小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題21種類型總結(jié)（附例題、解題思路）

1、小學(xué)四年級(jí)數(shù)學(xué)資料小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題21種類型總結(jié)（附例題、解題思路）微信號(hào) zhiye8844功能介紹 小學(xué)生四年級(jí)數(shù)學(xué)資料平臺(tái)，分享四年級(jí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，解題技巧，課后練習(xí)題，四年級(jí)家長(zhǎng)和老師都在關(guān)注，幫助孩子提高成績(jī)！讓孩子愛上數(shù)學(xué)！歸一問題【含義】在解題時(shí)，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。這類應(yīng)用題叫做歸一問題。【數(shù)量關(guān)系】總量÷份數(shù)1份數(shù)量1份數(shù)量×所占份數(shù)所求幾份的數(shù)量另一總量÷（總量÷份數(shù)）所求份數(shù)【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標(biāo)準(zhǔn)，求出所要求的數(shù)量。例1買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需

2、要多少錢？解： （1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷50.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×161.92（元）列成綜合算式0.6÷5×160.12×161.92（元）答：需要1.92元。例23臺(tái)拖拉機(jī)3天耕地90公頃，照這樣計(jì)算，5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？解： （1）1臺(tái)拖拉機(jī)1天耕地多少公頃？90÷3÷310（公頃）（2）5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地多少公頃？10×5×6300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×610×3030

3、0（公頃）答：5臺(tái)拖拉機(jī)6天耕地300公頃。例35輛汽車4次可以運(yùn)送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運(yùn)送105噸鋼材，需要運(yùn)幾次？解： （1）1輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？100÷5÷45（噸）（2）7輛汽車1次能運(yùn)多少噸鋼材？5×735（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運(yùn)幾次？105÷353（次）列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）3（次）答：需要運(yùn)3次。no.2歸總問題【含義】解題時(shí)，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價(jià)、幾小時(shí)（幾天

4、）的總工作量、幾公畝地上的總產(chǎn)量、幾小時(shí)行的總路程等。【數(shù)量關(guān)系】1份數(shù)量×份數(shù)總量總量÷1份數(shù)量份數(shù)總量÷另一份數(shù)另一每份數(shù)量【解題思路和方法】先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進(jìn)裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現(xiàn)在可以做多少套？解： （1）這批布總共有多少米？3.2×7912531.2（米）（2）現(xiàn)在可以做多少套？2531.2÷2.8904（套）列成綜合算式3.2×791÷2.8904（套）答：現(xiàn)在可以做904套。例2小華每天讀24頁(yè)書，1

5、2天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁(yè)書，幾天可以讀完紅巖？解： （1）紅巖這本書總共多少頁(yè)？24×12288（頁(yè)）（2）小明幾天可以讀完紅巖？288÷368（天）列成綜合算式24×12÷368（天）答：小明8天可以讀完紅巖。例3食堂運(yùn)來一批蔬菜，原計(jì)劃每天吃50千克，30天慢慢消費(fèi)完這批蔬菜。后來根據(jù)大家的意見，每天比原計(jì)劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解： （1）這批蔬菜共有多少千克？50×301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（5010）25（天）列成綜合算式50×30

6、47;（5010）1500÷6025（天）答：這批蔬菜可以吃25天。no.3和差問題【含義】已知兩個(gè)數(shù)量的和與差，求這兩個(gè)數(shù)量各是多少，這類應(yīng)用題叫和差問題?！緮?shù)量關(guān)系】大數(shù)（和差）÷2小數(shù)（和差）÷2【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可以直接套用公式；復(fù)雜的題目變通后再用公式。例1甲乙兩班共有學(xué)生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解甲班人數(shù)（986）÷252（人）乙班人數(shù)（986）÷246（人）答：甲班有52人，乙班有46人。例2長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之和為18厘米，長(zhǎng)比寬多2厘米，求長(zhǎng)方形的面積。解： 長(zhǎng)（182）÷210（

7、厘米）寬（182）÷28（厘米）長(zhǎng)方形的面積10×880（平方厘米）答：長(zhǎng)方形的面積為80平方厘米。例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解：甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數(shù)，丙是小數(shù)。由此可知甲袋化肥重量（222）÷212（千克）丙袋化肥重量（222）÷210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例4甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車

