課時作業(yè)(四十二)　空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用

1、課時作業(yè)(四十二)空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用1已知 a(2，1，3)，b(1，2，1)，若 a(ab)，則實(shí)數(shù)的值為()A2B143C145D2D因?yàn)?ab(2，12，3)，由 a(ab)得2(2)12930，解得2.2設(shè)直線 l 的方向向量為(1，1，1)，平面的一個法向量為(1，1，1)，則直線 l與平面的位置關(guān)系是()AlBlClD不確定C因?yàn)橹本€ l 的方向向量為(1，1，1)，平面的一個法向量為(1，1，1)，顯然它們共線，所以直線 l 與平面的位置關(guān)系是垂直即 l.3(多選)若 a，b，c 不共面，則()Abc，bc，a 共面Bbc，bc，2b 共面Cbc，a，abc 共面Dac，a2c

2、，c 共面BCD2b(bc)(bc)，bc，bc，2b 共面，故 B 正確；abc(bc)a，bc，a，abc 共面，故 C 正確；ac(a2c)3c，ac，a2c，c 共面，故 D 正確對于 A 選項(xiàng)，若設(shè) bc(bc) a，則 bcbc a 得110，故無解，因此 bc，bc，a 不共面故選 BCD.4已知四邊形 ABCD 滿足： ABBC0， BCCD0， CDDA0， DAAB0，則該四邊形為()A平行四邊形B梯形C長方形D空間四邊形D由ABBC0， BCCD0， CDDA0， DAAB0，知該四邊形一定不是平面圖形5 (多選)在正方體 ABCDA1B1C1D1中， 給出以下向量表達(dá)式

3、， 其中能夠化簡為向量 BD1的是()A(A1D1A1A)ABB(BCBB1)D1C1C(ADAB)2DD1D(B1D1A1A)DD1ABA 項(xiàng)，(A1D1A1A)ABAD1ABBD1；B 項(xiàng)，(BCBB1)D1C1BC1D1C1BD1；C 項(xiàng)，(ADAB)2DD1BD2DD1BD1；D 項(xiàng)，(B1D1A1A)DD1B1DDD1B1D1BD1綜上，AB 符合題意故選 AB.6已知向量 a(0，1，1)，b(4，1，0)，|ab| 29 且0，則_解析：a(0，1，1)，b(4，1，0)，所以ab(4，1，)，所以 16(1)2229(0)，解得3.答案：37.(2020煙臺模擬)三棱柱 ABC

4、A1B1C1中，M，N 分別是 A1B，B1C1上的點(diǎn)， 且 BM2A1M， C1N2B1N.設(shè)ABa， ACb， AA1c.(1)用 a，b，c 表示向量MN為_；(2)若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，則 MN 的長為_解析：(1)由題圖知MNMA1A1B1B1N13BA1AB13B1C113(ca)a13(ba)13a13b13c.(2)由題設(shè)條件因?yàn)?abc)2a2b2c22ab2bc2ac111021112211125，所以|abc| 5 ，|MN|13|abc|53.答案：(1)13a13b13c(2)538已知點(diǎn) P 是平行四邊形所在的平面外一點(diǎn)，如果AB(2

5、，1，4)，AD(4，2，0)，AP(1，2，1).對于下列結(jié)論：APAB；APAD；AP是平面 ABCD 的法向量；APBD.其中正確的是_解析：因?yàn)锳BAP0， ADAP0，所以 ABAP，ADAP，則正確；又AB與AD不平行，所以AP是平面 ABCD 的法向量，則正確；因?yàn)锽DADAB(2，3，4)，AP(1，2，1)，所以BD與AP不平行，故錯答案：9已知空間中三點(diǎn) A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，設(shè)向量 aAB，bAC.(1)若|c|3，且 cBC，求向量 c；(2)求向量 a 與向量 b 的夾角的余弦值；(3)若 kab 與 ka2b 互相垂直，求實(shí)數(shù) k 的

6、值解析：(1)cBC，BC(3，0，4)(1，1，2)(2，1，2)，cmBCm(2，1，2)(2m，m，2m).于是|c| （2m）2（m）2（2m）23|m|3，即 m1.故 c(2，1，2)或 c(2，1，2).(2)a(1，1，0)，b(1，0，2)，ab(1，1，0)(1，0，2)1，又|a| 121202 2 ，|b| （1）20222 5 ，cos a，bab|a|b|1101010，即向量 a 與向量 b 的夾角的余弦值為1010.(3)法一：kab(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且 kab 與 ka2b 互相垂直，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k

