)镺y，、Oy”、O 、Oz、在同一平面內(nèi)，且Oy 與O垂直），如圖10。便有圖10.角速度分解（二）8#屮k =屮cos呃+申sinj然后把廣在Oy 軸上的分量沿軸和 軸分解，即即sin切=屮sin日sin一

17、即sin日cosa最后便得到匚在各個軸的矢量和：k sin sin 6 sin 二 cos e2cosd至此便得到用歐拉角及其對時間的微商來表示角速度沿定坐標(biāo)系的>、各軸的投影的表示式：.© =日cos +屮sin日sin中©risin-即 sinTcos®（1_6）灼 f +W cos日=Ccos -：sin0sin r sin -：(1-7)-sin cos ;：cos-#5.圖解縮影至此，可以把總的過程簡縮為一個圖解流程鏈路，如下所示。功坐標(biāo)丟與走坐標(biāo)衆(zhòng)空臺G章動角定義：.（Z，） 定義域：0 _十：二 萬的方向：節(jié)線ON 可確定對象：自轉(zhuǎn)軸進(jìn)動角定義

18、：（ON,） 定義域：0 _ _2二的方向：進(jìn)動軸' 可確定對象：自轉(zhuǎn)軸定坐縣兩論如柚坤轉(zhuǎn)動>自轉(zhuǎn)角定義：N（x，ON 定義域：0蘭®蘭2兀 g的方向：自轉(zhuǎn)軸Z 可確定對象： 自轉(zhuǎn)角度丿10甬速貫上在定坐標(biāo)系的投黑角速悽6在動坐標(biāo)系的投翱角 速 度投11#二二 xj fj 7"zkio =國三+切沖十豹” =co金 +豹怡2 +豹“e3# x =®si nsi+ 日 cos1y = sin)cos - v sin上二 cos-怕產(chǎn)=0 cos® + 即 sin 9 sin 心q =日 sin ® -即 sin 日 cos®

19、; 豹:；=W +W cos日#或sin sinsin 二 cos'-costcos'-s in '00101 $o0膽JCOS ；：sin 0sin sin :-sin v cos ':cost#6.結(jié)論本文以圖解的形式呈現(xiàn)了描述定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的三個獨(dú)立變量（歐拉角）及用其 表示的歐拉運(yùn)動學(xué)方程；并對陳洛恩老師的課件作一定的修改。在一定程度上使復(fù) 雜的問題得到簡化分步，空間描述達(dá)到立體直觀，大大地削弱了間接抽象感。把直 觀的圖解應(yīng)用于教學(xué)中，對提高學(xué)習(xí)者的空間思維能力，激發(fā)學(xué)習(xí)者的創(chuàng)新能力有 一定的幫助。致謝論文寫作過程中很是得到楊春艷老師的關(guān)心、指導(dǎo)和幫助，在

20、此表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)：1 A . n.馬爾契夫.李俊峰譯.理論力學(xué)M.高等教育出版社，2006.2 周衍柏.理論力學(xué)教程M.高等教育出版社,2009 .3 彭芳麟.“圖解”數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)實(shí)踐J.物理，2007, ( 02).4 趙宗杰.質(zhì)點(diǎn)外彈道運(yùn)動規(guī)律的虛擬實(shí)驗(yàn)的研究J.中北大學(xué)，2008.王峰、李秀芬、王小容等.Matlab在求解質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題中的應(yīng)用J.江內(nèi)科技(高校論壇)，2008, (6). 孫美娟，韓修林空氣阻力與地球自轉(zhuǎn)影響下自由落體的運(yùn)動J.宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，2010, 25(8) .7 同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(上冊)M.同濟(jì)大學(xué)出版社.8 周衍柏.理論力學(xué)教程M.高等教育出版社,2009.9 周衍柏.理論力學(xué)教程M.高等教育出版社,2009.10 郭應(yīng)征，周志紅.理論力學(xué) M.清華大學(xué)出版社.11 同濟(jì)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(上冊)M.同濟(jì)大學(xué)出版社.12 肖尚斌，董秋泉.陀螺力學(xué)M.人民教育出版社.Graphic rigid body mechanicsEuler kinematic eq