8、還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？解： “從甲車取下14筐放到乙車上，結(jié)果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數(shù)，乙車是小數(shù)，甲與乙的差是（14×23），甲與乙的和是97，因此甲車筐數(shù)（9714×23）÷264（筐）乙車筐數(shù)976433（筐）答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。no.4和倍問題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做和倍問題?！緮?shù)量關(guān)系】總和÷（幾倍1）較小的數(shù)總和較小的數(shù)較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，

9、復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解（1）杏樹有多少棵？248÷（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。例2東西兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)共存糧480噸，東庫(kù)存糧數(shù)是西庫(kù)存糧數(shù)的1.4倍，求兩庫(kù)各存糧多少噸？解： （1）西庫(kù)存糧數(shù)480÷（1.41）200（噸）（2）東庫(kù)存糧數(shù)480200280（噸）答：東庫(kù)存糧280噸，西庫(kù)存糧200噸。例3甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數(shù)是甲站

10、的2倍？解：每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當(dāng)于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數(shù)當(dāng)作1倍量，這時(shí)乙站的車輛數(shù)就是2倍量，兩站的車輛總數(shù)（5232）就相當(dāng)于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數(shù)減少為（5232）÷（21）28（輛）所求天數(shù)為（5228）÷（2824）6（天）答：6天以后乙站車輛數(shù)是甲站的2倍。例4甲乙丙三數(shù)之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數(shù)各是多少？解：乙丙兩數(shù)都與甲數(shù)有直接關(guān)系，因此把甲數(shù)作為1倍量。因?yàn)橐冶燃椎?倍少4，所以給乙加上4，乙數(shù)就變成甲數(shù)的2倍；又因?yàn)楸燃椎?倍多6，所以丙數(shù)減

11、去6就變?yōu)榧讛?shù)的3倍；這時(shí)（17046）就相當(dāng)于（123）倍。那么，甲數(shù)（17046）÷（123）28乙數(shù)28×2452丙數(shù)28×3690答：甲數(shù)是28，乙數(shù)是52，丙數(shù)是90。no.5差倍問題【含義】已知兩個(gè)數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個(gè)數(shù)各是多少，這類應(yīng)用題叫做差倍問題。【數(shù)量關(guān)系】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差÷（幾倍1）較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍較大的數(shù)【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數(shù)是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解：（1）杏樹有多少棵？12

12、4÷（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。例2爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解：（1）兒子年齡27÷（41）9（歲）（2）爸爸年齡9×436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。例3商場(chǎng)改革經(jīng)營(yíng)管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個(gè)月盈利各是多少萬元？解： 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當(dāng)于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（3012）÷（21）

13、18（萬元）本月盈利183048（萬元）答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。例4糧庫(kù)有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運(yùn)出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解：由于每天運(yùn)出的小麥和玉米的數(shù)量相等，所以剩下的數(shù)量差等于原來的數(shù)量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當(dāng)于（31）倍，因此剩下的小麥數(shù)量（13894）÷（31）22（噸）運(yùn)出的小麥數(shù)量942272（噸）運(yùn)糧的天數(shù)72÷98（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。no.6倍比問題【含義】有兩個(gè)已知的同類量，其中一個(gè)量是另一個(gè)

14、量的若干倍，解題時(shí)先求出這個(gè)倍數(shù)，再用倍比的方法算出要求的數(shù)，這類應(yīng)用題叫做倍比問題?！緮?shù)量關(guān)系】總量÷一個(gè)數(shù)量倍數(shù)另一個(gè)數(shù)量×倍數(shù)另一總量【解題思路和方法】先求出倍數(shù)，再用倍比關(guān)系求出要求的數(shù)。例1100千克油菜籽可以榨油40千克，現(xiàn)在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？解：（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷10037（倍）（2）可以榨油多少千克？40×371480（千克）列成綜合算式40×（3700÷100）1480（千克）答：可以榨油1480千克。例2今年植樹節(jié)這天，某小學(xué)300名師生共植樹400棵，照這樣計(jì)算，