7、280.解得 k2 或 k52.故當(dāng) kab 與 ka2b 互相垂直時，實(shí)數(shù) k 的值為 2 或52.法二：由(2)知|a| 2 ，|b| 5 ，ab1，(kab)(ka2b)k2a2kab2b22k2k100，解得 k2 或 k52.10.如圖所示， 已知空間四邊形 ABCD 的各邊和對角線的長都等于a，點(diǎn) M，N 分別是 AB，CD 的中點(diǎn)(1)求證：MNAB，MNCD；(2)求 MN 的長解析：(1)證明：設(shè)ABp，ACq，ADr.由題意可知，|p|q|r|a，且 p，q，r 三向量兩兩夾角均為 60.MNANAM12(ACAD)12AB12(qrp)，所以MNAB12(qrp)p12(

8、qprpp2)12(a2cos 60a2cos 60a2)0.所以MNAB.即 MNAB.同理可證 MNCD.(2)由(1)可知MN12(qrp)，所以|MN|214(qrp)214q2r2p22(qrpqrp)14a2a2a22a22a22a22142a2a22.所以|MN|22A所以 MN 的長為22A11 (多選)(2020全國高二課時練習(xí))設(shè)幾何體 ABCDA1B1C1D1是棱長為 a 的正方體， A1C與 B1D 相交于點(diǎn) O，則()AA1B1ACa2B ABA1C 2 a2C CDAB1a2D ABA1O12aAC如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A(a，0，0)，B(a，a，0)，C

9、(0，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，Oa2，a2，a2，A1B1(0，a，0)，AC(a，a，0)，AB(0，a，0)，A1C(a，a，a)，CD(0，a，0)，AB1(0，a，a)，A1Oa2，a2，a2.A1B1ACa2，A 正確； ABA1Ca2，B 錯誤；CDAB1a2，C 正確； ABA1O12a2，D 錯誤故選 AC.12已知 O(0，0，0)，A(1，2，1)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，點(diǎn) Q 在直線 OP 上運(yùn)動，當(dāng)QAQB取最小值時，點(diǎn) Q 的坐標(biāo)是_解析：由題意，設(shè)OQOP，則OQ(，2)，即 Q(，2)，則QA(1，2，12

10、)，QB(2，1，22)，QAQB(1)(2)(2)(1)(12)(22)621266(1)2，當(dāng)1 時取最小值，此時 Q 點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1，2).答案：(1，1，2)13在四棱錐 PABCD 中，PD底面 ABCD，底面 ABCD 為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是 AB，PB 的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)在平面 PAD 內(nèi)是否存在一點(diǎn) G，使 GF平面 PCB？若存在，求出點(diǎn) G 的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由解析：(1)證明：由題意知，DA，DC，DP 兩兩垂直如圖，以 DA，DC，DP 所在直線分別為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ADa，則 D(0，0，0)，A(a

11、，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E(a，a2，0)，P(0，0，a)，F(xiàn)(a2，a2，a2)，EF(a2，0，a2)，DC(0，a，0).因?yàn)镋FDC0，所以EFDC，從而得 EFCD.(2)存在理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn) G，設(shè) G(x，0，z)，則FG(xa2，a2，za2).若使 GF平面 PCB，則由FGCB(xa2，a2，za2)(a，0，0)a(xa2)0，得 xa2；由FGCP(xa2，a2，za2)(0，a，a)a22a(za2)0，得 z0.所以 G 點(diǎn)坐標(biāo)為(a2，0，0).故存在滿足條件的點(diǎn) G，且點(diǎn) G 為 AD 的中點(diǎn)14已知空間任意一點(diǎn) O 和不

12、共線的三點(diǎn) A，B，C，若OPxOAyOBzOC(x，y，zR)，則“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四點(diǎn)共面”的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件B當(dāng) x2，y3，z2 時，即OP2OA3OB2OC.則APAO2OA3(ABAO)2(ACAO)，即AP3AB2AC，根據(jù)共面向量定理知，P，A，B，C 四點(diǎn)共面； 反之， 當(dāng) P， A， B， C 四點(diǎn)共面時， 根據(jù)共面向量定理， 設(shè)APmABnAC(m，nR)，即OPOAm(OBOA)n(OCOA)，即OP(1mn)OAmOBnOC，即 x1mn，ym，zn，這組數(shù)顯然不止 2，3，2.故“x2，y3，z2”是“P，A，B，C 四點(diǎn)共面”的充分不必要條件故選 B.15.如圖，已知空間四邊形 OABC，其對角線為 OB，AC