2022版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第2節(jié)第5課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案含解析新人教A版

1、高考復(fù)習(xí)資料第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第5課時(shí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題考點(diǎn)1討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)綜合性(2019·全國(guó)卷)已知函數(shù)f (x)ln x.(1)討論f (x)的單調(diào)性，并證明f (x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；(2)設(shè)x0是f (x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線yln x在點(diǎn)a(x0，ln x0)處的切線也是曲線yex的切線解：(1)f (x)的定義域?yàn)?0,1)(1，)因?yàn)閒 (x)>0，所以f (x)在(0,1)，(1，)上單調(diào)遞增因?yàn)閒 (e)1<0，f (e2)2>0，所以f (x)在(1，)有唯一零點(diǎn)x1，即f (x1)0.又0<<1，f ln x1f

2、(x1)0，故f (x)在(0,1)有唯一零點(diǎn).綜上，f (x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)(2)因?yàn)閑，所以點(diǎn)b在曲線yex上由題設(shè)知f (x0)0，即ln x0，故直線ab的斜率k.曲線yex在點(diǎn)b處切線的斜率是，曲線yln x在點(diǎn)a(x0，ln x0)處切線的斜率也是，所以曲線yln x在點(diǎn)a(x0，ln x)處的切線也是曲線yex的切線將本例中的函數(shù)改為“f (x)ln x，mr”，討論函數(shù)g(x)f (x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)解：由題設(shè)，g(x)f (x)(x0)令g(x)0，得mx3x(x0)設(shè)(x)x3x(x0)，則(x)x21(x1)(x1)當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

3、當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減所以x1是(x)的極大值點(diǎn)，也是(x)的最大值點(diǎn)所以(x)的最大值為(1).由(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知：當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0m時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m或m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0m時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫(huà)出函數(shù)的圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問(wèn)題(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某

4、區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)已知二次函數(shù)f (x)的最小值為4，且關(guān)于x的不等式f (x)0的解集為x|1x3，xr(1)求函數(shù)f (x)的題目解析式；(2)求函數(shù)g(x)4ln x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解：(1)因?yàn)閒 (x)是二次函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f (x)0的解集為x|1x3，xr，所以f (x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a>0.所以f (x)minf (1)4a4，所以a1.故函數(shù)f (x)的題目解析式為f (x)x22x3.(2)因?yàn)間(x)4ln xx4ln x2(x>0)，所以g(x)

5、1.令g(x)0，得x11，x23.當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)g(x)00g(x)極大值極小值當(dāng)0<x3時(shí)，g(x)g(1)4<0，g(e5)e5202>251229>0.因?yàn)間(x)在(3，)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(3，)上只有1個(gè)零點(diǎn)，故g(x)在(0，)上僅有1個(gè)零點(diǎn)考點(diǎn)2由函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍綜合性(2020·全國(guó)卷)已知函數(shù)f (x)exa(x2)(1)當(dāng)a1時(shí)，討論f (x)的單調(diào)性；(2)若f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解：(1)當(dāng)a1時(shí)，f (x)ex(x2)，f (x)e

6、x1.令f (x)<0，解得x<0；令f (x)>0，解得x>0.所以f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)(2)因?yàn)閒 (x)exa(x2)，所以f (x)exa.若a0，則f (x)exa0在r上恒成立，所以f (x)在r上單調(diào)遞增，則最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意若a0，令f (x)exa0，得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f (x)0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f (x)0.所以f (x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增所以f (x)minf (ln a)eln aa(ln a2)a(1ln a)要使f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)，

7、則f (x)minf (ln a)0，即a(1ln a)0，所以a，即a的取值范圍是.將本例中的函數(shù)改為“f (x)exaxa(ar且a0)”，若函數(shù)f (x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：f (x)exa.當(dāng)a0時(shí)，f (x)0，f (x)在r上單調(diào)遞增，且當(dāng)x1時(shí)，f (x)exa(x1)0；當(dāng)x0時(shí)，取x，則f 1aa0，所以函數(shù)f (x)存在零點(diǎn)，不滿足題意當(dāng)a0時(shí)，令f (x)exa0，則xln(a)當(dāng)x(，ln(a)時(shí)，f (x)0，f (x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(ln(a)，)時(shí)，f (x)0 ，f (x)單調(diào)遞增所以，當(dāng)xln(a)時(shí)，f (x)取得極小值，也是最小值函數(shù)f (x

8、)不存在零點(diǎn)，等價(jià)于f (ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(e2，0)利用函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)(ag(x)后，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為yg(x)的值域(最值)問(wèn)題或轉(zhuǎn)化為直線ya與yg(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解1已知曲線f (x)ex(ax1)在x1處的切線方程為ybxe. (1)求a，b的值；(2)若函數(shù)g(x)f (x)3exm有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f (x)ex(