15、全縣48000名師生共植樹多少棵？解：（1）48000名是300名的多少倍？48000÷300160（倍）（2）共植樹多少棵？400×16064000（棵）列成綜合算式400×（48000÷300）64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。例3鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計(jì)算，全鄉(xiāng)800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？解：（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4200（倍）（2）800畝收入多少元？11111×2002222200（元）（3）16000畝是8

16、00畝的幾倍？16000÷80020（倍）（4）16000畝收入多少元？2222200×2044444000（元）答：全鄉(xiāng)800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。no.7相遇問題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)的物體同時(shí)由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。這類應(yīng)用題叫做相遇問題?！緮?shù)量關(guān)系】相遇時(shí)間總路程÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1南京到上海的水路長(zhǎng)392千米，同時(shí)從兩港各開出一艘輪船相對(duì)而行，從南京開出的船每小時(shí)行28千米，從上海開出的船每小

17、時(shí)行21千米，經(jīng)過幾小時(shí)兩船相遇？解：392÷（2821）8（小時(shí)）答：經(jīng)過8小時(shí)兩船相遇。例2小李和小劉在周長(zhǎng)為400米的環(huán)形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，反向而跑，那么，二人從出發(fā)到第二次相遇需多長(zhǎng)時(shí)間？解：“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。因此總路程為400×2相遇時(shí)間（400×2）÷（53）100（秒）答：二人從出發(fā)到第二次相遇需100秒時(shí)間。例3甲乙二人同時(shí)從兩地騎自行車相向而行，甲每小時(shí)行15千米，乙每小時(shí)行13千米，兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇，求兩地的距離。解“兩人在距中點(diǎn)3千米處相遇”是正確理解

18、本題題意的關(guān)鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點(diǎn)3千米，乙距中點(diǎn)3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此，相遇時(shí)間（3×2）÷（1513）3（小時(shí)）兩地距離（1513）×384（千米）答：兩地距離是84千米。no.8追及問題【含義】?jī)蓚€(gè)運(yùn)動(dòng)物體在不同地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)（或者在同一地點(diǎn)而不是同時(shí)出發(fā)，或者在不同地點(diǎn)又不是同時(shí)出發(fā)）作同向運(yùn)動(dòng)，在后面的，行進(jìn)速度要快些，在前面的，行進(jìn)速度較慢些，在一定時(shí)間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。這類應(yīng)用題就叫做追及問題?！緮?shù)量關(guān)系】追及時(shí)間追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及

19、時(shí)間【解題思路和方法】簡(jiǎn)單的題目直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解：（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（12075）20（天）列成綜合算式75×12÷（12075）900÷4520（天）答：好馬20天能追上劣馬。例2小明和小亮在200米環(huán)形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同向而跑。小明第一次追上小亮?xí)r跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解：小明第一次追上小亮?xí)r比小亮多跑一圈

20、，即200米，此時(shí)小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時(shí)間，即小明跑500米所用的時(shí)間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40×（500÷200）秒，所以小亮的速度是（500200）÷40×（500÷200）300÷1003（米）答：小亮的速度是每秒3米。例3我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點(diǎn)開始從甲地以每小時(shí)10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點(diǎn)接到命令，以每小時(shí)30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個(gè)小時(shí)可以追上敵人？解：敵人逃跑時(shí)間與解放軍追擊時(shí)間的時(shí)差是（221

21、6）小時(shí)，這段時(shí)間敵人逃跑的路程是10×（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知追及時(shí)間10×（226）60÷（3010）220÷2011（小時(shí)）答：解放軍在11小時(shí)后可以追上敵人。例4一輛客車從甲站開往乙站，每小時(shí)行48千米；一輛貨車同時(shí)從乙站開往甲站，每小時(shí)行40千米，兩車在距兩站中點(diǎn)16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解：這道題可以由相遇問題轉(zhuǎn)化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時(shí)間就是前面所說的相遇時(shí)間，這個(gè)時(shí)間為16×2÷（4840）4（小時(shí)）所以兩站間的距離為（4840

22、）×4352（千米）列成綜合算式（4840）×16×2÷（4840）88×4352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。no.9植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數(shù)這三個(gè)量之間，已知其中的兩個(gè)量，要求第三個(gè)量，這類應(yīng)用題叫做植樹問題?！緮?shù)量關(guān)系】線形植樹棵數(shù)距離÷棵距1環(huán)形植樹棵數(shù)距離÷棵距方形植樹棵數(shù)距離÷棵距4三角形植樹棵數(shù)距離÷棵距3面積植樹棵數(shù)面積÷（棵距×行距）【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂

