高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.2兩條直線的位置關(guān)系課件理北師大版

1、9.2兩條直線的位置關(guān)系第九章平面解析幾何基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.兩條直線的位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行：()對(duì)于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1l2 .()當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時(shí)，l1l2.兩條直線垂直：()如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1l2 .()當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，l1l2.知識(shí)梳理k1k2k1k21(2)兩條直線的交點(diǎn)直線l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，則l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組

2、的解.2.幾種距離(1)兩點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之間的距離|p1p2| .(2)點(diǎn)p0(x0，y0)到直線l：axbyc0的距離d .(3)兩條平行線axbyc10與axbyc20(其中c1c2)間的距離d .1.直線系方程(1)與直線axbyc0平行的直線系方程是axbym0(mr且mc).(2)與直線axbyc0垂直的直線系方程是bxayn0(nr).2.兩直線平行或重合的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc20平行或重合的充要條件是 .【知識(shí)拓展】a1b2a2b103.兩直線垂直的充要條件直線l1：a1xb1yc10與直線l2：a2xb2yc2

3、0垂直的充要條件是 .4.過(guò)直線l1：a1xb1yc10與l2：a2xb2yc20的交點(diǎn)的直線系方程為a1xb1yc1(a2xb2yc2)0(r)，但不包括l2.5.點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件(1)求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式.(2)求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.a1a2b1b20題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時(shí)，一定有k1k2l1l2.()(2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定為1.()(3)已知直線l1：a1xb1yc10，l2：

4、a2xb2yc20(a1，b1，c1，a2，b2，c2為常數(shù))，若直線l1l2，則a1a2b1b20.()基礎(chǔ)自測(cè)123456(4)點(diǎn)p(x0，y0)到直線ykxb的距離為 .()(5)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.()(6)若點(diǎn)a，b關(guān)于直線l：ykxb(k0)對(duì)稱，則直線ab的斜率等于 ，且線段ab的中點(diǎn)在直線l上.()123456題組二教材改編題組二教材改編2.已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線l：xy30的距離為1，則a等于 解析答案1234563.已知p(2，m)，q(m,4)，且直線pq垂直于直線xy10，則m .解析123456答案1所以m42m，所以m1.

5、題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾4.(2017鄭州調(diào)研)直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，則m等于 a.2 b.3 c.2或3 d.2或3解析解析直線2x(m1)y40與直線mx3y20平行，解析123456答案5.直線2x2y10，xy20之間的距離是 .解析答案1234566.若直線(3a2)x(14a)y80與(5a2)x(a4)y70垂直，則a .解析0或1答案解析解析由兩直線垂直的充要條件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.123456題型分類深度剖析典例典例 (2018青島模擬)已知兩條直線l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求滿足下列條件

6、的a，b的值.(1)l1l2，且l1過(guò)點(diǎn)(3，1)；題型一兩條直線的位置關(guān)系師生共研師生共研解答解解由已知可得l2的斜率存在，且k21a.若k20，則1a0，a1.l1l2，直線l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，k20，即k1，k2都存在且不為0.又l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，3ab40. (*)由(*)(*)聯(lián)立，解得a2，b2.(2)l1l2，且坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等.解答解解l2的斜率存在，l1l2，又坐標(biāo)原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等，且l1l2，(1)當(dāng)直線方程中存在字母參數(shù)時(shí)，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況.同時(shí)還要注意x，y的系數(shù)不

7、能同時(shí)為零這一隱含條件.(2)在判斷兩直線平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 已知直線l1：ax2y60和直線l2：x(a1)ya210.(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；解答解解方法一當(dāng)a1時(shí)，l1：x2y60，l2：x0，l1不平行于l2；當(dāng)a0時(shí)，l1：y3，l2：xy10，l1不平行于l2；綜上可知，當(dāng)a1時(shí)，l1l2.方法二由a1b2a2b10，得a(a1)120，由a1c2a2c10，得a(a21)160，故當(dāng)a1時(shí)，l1l2.(2)當(dāng)l1l2時(shí)，求a的值.解答解解方法一當(dāng)a1時(shí)，l1：x2y60，l2：x0，l1與l2不垂直，

8、故a1不成立；當(dāng)a0時(shí)，l1：y3，l2：xy10，l1不垂直于l2，故a0不成立；當(dāng)a1且a0時(shí)，解析答案題型二兩直線的交點(diǎn)與距離問(wèn)題自主演練自主演練而直線方程ykx2k1可變形為y1k(x2)，表示這是一條過(guò)定點(diǎn)p(2,1)，斜率為k的動(dòng)直線.兩直線的交點(diǎn)在第一象限，兩直線的交點(diǎn)必在線段ab上(不包括端點(diǎn))，動(dòng)直線的斜率k需滿足kp akkpb.2.若直線l過(guò)點(diǎn)p(1,2)且到點(diǎn)a(2,3)和點(diǎn)b(4,5)的距離相等，則直線l的方程為 .解析x3y50或x1答案解析解析方法一當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y2k(x1)，即kxyk20.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x1，也