9、ax1)，f (x)ex(ax1)ex·aex(ax1a)，所以所以a1，b3e.(2)(方法一)g(x)f (x)3exmex(x2)m，函數(shù)g(x)ex(x2)m有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于曲線u(x)ex(x2)與直線ym有兩個(gè)交點(diǎn). u(x)ex(x2)exex(x1)當(dāng)x(，1)時(shí)，u(x)<0，所以u(píng)(x)在(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，u(x)>0，所以u(píng)(x)在(1，)單調(diào)遞增，所以x1時(shí)，u(x)取得極小值u(1)e.又x時(shí)，u(x)；x<2時(shí)，u(x)<0，所以e<m<0，即m的取值范圍是(e,0)(方法二)g(x)f (x)3ex

10、mex(x2)m，g(x)ex·(x2)exex(x1)，當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0，所以g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，所以x1時(shí)，g(x)取得極小值g(1)em.又x時(shí)，g(x)m，所以e<m<0，即m的取值范圍是(e，0)2(2020·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f (x)x3bxc，曲線yf (x)在點(diǎn)處的切線與y軸垂直(1)求b.(2)若f (x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：f (x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.解：(1)由函數(shù)f (x)x3bxc，得f (x)3x2b.依題意得f 0

11、，即b0.故b.(2)由(1)知f (x)x3xc，f (x)3x2.令f (x)0，解得x或x.x，f (x)與f (x)的變化情況為：xf (x)00f (x)cc因?yàn)閒 (1)f c，所以當(dāng)c時(shí)，f (x)只有大于1的零點(diǎn)因?yàn)閒 (1)f c，所以當(dāng)c時(shí)，f (x)只有小于1的零點(diǎn)由題設(shè)可知c，當(dāng)c時(shí)，f (x)只有兩個(gè)零點(diǎn)和1.當(dāng)c時(shí)，f (x)只有兩個(gè)零點(diǎn)1和.當(dāng)c時(shí)，f (x)有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，且x1，x2，x3.綜上，若f (x)有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，則f (x)所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.考點(diǎn)3函數(shù)零點(diǎn)與極值點(diǎn)的偏移問(wèn)題應(yīng)用性已知函數(shù)f (x)x22x1aex有

12、兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.證明：x1x2>4.證明：令g(x)f (x)2x2aex，則x1，x2是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)令g(x)0，得a.令h(x)，則h(x1)h(x2)，h(x)，可得h(x)在區(qū)間(，2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2，)上單調(diào)遞增，所以x1<2<x2.令h(x)h(2x)h(2x)，則h(x)h(2x)h(2x)，當(dāng)0<x<2時(shí)，h(x)<0，h(x)單調(diào)遞減，有h(x)<h(0)0，所以h(2x)<h(2x)所以h(x1)h(x2)h(2(x22)<h(2(x22)h(4x2)因?yàn)閤1<2,4x2

13、<2，h(x)在(，2)上單調(diào)遞減，所以x1>4x2，即x1x2>4. 1對(duì)極值點(diǎn)偏移的解釋已知函數(shù)yf (x)是連續(xù)函數(shù)，在區(qū)間(x1，x2)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0，且f (x1)f (x2)若極值點(diǎn)左右的“增減速度”相同，常常有極值點(diǎn)x0，我們稱這種狀態(tài)為極值點(diǎn)不偏移；若極值點(diǎn)左右的“增減速度”不同，函數(shù)的圖象不具有對(duì)稱性，常常有極值點(diǎn)x0的情況，我們稱這種狀態(tài)為“極值點(diǎn)偏移”2解極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的通法第一步：根據(jù)f (x1)f (x2)(x1x2)建立等量關(guān)系，并結(jié)合f (x)的單調(diào)性，確定x1，x2的取值范圍；第二步：不妨設(shè)x1<x2，將待證不等式進(jìn)行變形，進(jìn)而

14、結(jié)合原函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)的單調(diào)性等價(jià)轉(zhuǎn)化；第三步：構(gòu)造關(guān)于x1(或x2)的一元函數(shù)，或令t(t>1)構(gòu)造關(guān)于t的一元函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，并借助于單調(diào)性，達(dá)到對(duì)待證不等式的證明已知函數(shù)f (x)ex(exaxa)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.(1)求a的取值范圍；(2)求證：2x1x2<x1x2.(1)解：因?yàn)閒 (x)ex(exaxa)，所以f (x)ex(exaxa)ex(exa)ex(2exax)令f (x)0，則2exax.當(dāng)a0時(shí)，不成立；當(dāng)a0時(shí)，.令g(x)，所以g(x).當(dāng)x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)<0.所以g(x)在(，1)上單