23、柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解：136÷2168169（棵）答：一共要栽69棵垂柳。例2一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？解：400÷4100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。例3一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220米，每隔8米安裝一個(gè)照明燈，一共可以安裝多少個(gè)照明燈？解：220×4÷841104106（個(gè)）答：一共可以安裝106個(gè)照明燈。例4給一個(gè)面積為96平方米的住宅鋪設(shè)地板磚，所用地板磚的長(zhǎng)和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解：96÷（0.6×0.4）96

24、7;0.24400（塊）答：至少需要400塊地板磚。例5一座大橋長(zhǎng)500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個(gè)電桿，每個(gè)電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解： （1）橋的一邊有多少個(gè)電桿？500÷50111（個(gè)）（2）橋的兩邊有多少個(gè)電桿？11×222（個(gè)）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。no.10年齡問題【含義】這類問題是根據(jù)題目的內(nèi)容而得名，它的主要特點(diǎn)是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數(shù)關(guān)系隨著年齡的增長(zhǎng)在發(fā)生變化?！緮?shù)量關(guān)系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密

25、切聯(lián)系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個(gè)特點(diǎn)?！窘忸}思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？解： 35÷57（倍）（35+1）÷（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。例2母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解：（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（41）73（年）列成綜合算式（377）÷（41）73（年）答：3年后母親的

26、年齡是女兒的4倍。例3甲對(duì)乙說：“當(dāng)我的歲數(shù)曾經(jīng)是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你才4歲”。乙對(duì)甲說：“當(dāng)我的歲數(shù)將來是你現(xiàn)在的歲數(shù)時(shí)，你將61歲”。求甲乙現(xiàn)在的歲數(shù)各是多少？解： 這里涉及到三個(gè)年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去某一年 今年 將來某一年甲 歲 歲 61歲乙 4歲 歲 歲表中兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)，兩個(gè)“”表示同一個(gè)數(shù)。因?yàn)閮蓚€(gè)人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數(shù)列，所以，61應(yīng)該比4大3個(gè)年齡差，因此二人年齡差為（614）÷319（歲）甲今年的歲數(shù)為611942（歲）乙今年的歲數(shù)為421923（歲）答：甲今年的歲數(shù)是42歲，乙今年的歲數(shù)是23歲

27、。no.11行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2船速（順?biāo)俣饶嫠俣龋?#247;2水速順?biāo)俅?#215;2逆水速逆水速水速×2逆水速船速×2順?biāo)夙標(biāo)偎?#215;2【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一只船順?biāo)?20千米需用8小時(shí)，水流速度為每小時(shí)15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時(shí)？解： 

28、由條件知，順?biāo)俅偎?20÷8，而水速為每小時(shí)15千米，所以，船速為每小時(shí)320÷81525（千米）船的逆水速為251510（千米）船逆水行這段路程的時(shí)間為320÷1032（小時(shí)）答：這只船逆水行這段路程需用32小時(shí)。例2甲船逆水行360千米需18小時(shí)，返回原地需10小時(shí)；乙船逆水行同樣一段距離需15小時(shí)，返回原地需多少時(shí)間？解： 由題意得甲船速水速360÷1036甲船速水速360÷1820可見（3620）相當(dāng)于水速的2倍，所以，水速為每小時(shí)（3620）÷28（千米）又因?yàn)?，乙船速水?60÷15，所以，乙船速

29、為360÷15832（千米）乙船順?biāo)贋?2840（千米）所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷409（小時(shí)）答：乙船返回原地需要9小時(shí)。no.12列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時(shí)要注意列車車身的長(zhǎng)度。【數(shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時(shí)間（車長(zhǎng)橋長(zhǎng)）÷車速火車追及：追及時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）÷（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時(shí)間（甲車長(zhǎng)乙車長(zhǎng)距離）÷（甲車速乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1一座大橋長(zhǎng)2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火