9、符合題意.即x3y50.當(dāng)l過(guò)ab的中點(diǎn)時(shí)，ab的中點(diǎn)為(1,4).直線l的方程為x1.故所求直線l的方程為x3y50或x1.(1)求過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：點(diǎn)p(x0，y0)到直線xa的距離d|x0a|，到直線yb的距離d|y0b|；兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x，y的系數(shù)化為相等.思維升華思維升華解析題型三對(duì)稱問(wèn)題多維探究多維探究解析解析設(shè)l1與l的交點(diǎn)為a(a,82a)，則由題意知，點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱點(diǎn)b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)a(4,0)在直線l

10、上，所以直線l的方程為x4y40.命題點(diǎn)命題點(diǎn)1點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱典例典例 過(guò)點(diǎn)p(0,1)作直線l，使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)p平分，則直線l的方程為 .x4y40答案命題點(diǎn)命題點(diǎn)2點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱典例典例 如圖，已知a(4,0)，b(0,4)，從點(diǎn)p(2,0)射出的光線經(jīng)直線ab反射后再射到直線ob上，最后經(jīng)直線ob反射后又回到p點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程是 解析答案解析解析直線ab的方程為xy4，點(diǎn)p(2,0)關(guān)于直線ab的對(duì)稱點(diǎn)為d(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為c(2,0)，命題點(diǎn)命題點(diǎn)3直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)

11、題典例典例 已知直線l：2x3y10，求直線m：3x2y60關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m的方程.解答解解在直線m上任取一點(diǎn)，如m(2,0)，則m(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)m必在直線m上.設(shè)對(duì)稱點(diǎn)m(a，b)，得n(4,3).又直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)n(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.解決對(duì)稱問(wèn)題的方法(1)中心對(duì)稱思維升華思維升華直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.(2)軸對(duì)稱直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 已知直線l：3xy30，求：(1)點(diǎn)p(4,5)關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)；解答解解設(shè)p(x，y)關(guān)于直線l：3xy30的對(duì)稱點(diǎn)為p(x，

12、y)，又pp的中點(diǎn)在直線3xy30上，把x4，y5代入得x2，y7，點(diǎn)p(4,5)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,7).(2)直線xy20關(guān)于直線l對(duì)稱的直線方程；解答解解用分別代換xy20中的x，y，化簡(jiǎn)得7xy220.(3)直線l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線.解答解解在直線l：3xy30上取點(diǎn)m(0,3)，關(guān)于(1,2)的對(duì)稱點(diǎn)m(x，y)，l關(guān)于(1,2)的對(duì)稱直線平行于l，k3，對(duì)稱直線方程為y13(x2)，即3xy50.妙用直線系求直線方程思想方法思想方法思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答一、平行直線系一、平行直線系由于兩直線平行，它們的斜率相等或它們的斜率都不存在，因此兩直線平行時(shí)，它們的一次項(xiàng)系

13、數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有必然的聯(lián)系.典例典例1 求與直線3x4y10平行且過(guò)點(diǎn)(1,2)的直線l的方程.思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 因?yàn)樗笾本€與3x4y10平行，因此，可設(shè)該直線方程為3x4yc0(c1).規(guī)范解答規(guī)范解答解解由題意，設(shè)所求直線方程為3x4yc0(c1)，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直線方程為3x4y110.思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答二、垂直直線系二、垂直直線系由于直線a1xb1yc10與a2xb2yc20垂直的充要條件為a1a2b1b20.因此，當(dāng)兩直線垂直時(shí)，它們的一次項(xiàng)系數(shù)有必然的聯(lián)系.可以考慮用直線系方程求解.典例典例2 求經(jīng)過(guò)a(2,1)，且與直線

14、2xy100垂直的直線l的方程.思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 依據(jù)兩直線垂直的特征設(shè)出方程，再由待定系數(shù)法求解.規(guī)范解答規(guī)范解答解解因?yàn)樗笾本€與直線2xy100垂直，所以設(shè)該直線方程為x2yc10，又直線過(guò)點(diǎn)a(2,1)，所以有221c10，解得c10，即所求直線方程為x2y0.思想方法指導(dǎo)三、過(guò)直線交點(diǎn)的直線系三、過(guò)直線交點(diǎn)的直線系典例典例3 (2017湖南東部十校聯(lián)考)經(jīng)過(guò)兩條直線2x3y10和x3y40的交點(diǎn)，并且垂直于直線3x4y70的直線方程為 .思想方法指導(dǎo)思想方法指導(dǎo) 可分別求出直線l1與l2的交點(diǎn)及直線l的斜率k，直接寫出方程；也可以根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)出所求方程，再把交點(diǎn)坐標(biāo)代入求解

15、；又可以利用過(guò)交點(diǎn)的直線系方程設(shè)直線方程，再用待定系數(shù)法求解.解析答案4x3y90所求直線與直線3x4y70垂直，即4x3y90.代入4x3ym0，得m9，故所求直線方程為4x3y90.方法三由題意可設(shè)所求直線方程為(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y140， 又所求直線與直線3x4y70垂直，3(2)4(33)0，2，代入式得所求直線方程為4x3y90.方法二由垂直關(guān)系可設(shè)所求直線方程為4x3ym0，課時(shí)作業(yè)1.直線2xym0和x2yn0的位置關(guān)系是 a.平行 b.垂直c.相交但不垂直 d.不能確定基礎(chǔ)保分練12345678910111213141516解析解析直線2xym0的

