第四章：理想流體動力學(xué)

1、第四章 理想流體動力學(xué)課堂提問：支持飛機(jī)升空，機(jī)翼的升力是怎么產(chǎn)生的？ 為什么在江河、海洋中游泳時不能在靠近船塢等岸邊建筑物附近下水？本章從力學(xué)的角度來研究理想流體的運(yùn)動， 雖然工程技術(shù)中的實(shí)際流體并不是理想流體，工程中很多情況下流體的粘性力和其它力相比作用很小，理想流體的運(yùn)動規(guī)律句有指導(dǎo)意義和實(shí)際意義。本章內(nèi)容： 1歐拉運(yùn)動微分方程式2拉格郎日積分式3. 伯努利積分式，幾何意義，物理意義4.動量定理及動量矩定理本章重點(diǎn)：1）理想流體運(yùn)動所遵循的動力學(xué)方程歐拉運(yùn)動微分方程（主要掌握微分體積法推導(dǎo)方程，了解各項(xiàng)的意義。2）拉格朗日積分以及伯努利積分的前提，各項(xiàng)的量綱，幾何意義，物理意義，位置水頭

2、、速度水頭、測管水頭，壓力水頭以及總水頭之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，要求熟練應(yīng)用伯努利方程解題，繪制測管水頭線以及總水頭線。3）皮托管測流速的原理，應(yīng)用時應(yīng)注意的問題4）伯努利方程的應(yīng)用4）動量定理應(yīng)用，動量矩方程的應(yīng)用。本章難點(diǎn)：1）伯努利方程應(yīng)用中流線上兩點(diǎn)的選取，如何減少未知數(shù)的個數(shù)。2）動量定理應(yīng)用中各項(xiàng)符號的確定。3）伯努利方程中三個水頭之間的轉(zhuǎn)換。§- 歐拉運(yùn)動微分方程式某瞬間在理想流體中取，的平行六面體，由牛頓第二定理： ii（，） （-）以方向?yàn)槔海┍砻媪Γ何⒃w左面上壓力（，），右面壓力（，）。由臺勞級數(shù)展開，并略去高階微量后：向表面力的合力（理想流體，無切應(yīng)力）： ）質(zhì)

3、量力：單位質(zhì)量的質(zhì)量力分量，軸上的投影：）微元體的質(zhì)量：）加速度，方向：代入（-）式，同理得其余兩式 （-）矢量式式（-）即為理想流體的歐拉運(yùn)動微分方程式。歐拉運(yùn)動方程共有三個方程式，再加上連續(xù)方程式，四個方程式，給定所提問題的邊界條件和初始條件，求解四個未知函數(shù)x、y、z和。§- 拉格朗日積分式歐拉方程在非定常無旋運(yùn)動條件下的積分。假設(shè)：1）理想不可壓縮流體：const；2）質(zhì)量力具有勢函數(shù)：，（其中為質(zhì)量力的勢函數(shù)）；3）運(yùn)動是無旋的，存在速度勢函數(shù)，滿足： 。由）有由）有由）有將以上關(guān)系代入歐拉方程：上式移項(xiàng)，同理可得另外兩式，則方括弧內(nèi)的函數(shù)不隨(，)變化，只可能是時間的函數(shù)

4、。 （-）引入速度勢的另一，定義： 仍不影響它與速度的關(guān)系： 所以和實(shí)質(zhì)上是一樣的。式（-）可改寫成如果質(zhì)量力只有重力，取軸鉛直向上，有U，故或上式為非定常無旋運(yùn)動的拉格朗日積分式。對于定常無旋運(yùn)動：(通用常數(shù))對于理想、不可壓、只有重力作用，定常，無旋運(yùn)動，上式可寫成： (通用常數(shù)) 因通用常數(shù)：在整個流場都不變，該方程在整個流場建立了速度和壓力之間的關(guān)系。如果用理論或?qū)嶒?yàn)的方法得到流場的速度分布，應(yīng)用拉格朗日積分式得出流場的壓力分布，再將壓力分布沿固體表面積分，就可以計算出流體與固體之間的相互作用力。課堂舉討論：1）機(jī)翼產(chǎn)生升力的原因2）兩艘并排行駛而又靠得很近的船舶為什么會產(chǎn)生互相吸引的

