初一數學競賽教程含例題練習及答案⑼(免費)

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載初一數學競賽講座第 9 講 應用問題選講我們知道，數學是一門基礎學科。 我們在學校中學習數學的目的， 一方面是為學習其它學科和學習更深的數學知識打下一個基礎， 更重要的是為了現在和將來運用所學的數學知識去解決一些日常生活、 科學實驗、工農業(yè)生產以及經濟活動中所遇到的實際問題。運用數學知識解決實際問題的基本思路是： 先將這個實際問題轉化為一個數學問題（我們稱之為建立數學模型），然后解答這個數學問題，從而解決這個實際問題。即：這里，建立數學模型是關鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學過的數學知識、 數學方法聯(lián)系起來， 將其歸結到某一類型的數學問題， 然后解答這個數

2、學問題。下面介紹一些典型的數學模型。一、兩個量變化時，和一定的問題兩個變化著的量， 如果在變化的過程中， 它們的和始終保持不變， 那么它們的差與積之間有什么關系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量， 如果在變化的過程中， 和始終保持不變， 那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當它們相等時，積最大。這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例 1 農民叔叔阿根想用 20 塊長 2 米、寬 1.2 米的金屬網建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于 2 米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應是多少？解：如上圖，設長方形的長和寬分別為x 米和

3、 y 米，則有優(yōu)秀學習資料歡迎下載x2y 1.2 ×2024。長方形的面積為因為 x 和 2y 的和等于 24 是一個定值，故它們的乘積當它們相等時最大， 此時長方形面積 S 也最大。于是有x=12， y 6。例 2 如果將進貨單價為 40 元的商品按 50 元售出，那么每個的利潤是 10 元，但只能賣出 500 個。當這種商品每個漲價 1 元時，其銷售量就減少 10 個。為了賺得最多的利潤，售價應定為多少？解：設每個商品售價為（ 50+x）元，則銷量為（ 500-10X）個?？偣部梢垣@利 :（50x-40 ）×（ 500-10x ）=10×（ 10+X）

4、5;（ 50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60 為一定值，故當 10+X=50 X 即 X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為5020=70（元）。例 3 若一個長方體的表面積為 54 厘米 2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？解：設長、寬、高分別為 x， y， z 厘米，體積為 V 厘米 3。2（xy yz+zx）=54，xy yz+zx=27。因為 V2=（ xyz ）2=（xy ）（ yz ）（ zx），故當 xy=yz=zx 即 x=y=z=3 時， V2 有最大值，從而 V 也有最大值。例 4 有一塊長 24 厘米的正方形厚紙片，在它的四

5、個角各剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒， 現在要使做成的紙盒容積最大， 剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？解：如上圖，設剪去的小正方形的邊長為 x 厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x ）（ 24-2x ）=2 ×2x（12-x ）（ 12-x ）。因為 2x+（12-x ）+（12-x ）=24是一個定值，故當2x=12-x 12-x ，即 x=4 時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。二、兩個量變化時，積一定的問題兩個變化著的量， 如果在變化的過程中， 它們的乘積始終保持不變， 那么它們的差與和之間有什么關系呢？觀察下面的表：優(yōu)秀學習資料歡迎下載我們不難得出如下的規(guī)律：

6、兩個變化著的量， 如果在變化的過程中， 乘積始終保持不變， 那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當它們相等時，和最小。例 5 長方形的面積為 144 cm2，當它的長和寬分別為多少時， 它的周長最短？解：設長方形的長和寬分別為 xcm 和 ycm，則有xy 144。故當 x=y=12 時， x+y 有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值。例 6 用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm，長3方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設長方體的長、寬、高分別為 xcm，ycm，zcm，則有 xyz 216。鐵絲長度的和為 4 （x y z ），故

7、當 x y=z6 時，所用鐵絲最短。例 7 農場計劃挖一個面積為 432 m2 的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側分別有3m和 4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應為多少？解：如圖所示，設水池的長和寬分別為 xm和 ym，則有xy 432。占地總面積為 S=（x6）（ y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y × 8X=48× 432 為一定值，故當6y=8X 時， S 最小，此時有6y=8X=144，故 y=24，x=18。例 8 某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張240 元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。

8、某班有 48 名學生，老師打算組織學生集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外， 每次游泳還需包一輛汽車， 無論乘坐多少名學生，每次的包車費均為 40 元。若要使每個同學游 8 次，每人最少交多少錢？解：設一共買了 X 張卡，一共去游泳 y 次，則共有 Xy=48× 8=384（人次），總用費為（ 240x40y）元。因為 240x ×40y=240× 40×384 是一定值，故當 240x=40y ，即 y=6x 時，和最小。易求得 x=8，y=48。此時總用費為240×840×48=3840（元），平均每人最少交3840 ÷

9、48=80（元）。三、利用不等關系來解答的應用題例 9 某公司在 A，B 兩地分別庫存有某機器 16 臺和 12 臺，現要運往甲、乙兩家客戶的所在地， 其中甲方 15 臺，乙方 13 臺。已知從 A 地運一臺到甲方的運優(yōu)秀學習資料歡迎下載費為 500 元，到乙方的運費為 400 元，從 B 地運一臺到甲方的運費為 300 元，到乙方的運費為 600 元。已知運費由公司承擔， 公司應設計怎樣的調運方案， 才能使這些機器的總運費最省？解：設由 A 地運往甲方 x 臺，則 A 地運往乙方（ 16-x ）臺，B 地運往甲方（15-x ）臺， B 地運往乙方（ x 3）臺。于是總運價為：S=500x+4