15、調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減又因?yàn)間(1)，當(dāng)x時(shí)，g(x)，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，因此，當(dāng)0<<時(shí)，f (x)有2個(gè)極值點(diǎn)，即a的取值范圍為(2e，)(2)證明：由(1)不妨設(shè)0<x1<1<x2，且所以所以x2x1lnx2lnx1.要證明2x1x2<x1x2，只要證明2x1x2(lnx2lnx1)<xx，即證明2ln<.設(shè)t(t>1)，即要證明2ln tt<0在t(1，)上恒成立記h(t)2ln tt(t>1)，h(t)1<0，所以h(t)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞減，所以h(t)<h(1)0，即2ln tt<0，

16、即2x1x2<x1x2.已知f (x)xln xmx2x，mr.若f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.求證：x1x2>e2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))四字程序讀想算思求證：x1x2>e21.證明不等式的解題策略；2.如何構(gòu)造函數(shù)？由極值的定義建立等量關(guān)系、求導(dǎo)研究有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化與化歸f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1<x21.構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值；2.利用函數(shù)單調(diào)性；3.建立等量關(guān)系后令t構(gòu)建關(guān)于t的函數(shù)；4.構(gòu)造g(x)1.由得m；2.令g(x)，g(x1)g(x2)，g(x)1.函數(shù)極值的定義；2.欲證x1x2>e2，需證ln x1

17、ln x2>2思路參考：轉(zhuǎn)化為證明ln x1ln x2>2，根據(jù)x1，x2是方程f (x)0的根建立等量關(guān)系令t將ln x1ln x2變形為關(guān)于t的函數(shù)，將ln x1ln x2>2轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式進(jìn)行證明證明：欲證x1x2>e2，需證ln x1ln x2>2.若f (x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，即函數(shù)f (x)有兩個(gè)零點(diǎn)又f (x)ln xmx，所以x1，x2是方程f (x)0的兩個(gè)不等實(shí)根于是，有解得m.另一方面，由得ln x2ln x1m(x2x1)，從而得.于是，ln x1ln x2.又0<x1<x2，設(shè)t，則t>1.因此，ln x1l

18、n x2，t>1.要證ln x1ln x2>2，即證>2，t>1.即當(dāng)t>1時(shí)，有l(wèi)n t>.設(shè)函數(shù)h(t)ln t，t1，則h(t)0，所以，h(t)為(1，)上的增函數(shù)注意到，h(1)0，因此，h(t)h(1)0.于是，當(dāng)t>1時(shí)，有l(wèi)n t>.所以ln x1ln x2>2成立，即x1x2>e2.思路參考：將證明x1x2>e2轉(zhuǎn)化為證明x1>.依據(jù)x1，x2是方程f (x)0的兩個(gè)不等實(shí)根構(gòu)造函數(shù)g(x)，結(jié)合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，只需證明g(x2)g(x1)<g.證明：由x1，x2是方程f (x)0的兩個(gè)不等實(shí)

19、根，所以mx1ln x1，mx2ln x2.令g(x)，g(x1)g(x2)，由于g(x)，因此，g(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減又x1<x2，所以0<x1<e<x2.令h(x)g(x)g(x(0，e)，h(x)>0，故h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，故h(x)<h(e)0，即g(x)<g.令xx1，則g(x2)g(x1)<g.因?yàn)閤2，(e，)，g(x)在(e，)上單調(diào)遞減，所以x2>，即x1x2>e2.思路參考：設(shè)t1ln x1(0,1)，t2ln x2(1，)，推出e.將證明x1x2>e2轉(zhuǎn)化為證明t1

20、t2>2，引入變量kt1t2<0構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明證明：設(shè)t1ln x1(0,1)，t2ln x2(1，)，由得e.設(shè)kt1t2<0，則t1，t2.欲證x1x2>e2，需證ln x1ln x2>2.即只需證明t1t22，即>2k(1ek)<2(ek1)k(1ek)2(ek1)<0.設(shè)g(k)k(1ek)2(ek1)(k<0)，g(k)kekek1，g(k)kek<0，故g(k)在(，0)上單調(diào)遞減，故g(k)>g(0)0，故g(k)在(，0)上單調(diào)遞增，因此g(k)<g(0)0，命題得證思路參考：設(shè)t1ln x1(0,1)，

21、t2ln x2(1，)，推出e.將證明x1x2>e2轉(zhuǎn)化為證明t1t2>2，引入變量k(0,1)構(gòu)建函數(shù)進(jìn)行證明證明：設(shè)t1ln x1(0,1)，t2ln x2(1，)，由得e.設(shè)k(0,1)，則t1，t2.欲證x1x2>e2，需證ln x1ln x2>2，即只需證明t1t2>2，即>2ln k<ln k<0.設(shè)g(k)ln k(k(0,1)，g(k)>0，故g(k)在(0,1)上單調(diào)遞增，因此g(k)<g(1)0，命題得證1本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，基本解題方法是把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問(wèn)題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù)2基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要熟練掌握轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力、邏