5、“船吸現(xiàn)象”；2）淺水航道的“吸底現(xiàn)象”。 4）為什么在江河、海洋中游泳時不能在靠近船塢等岸邊建筑物附近下水？§-伯努利積分式及其應(yīng)用理想、不可壓縮流體，質(zhì)量力有勢，定常運(yùn)動，沿流線積分。假設(shè)：）理想不可壓縮流體，質(zhì)量力有勢；）定常運(yùn)動；）沿流線積分。由），）有 歐拉方程可寫成定常運(yùn)動流線與軌跡重合，在軌跡上： xdyz式）、）、）兩邊分別乘以式）、）、）。以第一式為例：即 ()同理有 （） （）將()、（）、（）三式相加，考慮到速度的模2x2y2z2有：在流線上有括弧內(nèi)在流線上的全微分等于零，因此沿流線是一個不變的常數(shù)，即在重力場中，則或（沿流線成立，l稱為流線常數(shù)）這就是著名的伯

6、努利方程。拉氏積分和伯氏積分的不同之處：）應(yīng)用條件不同：拉格朗日積分只能用于無旋流運(yùn)動，伯努利積分無限制。）常數(shù)性質(zhì)不同：拉格朗日積分中的常數(shù)為普遍常數(shù)，伯努利積分中的常數(shù)為流線常數(shù)。換句話說，拉氏積分在整個空間成立，伯氏積分只在同一條流線上成立。伯氏方程推廣于有限大的流束應(yīng)為：推導(dǎo)如下：在“漸變流動”斷面上：=常數(shù)，為簡單計，我們約定取過水?dāng)嗝嫘涡奶幍臄?shù)值。近似地取過水?dāng)嗝娴钠骄魉俅妫创妫ǎ?，有限大流束的伯氏方程可寫?或應(yīng)用注意的條件：）流動是定常的；）只有重力的作用；）流體是不可壓縮的；4）、截面處，流動必須是“漸變流”。伯努利方程應(yīng)用舉例：例一 、小孔口出流圖-的容器裝有液體，

7、在此兩截面上，各物理量分別為：截面：1 10 1截面：2 20 2列立與截面、相應(yīng)的伯氏方程速度：因粘性影響一般用一個流速系數(shù)實(shí)際 圖-由實(shí)驗(yàn)確定，其值通常為0.96注意：由于慣性的作用，一般會產(chǎn)生“頸縮現(xiàn)象”。截面積要小于洞孔的面積，兩者的比值稱為收縮系數(shù)實(shí)際流量：實(shí)際實(shí)際e令為流量系數(shù)，上式可寫成實(shí)際系數(shù)由實(shí)驗(yàn)來測定。例如圓形孔口，其值為0.610.63。例二 文德利管，如圖-所示。取基準(zhǔn)線沿管的軸線，則12。列伯氏方程連續(xù)方程圖-聯(lián)立得解出體積流量為1111，測壓管測出；用形管（內(nèi)裝水銀）比壓計時因此 或 實(shí)際流動中有能量損失，應(yīng)乘上流量系數(shù)，其值約為0.98。例三 汽化器如圖-所示取管

8、軸為基準(zhǔn)線，把整個汽化器當(dāng)作一個流管，將截面取在汽化器尚未入口前方的大汽中，截面取在最小截面處。截面：，0，截面：，待求，列立伯氏方程 圖-故求得汽化器的真空度為例四 皮托管和聯(lián)合測管，如圖-所示。皮托管測得的壓力稱為總壓力，皮托管又稱總壓管。流線上列立伯氏方程，考慮到點(diǎn) A UAUB點(diǎn) B UB因此 圖-可得只要測出總壓B和動壓A之差，就可算出流速，在上述問題中BA（） 圖-因此 只要讀出皮托管與測壓管的液面高度差就可算出水流速度。為了方便，可將測壓管和皮托管結(jié)合在一起形成“聯(lián)合測管”，或稱普朗特管，其原理如圖-所示這時UAU UB管在處感受到動壓，而管在處感受到總壓， 在測量空汽中的流速時