16、斜率k12，解析答案則k1k2，且k1k21. 故選c.2.(2018邢臺(tái)模擬)“a1”是“直線ax3y30和直線x(a2)y10平行”的 a.充分不必要條件 b.必要不充分條件c.充要條件 d.既不充分又不必要條件解析答案12345678910111213141516解得a1，故選c.3.從點(diǎn)(2,3)射出的光線沿與向量a(8,4)平行的直線射到y(tǒng)軸上，則反射光線所在的直線方程為 a.x2y40 b.2xy10c.x6y160 d.6xy80答案12345678910111213141516解析其與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，又點(diǎn)(2,3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(2,3)，所以反射光線過(guò)點(diǎn)(2,

17、3)與(0,2)，由兩點(diǎn)式知a正確.4.(2017蘭州模擬)一只蟲(chóng)子從點(diǎn)o(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：xy10上的p點(diǎn)，再?gòu)膒點(diǎn)出發(fā)爬行到點(diǎn)a(1，1)，則蟲(chóng)子爬行的最短路程是 a. b.2 c.3 d.4解析答案12345678910111213141516解析解析點(diǎn)o(0,0)關(guān)于直線xy10的對(duì)稱點(diǎn)為o(1,1)，5.若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1與l2之間的距離為 解析答案解析解析l1l2，a2且a0，123456789101112131415166.若直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn) a.(0,4) b.(0

18、,2)c.(2,4) d.(4，2)答案12345678910111213141516解析解析解析直線l1：yk(x4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)，又直線l1：yk(x4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,2).解析答案123456789101112131415167.若三條直線y2x，xy3，mx2y50相交于同一點(diǎn)，則m的值為 .9點(diǎn)(1,2)滿足方程mx2y50，即m12250，m9.答案12345678910111213141516解析8.將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使得點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)重合，點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)重合，則m

19、n .解析解析由題意可知，紙的折痕應(yīng)是點(diǎn)(0,2)與點(diǎn)(4,0)連線的中垂線，即直線y2x3，它也是點(diǎn)(7,3)與點(diǎn)(m，n)連線的中垂線，解析解析直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點(diǎn)p，且l1l2，a11(a2)0，解析答案123456789101112131415169.已知直線l1：axy60與l2：x(a2)ya10相交于點(diǎn)p，若l1l2，則a ，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為 .1(3,3)易得x3，y3，p(3,3).10.已知直線l1：axy10，直線l2：xy30，若直線l1的傾斜角為 ，則a ；若l1l2，則a ；若l1l2，則兩平行直線間的距離為 .故a1；若l1l2，

20、則a11(1)0，故a1；解析123456789101112131415161答案1若l1l2，11.已知方程(2)x(1)y2(32)0與點(diǎn)p(2,2).(1)證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，該方程都表示直線，且這些直線都經(jīng)過(guò)同一定點(diǎn)，并求出這一定點(diǎn)的坐標(biāo)；解解顯然2與(1)不可能同時(shí)為零，故對(duì)任意的實(shí)數(shù)，該方程都表示直線.方程可變形為2xy6(xy4)0，解答12345678910111213141516故直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為m(2，2).(2)證明：該方程表示的直線與點(diǎn)p的距離d小于4 .證明證明過(guò)p作直線的垂線段pq，由垂線段小于斜線段知|pq|pm|，當(dāng)且僅當(dāng)q與m重合時(shí)，|pq|pm|，此時(shí)對(duì)應(yīng)的

21、直線方程是y2x2，即xy40.但直線系方程唯獨(dú)不能表示直線xy40，證明1234567891011121314151612.已知三條直線：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1與l2間的距離是 .(1)求a的值；解答12345678910111213141516又a0，解得a3.(2)能否找到一點(diǎn)p，使p同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：點(diǎn)p在第一象限；點(diǎn)p到l1的距離是點(diǎn)p到l2的距離的 ；點(diǎn)p到l1的距離與點(diǎn)p到l3的距離之比是若能，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.解答12345678910111213141516解解假設(shè)存在點(diǎn)p，設(shè)點(diǎn)p(x0，y0).若點(diǎn)p滿足條件

22、，則點(diǎn)p在與l1，l2平行的直線l：2xyc0上，若點(diǎn)p滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式，12345678910111213141516即|2x0y03|x0y01|，所以x02y040或3x020；由于點(diǎn)p在第一象限，所以3x020不可能.12345678910111213141516技能提升練答案12345678910111213141516解析13.(2017湖北孝感五校聯(lián)考)已知直線y2x是abc中c的平分線所在的直線，若點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別是(4,2)，(3,1)，則點(diǎn)c的坐標(biāo)為 a.(2,4) b.(2，4)c.(2,4) d.(2，4)12345678910111213141516解析解析設(shè)