30、車長(zhǎng)多少米？解：火車3分鐘所行的路程，就是橋長(zhǎng)與火車車身長(zhǎng)度的和。（1）火車3分鐘行多少米？900×32700（米）（2）這列火車長(zhǎng)多少米？27002400300（米）列成綜合算式900×32400300（米）答：這列火車長(zhǎng)300米。例2一列長(zhǎng)200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時(shí)間，求大橋的長(zhǎng)度是多少米？解：火車過橋所用的時(shí)間是2分5秒125秒，所走的路程是（8×125）米，這段路程就是（200米橋長(zhǎng)），所以，橋長(zhǎng)為8×125200800（米）答：大橋的長(zhǎng)度是800米。例3一列長(zhǎng)225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長(zhǎng)140米

31、的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長(zhǎng)時(shí)間？解：從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時(shí)間為（225140）÷（2217）73（秒）答：需要73秒。例4一列長(zhǎng)150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個(gè)扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時(shí)間？解：如果把人看作一列長(zhǎng)度為零的火車，原題就相當(dāng)于火車相遇問題。150÷（223）6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。no.13時(shí)鐘問題【含義】就是研究鐘面上時(shí)針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、

32、兩針夾角為60度等。時(shí)鐘問題可與追及問題相類比?！緮?shù)量關(guān)系】分針的速度是時(shí)針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對(duì)待，也可以按差倍問題來計(jì)算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1從時(shí)針指向4點(diǎn)開始，再經(jīng)過多少分鐘時(shí)針正好與分針重合？解：鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時(shí)走60格；時(shí)針每小時(shí)走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）11/12格。4點(diǎn)整，時(shí)針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時(shí)針的時(shí)間為20÷（11/12）22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時(shí)針正好與分針重合。例2四點(diǎn)和五點(diǎn)之間，時(shí)針和分

33、針在什么時(shí)候成直角？解： 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時(shí)候相差15格（包括分針在時(shí)針的前或后15格兩種情況）。四點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×4）格，如果分針在時(shí)針后與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×415）格，如果分針在時(shí)針前與它成直角，那么分針就要比時(shí)針多走（5×415）格。再根據(jù)1分鐘分針比時(shí)針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時(shí)間。（5×415）÷（11/12）6（分）（5×415）÷（11/12）38（分）答：4點(diǎn)06分及4點(diǎn)38分時(shí)兩針成直角。例3六點(diǎn)與七點(diǎn)之間什么

34、時(shí)候時(shí)針與分針重合？解： 六點(diǎn)整的時(shí)候，分針在時(shí)針后（5×6）格，分針要與時(shí)針重合，就得追上時(shí)針。這實(shí)際上是一個(gè)追及問題。（5×6）÷（11/12）33（分）答：6點(diǎn)33分的時(shí)候分針與時(shí)針重合。no.14盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)（大盈小盈）÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)（大虧小

35、虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個(gè)就余11個(gè)；若每人分4個(gè)就少1個(gè)。問有多少小朋友？有多少個(gè)蘋果？解：按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（盈虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系：（1）有小朋友多少人？（111）÷（43）12（人）（2）有多少個(gè)蘋果？3×121147（個(gè)）答：有小朋友12人，有47個(gè)蘋果。例2修一條公路，如果每天修260米，修完全長(zhǎng)就得延長(zhǎng)8天；如果每天修300米，修完全長(zhǎng)仍得延長(zhǎng)4天。這條路全長(zhǎng)多少米？解：題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，按照“參加分配的總?cè)藬?shù)（大虧小

36、虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)為（260×8300×4）÷（300260）22（天）這條路全長(zhǎng)為300×（224）7800（米）答：這條路全長(zhǎng)7800米。例3學(xué)校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解： 本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有（1）有多少車？（300）÷（4540）6（輛）（2）有多少人？40×630270（人）答：有6輛車，有270人。no.15工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時(shí)間

37、三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項(xiàng)工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時(shí)，常常用單位“1”表示工作總量?！緮?shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)（它表示單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進(jìn)而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時(shí)間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量工作效率×工作時(shí)間工作時(shí)間工作量÷工作效率工作時(shí)間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要10天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做需要15天完成