10、00（16-x ） 300（15-x ）+600（x-3 ） 400x+9100。顯然， x 要滿足不等式 3x15，于是當 x=3 時，總運價最省，為 400 × 3 9100=10300（元）。調運方案為：由A 地運往甲方 3 臺， A 地運往乙方 13 臺， B 地運往甲方 12臺， B 地運往乙方 0 臺。例 10 某校決定出版“作文集”，費用是30 冊以內為 80 元，超過 30 冊的每冊增加 1.20 元。當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50 元以內？解：顯然印刷的冊數應該大于30。設印刷了（ 30x）冊，于是總用費為（ 80+1.2x ）元。故有80+1.2x 1.5

11、 ×（ 30+x），以內。例 11 現有三種合金：第一種含銅 60，含錳 40；第二種含錳 10，含鎳 90；第三種含銅 20，含錳 50，含鎳 30?，F各取適當數量的這三種合金，組成一塊含鎳 45的新合金，重量為 1 千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設第一種合金用量為 x 千克，第二種合金用量為 y 千克，第三種合金用量為 z 千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得 y=0.25 。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y 0.5 。新合金中第二種合金的重

12、量范圍是0.25 克到 0.5 克。（2）由可得 z1.5-3y ，x=2y0.5 。故新合金中含錳的重量為S40 x+10y+50z=40（ 2y-0.5 ） 10 y 50（ 1.5-3y ） 0.55-0.6y 。因為 0.25 y 0.5 ，所以 0.25 S0.4 ，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4 克。例 12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100 個，每個由三根長為2.3米、 1.7 米、 1.3 米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為 6.3 米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計損耗）？優(yōu)秀學習資料歡迎下載解：每根原材料的切割有

13、下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42 根、 14根、29 根、 1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根，共用原材料 42 14291=86（根）。練習 91銷售某種西服， 當每件售價為 100 元時可售出 1000 件。如果定價每下降1，那么銷售量將提高0.5 ，又知道這批西服是每件80 元成本購進的。問：應如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為 4m2 的窗戶，當 ab 的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最省？3有一個長為 80cm、寬為 40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是

14、多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為 64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的 2 倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時， 造價最省？5A 城有化肥 200 噸，B 城有化肥 300 噸，現要將化肥運往 C，D 兩村。已知從 A 城運往 C，D兩村的運價分別是每噸 20 元和 25 元，從 B 城運往 C，D 兩村的運價分別是每噸 15 元和 22 元。某個體戶承包了這項運輸任務， 請你幫他算一算，如何調運才能使運費最?。?有兩個學生參加 4 次數學測驗，他們的平均分數不同，但都是低于 90 分的整數。他們又參加了第 5 次測驗，這樣 5 次的平均分數都提高到了

15、90 分，求第 5 次測驗二人的得分（滿分為 100 分）。7某機械廠要把一批長 7300 毫米的鋼筋截成長 290 毫米、 210 毫米和 150 毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子。 現在做 100 套鋼筋架子，至少要用去長為 7300 毫米的鋼筋多少根？優(yōu)秀學習資料歡迎下載8下表所示為 X，Y，Z 三種食品原料的維生素含量（單位：單位 / 千克）及成本：現在要將三種食物混合成 100 千克的混合物，要求混合物至少需含 44000 單位的維生素 A 及 48000 單位的維生素 B0 如果所用的食物中 x，Y，Z 的重量依次為 X 千克、 y 千克、 Z 千克，那么請定出 X，y， Z 的值

16、，使得成本為最少。練習 9 答案：1.91 元。解：設定價為每件（ 100-x）元，則銷售量為1000（ 1+0.5x）件。利潤為（100-x-80）× 1000（ 1+0.5x）=500×（ 20-x）（ 2+x）。因為（ 20-x） +（ 2+x）=22 為一定值，故當20-x=2+x 即 x=9 時利潤最高。此時每件定價為100-9=91（元）。2.23。解：窗戶的框架長為 3a+2b，而 ab=4 是一個定值，從而 3a×2b=6ab=24也是一個定值，故當 3a=2b 即 ab=2 3 時窗戶框架所用材料最省。3.32000cm解：設木盒的長、寬、高分別

17、為xcm，ycm，zcm，則它的容積為 V=xyzcm 3。因為xy+2xz+2yz=40×80=3200為一定值，故它們的積xy×2xz× 2yz=4（ xyz） 2=4V2，在 xy=2xz=2yz 時最大，從而 V 也最大，此時有 x=y=2z。經計算得 x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（ 40cm×40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm×40 cm 大小的四等份，每份作為木盒的一個側面就可以了。4.11。解：設四壁的造價是 a 元 /m2，則底面造價為 2a 元/m 2。又設其底面邊長為

18、 xm，高為 ym，則有x2y=64000?？傇靸r為a× 4xy+2a × x2=2a（2xy+x 2）=2a（xy+xy+x 2）。因為 xy×xy ×x2=（x2y）2=640002 為一定值，故當 xy=xy=x 2 即 xy=1 1 時，總造價最省。5.解：設 A 城化肥運往 C 村 x 噸，則運往 D 村（ 200-x）噸； B 城化肥運往 C 村（ 220-x）噸，運往 D 村（ 80+x）噸，總運費 y 元，則y=20x+25（ 200-x）+15（220-x） +22（80+x）優(yōu)秀學習資料歡迎下載=2x+10060。又易知 0x200，故當 x=0 時，運費最省，為10060 元。運輸方案如下： A 城化肥運往 C 村 0 噸，運往 D 村 200 噸；B 城化肥運往 C村 220 噸，運往 D 村 80 噸。6.98， 94。解：設某一學生前 4 次的平均分為 x 分，第 5 次的得分為 y 分，則其 5 次總分為4x+y=5×90=450。于是 y=450-4x。顯然 90