八年級數學上冊 14.3.1 提公因式法課件 新版新人版

1、 八年級數學八年級數學上上 新課標新課標 人人 學習新知學習新知檢測反饋檢測反饋第十四章第十四章 整式的乘法與因式分解整式的乘法與因式分解 新興一中決定購買m臺電腦和m套桌子,現在知道每臺電腦的單價為a元,每套桌子的單價為b元,那么怎樣表示該校購買電腦和桌子總共需要的資金呢?學學 習習 新新 知知一: 購買一臺電腦和一套桌子需(a+b)元,購買m臺電腦和m套桌子共需m(a+b)元.二: 購買m臺電腦需ma元,購買m套桌子需mb元,則購m臺電腦和m套桌子共需(ma+mb)元.從這兩種方法中,我們發(fā)現了什么?請把下列多項式寫成整式的積的形式:一、因式分解(1)x2+x=;(2)x2-1=.等式左邊

2、是多項式,右邊都是乘積的形式.觀察上述兩個式子和ma+mb=m(a+b),這些式子的共同特點是什么?因式分解 :把一個多項式化成幾個整式的積的形式,叫做因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.正確理解因式分解要注意以下三點:(1)因式分解的對象是多項式,不是單項式,也不是以后我們要學習的分式.(2)因式分解的結果是整式的乘積的形式.(3)不能走回頭路,如x2-1=(x+1)(x-1)=x2-1,本來已經完成了對x2-1的因式分解,但習慣性地按整式乘法算出x2-1的結果,就畫蛇添足了.知識拓展 下列從左到右的變形中,哪些是分解因式?哪些不是分解因式?為什么?(1)12ab=3a4b;(2)(x+3

3、)(x-3)=x2-9;(3)4x2-8x-1=4x(x-2)-1;(4)2ax-2ay=2a(x-y);(5)a2-4ab+4b2=(a-2b)2.是是(1)分解因式是多項式的恒等變形,也就是分解因式的結果的積等于多項式;(2)分解因式的結果必須是整式的積的形式,每個因式必須是整式且每個因式的次數都不高于原來多項式的次數. 因式分解時,左邊必須是多項式,右邊是幾個因式的乘積,且又是左、右兩邊恒等,那么分解因式與整式乘法有什么關系? 如果把整式乘法看作一個變形過程,那么多項式的分解因式就是整式乘法的逆過程;如果把多項式的分解因式看作一個變形過程,那么整式乘法又是多項式的分解因式的逆過程.因此,

4、多項式的分解因式與整式乘法互為逆過程,一方面說明了兩者之間的密切關系,另一方面又說明了兩者的根本區(qū)別. 根據乘法運算的算式,把下列多項式分解因式:乘法運算分解因式a(3a-5b)=3a2-5ab 3a2-5ab=(x-3y)(2x+y)=2x2-5xy-3y22x2-5xy-3y2=(x-2y)(x+2y)=x2-4y2x2-4y2=(a-3b)2=a2-6ab+9b2a2-6ab+9b2=ma+mbm(a+b) 如圖,一塊菜園由兩個長方形組成,這些長方形的長分別是3.8 m,6.2 m,寬都是3.7 m,如何計算這塊菜園的面積呢?二、提公因式法 3.8 3.7 3.7 6.2列式: 3.73

5、.8+3.76.2有簡便算法嗎?解:3.73.8+3.76.2 =3.7(3.8+6.2) =3.710=37(m2).在這一過程中,把3.7換成m,3.8換成a,6.2換成b,于是有:ma+mb=m(a+b).利用整式乘法驗證: 多項式ma+mb有什么特點？各項都含有一個公共的因式m,我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式. 又如 :b是多項式ab-b2各項的公因式;2xy是多項式4x2y-6xy2z各項的公因式.(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數(當系數是整數時).(2)字母取各項的相同字母,且各字母的指數取最低次冪,根據分配律,可得m(a+b)=ma+mb,逆變形得到ma+mb的

6、因式分解形式ma+mb=m(a+b),這說明多項式ma+mb各項都含有的公因式可提到括號外面,將多項式ma+mb寫成m(a+b)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法. 如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提取出來,將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫提公因式法.例1 把8a3b2+12ab3c分解因式. 解析:從數、字母和字母的次數三個方面進行分析;分解因式完成后要分析公因式和另一個因式之間的關系,并思考:如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公因式?從而把提公因式的“提”的具體含義深刻化,這是提公因式法的正確性的重要保證.解解:8a3b2+12ab3c

7、=4ab22a2+4ab23bc=4ab2(2a2+3bc).例2 把2a(b+c)-3(b+c)因式分解. 對該多項式的每項因式的特點進行仔細觀察,從而發(fā)現把b+c看作一個“整體”時公因式就是b+c,再用提公因式法進行分解.解解:2a(b+c) 3(b+c)=(b+c)(2a-3).例3 計算:0.8412+120.6-0.4412.觀察并分析怎樣計算更簡單? 1.因式分解 (1)定義:把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.等式特點:左邊:多項式;右邊:整式整式,整式乘整式結果是多項式,而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積,我們就把這

8、種多項式的變形叫做因式分解.知識小結(2)因式分解:pa+pb+pc=p(a+b+c).(3)整式乘法:p(a+b+c)=pa+pb+pc.(4)聯(lián)系:都是由幾個相同的整式組成的等式.(5)區(qū)別:這幾個相同的整式所在的位置不同,式是因式分解,式是整式乘法,兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個式子的不同表現形式,一個是多項式的表現形式,一個是兩個或幾個因式積的表現形式. 2.公因式 (1)多項式pa+pb+pc中,各項都含有一個公共的因式p,因式p叫做這個多項式各項的公因式.(2)注意:公因式是每一項都含有的因式,是單項式或多項式.(3)公因式的確定方法:各項系數的最大公因數和相同字母的最低次冪

9、的積.3.提公因式定義:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.由定義可知,提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.1.下列各式由左邊到右邊的變形中,屬于分解因式的是() a.a(x+y)=ax+ayb.x2-4x+4=x(x-4)+4c.10 x2-5x=5x(2x-1)d.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x解析: a.是多項式乘法,故選項錯誤;b.右邊不是積的形式,故選項錯誤;c.提公因式法,故選項正確;d.右邊不是積的形式,故選項錯誤.故選c.c檢測反饋檢測反饋b2.設x2+3x+y=(x+1

10、)(x+2),則y的值為()a.1b.2c.3d.4解析:(x+1)(x+2)=x2+3x+2,y=2.故選b.3.觀察下列各式:2a+b和a+b ;5m(a-b)和-a+b;3(a+b)和-a-b ;x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是 ()a.b.c.d.b解析：和a+b沒有公因式;5m(a-b)和-a+b=-(a-b)的公因式為a-b;3(a+b)和-a-b=-(a+b)的公因式為a+b;x2-y2和x2+y2沒有公因式.故選b.4.用提公因式法分解因式.(1)4x2-4xy+8xz;(2)6x4-4x3+2x2;(3)6m2n-15mn2+30m3n;(4)(a+b)-(a+b)2;(5)x(x-y)+y(y-x);(6)(m+n)2-2(m+n).解析: 此題考查了因式分解 提公因式法,熟練掌握提公因式的方法是解本題的關鍵.解:(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z).(2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1).(3)6m2n-15mn2+