38、，現(xiàn)在兩隊(duì)合作，需要幾天完成？解：題中的“一項(xiàng)工程”是工作總量，由于沒有給出這項(xiàng)工程的具體數(shù)量，因此，把此項(xiàng)工程看作單位“1”。由于甲隊(duì)獨(dú)做需10天完成，那么每天完成這項(xiàng)工程的1/10；乙隊(duì)單獨(dú)做需15天完成，每天完成這項(xiàng)工程的1/15；兩隊(duì)合做，每天可以完成這項(xiàng)工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：1÷（1/101/15）1÷1/66（天）答：兩隊(duì)合做需要6天完成。例2一批零件，甲獨(dú)做6小時(shí)完成，乙獨(dú)做8小時(shí)完成。現(xiàn)在兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲比乙多做24個(gè)，求這批零件共有多少個(gè)？解一：設(shè)總工作量為1，則甲每小時(shí)完成1/6，乙每小時(shí)完成1/8，甲比乙每小時(shí)多完成（1/

39、61/8），二人合做時(shí)每小時(shí)完成（1/61/8）。因?yàn)槎撕献鲂枰?÷（1/61/8）小時(shí)，這個(gè)時(shí)間內(nèi)，甲比乙多做24個(gè)零件，所以（1）每小時(shí)甲比乙多做多少零件？24÷1÷（1/61/8）7（個(gè)）（2）這批零件共有多少個(gè)？7÷（1/61/8）168（個(gè)）答：這批零件共有168個(gè)。解二：上面這道題還可以用另一種方法計(jì)算：兩人合做，完成任務(wù)時(shí)甲乙的工作量之比為1/61/843由此可知，甲比乙多完成總工作量的43/431/7所以，這批零件共有24÷1/7168（個(gè)）例3一件工作，甲獨(dú)做12小時(shí)完成，乙獨(dú)做10小時(shí)完成，丙獨(dú)做15小時(shí)完成。現(xiàn)在甲先做2

40、小時(shí)，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時(shí)才能完成？解：必須先求出各人每小時(shí)的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會(huì)給計(jì)算帶來方便，因此，我們?cè)O(shè)總工作量為12、10、和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)60，則甲乙丙三人的工作效率分別是60÷12560÷10660÷154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（64）5（小時(shí)）答：還需要5小時(shí)才能完成。例4一個(gè)水池，底部裝有一個(gè)常開的排水管，上部裝有若干個(gè)同樣粗細(xì)的進(jìn)水管。當(dāng)打開4個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要5小時(shí)才能注滿水池；當(dāng)打開2個(gè)進(jìn)水管時(shí)，需要15小時(shí)才能注滿水池；現(xiàn)在要用2小時(shí)將水池注滿，至少

41、要打開多少個(gè)進(jìn)水管？解：注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，水的流量就是工作量，單位時(shí)間內(nèi)水的流量就是工作效率。要2小時(shí)內(nèi)將水池注滿，即要使2小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進(jìn)水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設(shè)某一個(gè)量為單位1，其余兩個(gè)量便可由條件推出。我們?cè)O(shè)每個(gè)同樣的進(jìn)水管每小時(shí)注水量為1，則4個(gè)進(jìn)水管5小時(shí)注水量為（1×4×5），2個(gè)進(jìn)水管15小時(shí)注水量為（1×2×15），從而可知每小時(shí)的排水量為（1×2×151×4×5）÷（1

42、55）1即一個(gè)排水管與每個(gè)進(jìn)水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為1×4×51×515又因?yàn)樵?小時(shí)內(nèi)，每個(gè)進(jìn)水管的注水量為1×2，所以，2小時(shí)內(nèi)注滿一池水至少需要多少個(gè)進(jìn)水管？（151×2）÷（1×2）8.59（個(gè)）答：至少需要9個(gè)進(jìn)水管。no.16正反比例問題【含義】?jī)煞N相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也

43、隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識(shí)的綜合運(yùn)用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡(jiǎn)捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長(zhǎng)是多少米？解：由條件知，公路總長(zhǎng)不變。原已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（13）14312現(xiàn)已修長(zhǎng)度總長(zhǎng)度1（12

44、）13412比較以上兩式可知，把總長(zhǎng)度當(dāng)作12份，則300米相當(dāng)于（43）份，從而知公路總長(zhǎng)為300÷（43）×123600（米）答：這條公路總長(zhǎng)3600米。例2張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計(jì)算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時(shí)間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做x應(yīng)用題則有28491x28x91×4x91×4÷28x13答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3孫亮看十萬個(gè)為什么這本書，每天看24頁(yè)，15天看完，如果每天看36頁(yè)，幾天就可以看完？解：書的頁(yè)數(shù)一定，每天看的頁(yè)數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)x天可以看完，就有

45、2436x1536x24×15x10答：10天就可以看完。 no.17按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個(gè)數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個(gè)部分量的比；從問題看，求幾個(gè)部分量各是多少?？偡輸?shù)比的前后項(xiàng)之和【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項(xiàng)相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項(xiàng)分別作分子），再按照求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的計(jì)算方法，分別求出各部分量的值。例1學(xué)校把植樹5

46、60棵的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級(jí)三個(gè)班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個(gè)班各植樹多少棵？解：總份數(shù)為474845140一班植樹560×47/140188（棵）二班植樹560×48/140192（棵）三班植樹560×45/140180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2用60厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成一個(gè)三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長(zhǎng)各是多少厘米？解：3451260×3/1215（厘米）60×4/1220（厘米）60×5/1225（厘米）答：三角形三條邊的長(zhǎng)分別是15厘米、20厘米、25厘

47、米。例3從前有個(gè)牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個(gè)兒子，大兒子分總數(shù)的1/2，二兒子分總數(shù)的1/3，三兒子分總數(shù)的1/9，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個(gè)兒子各分多少只羊。解：如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/21/31/99629621717×9/17917×6/17617×2/172答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。例4某工廠第一、二、三車間人數(shù)之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個(gè)車間共多少人？解： 80÷（128）×（81

48、221）820（人）答：三個(gè)車間一共820人。no.18百分?jǐn)?shù)問題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常?？梢酝ǚ帧⒓s分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個(gè)專門的記號(hào)“%”。在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量比較量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的

49、百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1倉(cāng)庫(kù)里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解：（1）用去的占720÷（7206480）10%（2）剩下的占6480÷（7206480）90%答：用去了10%，剩下90%。例2紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解：本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525420）÷5250.220%或者1420÷5250.220%答：男職工人數(shù)比女職工少20%。例3

50、紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解： 本題中以男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)為比較量，因此（525420）÷4200.2525%或者525÷42010.2525%答：女職工人數(shù)比男職工多25%。例4紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數(shù)的百分之幾？解： （1）男職工占420÷（420525）0.44444.4%（2）女職工占525÷（420525）0.55655.6%答：男職工占全廠職工總數(shù)的44.4%，女職工占55.6%。no.19“牛吃草”問題

51、【含義】“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素?！緮?shù)量關(guān)系】草總量原有草量草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解： 草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量原有草量草每天生長(zhǎng)量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長(zhǎng)量因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即

52、（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以1×10×20原有草量20天內(nèi)生長(zhǎng)量同理1×15×10原有草量10天內(nèi)生長(zhǎng)量由此可知（2010）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為1×10×201×15×1050因此，草每天的生長(zhǎng)量為50÷（2010）5（2）求原有草量原有草量10天內(nèi)總草量10內(nèi)生長(zhǎng)量1×15×105×10100（3）求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量原有草量5天內(nèi)生長(zhǎng)量1005×5125（4）求多少頭牛5天吃完草因?yàn)?/p>

53、每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷525（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？解： 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量1×12×3原有水量3小時(shí)進(jìn)水量10小時(shí)內(nèi)的總水量1×5×10原有

54、水量10小時(shí)進(jìn)水量所以，（103）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為1×5×101×12×314因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為14÷（103）2（2）求淘水前原有水量原有水量1×12×33小時(shí)進(jìn)水量362×330（3）求17人幾小時(shí)淘完17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（172），所以17人淘完水的時(shí)間是30÷（172）2（小時(shí)）答：17人2小時(shí)可以淘完水。no.20雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠

55、問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（實(shí)際腳數(shù)2×雞兔總數(shù)）÷（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4×雞兔總數(shù)實(shí)際腳數(shù)）÷（42）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)（2×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）÷（42）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)（4×雞兔總數(shù)雞與兔腳之差）÷（42）【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)