9、，管和管要分別和形管測壓計的兩端連接，其原理如圖4-8所示。其中總壓力與動壓力之差：PBA11為測壓計中所用液體的重度，速度計算公式中就是欲測流速的汽體重度。 圖4-8例五 虹吸管，如圖-取為基準(zhǔn)面，列立斷面和的伯氏方程。解方程得 圖-流量列和伯氏方程，求虹吸管頂點(diǎn)處的真空度。真空度水柱高真空度§- 伯努利方程的幾何意義和能量意義一、幾何意義：長度量綱，表示流體質(zhì)點(diǎn)或空間點(diǎn)在基準(zhǔn)面以上的幾何高度，又稱位置水頭。：長度量綱，流體在壓力（這里理解為相對壓力）作用下，測壓管中液面上升的高度，稱為壓力高度、測管高度，或稱壓力水頭、測管水頭，記為。：長度的量綱，稱為“流速高度”或“速度水頭”。

10、可用皮托管和測壓管中液面高度差來表示，記為?？偹^線壓力水頭線理想不可壓縮流體定常運(yùn)動，沿著流線有幾何高度、壓力高度和流速高度之和為一常數(shù)，也就是說三個高度（水頭）加起來的總水頭的端點(diǎn)的連線總水頭線為一條水平線。 二、能量意義：單位重量流體的位能，記為。 。：單位重量流體的動能，記為 。：單位重量流體的壓力能，記為。一端封閉的玻璃管倒置在流體內(nèi)某一點(diǎn)，管內(nèi)抽為真空，液體在壓力作用下會上升的高度，其時單位重量流體卻增加了的位能?？梢婍?xiàng)轉(zhuǎn)變?yōu)槲荒?，所以稱為單位重量流體的壓力能。因此（常數(shù)）上式表示對于理想流體的定常運(yùn)動而言，單位重量流體的位能，壓力能和動能之和在流線上為一常數(shù)。因?yàn)樵诙ǔ＿\(yùn)動中，流

11、線與軌跡重合，所以伯努利方程就意味著：同一流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中，它的單位重量的位能、壓力能和動能之和保持不變。因此，伯努利方程是能量守恒定律在流體力學(xué)中的體現(xiàn)。§- 動量定理及動量矩定理一、動量定理 工程中常要計算流體和物體之間的相互作用求作用力的合力或合力矩，應(yīng)用動量定理較為合適與方便。理論力學(xué)中動量定理是按拉格朗日觀點(diǎn)，質(zhì)系動量變化率等于作用在這一質(zhì)點(diǎn)系上外力的總和，即針對控制面如圖-所示內(nèi)流體質(zhì)點(diǎn)系經(jīng)過時間后，移動到了新的位置所產(chǎn)生的總動量變化為+-+=（-）+（- ） 圖-運(yùn)動定常，速度場將不隨時間改變。流體質(zhì)點(diǎn)離開空間區(qū)域后，將被具有同樣速度的另一質(zhì)點(diǎn)所占據(jù)。因此新舊邊界面

12、之間的公共區(qū)域內(nèi)動量是不變的，即=，因此-=0，則有=可得動量變化率為式中12就是控制體邊界面。上式中計算通過1的動量時用的相對于來說是內(nèi)法線?，F(xiàn)統(tǒng)一用的外法線方向單位矢量來計算時，式（-）右邊第二項(xiàng)應(yīng)改為正號，則兩項(xiàng)積分可合并成在12上的積分根據(jù)動量定理，此項(xiàng)控制面內(nèi)流體的動量變化率應(yīng)等于作用于內(nèi)流體上外力的總和，即式中包括：）質(zhì)量力，尤其是重力；）控制面上表面力的合力。對于理想流體則就是壓力（負(fù)號是因?yàn)閴毫Φ姆较蚺c的外法線方向相反）；）物體施加于流體的作用力，這一項(xiàng)是用動量定理要求出的力。動量定理可寫成+略去重力，可改寫為為控制面的外法線方向單位矢量。進(jìn)行具體計算，可寫成投影式：特別注意：

13、1）速度的含義和符號， 與的外法線方向一致時為正，反之為負(fù)，而、與，一樣，與坐標(biāo)軸一致為正，反之為負(fù)。 2），是物體作用在控制面內(nèi)流體上的合力的個分量，要求流體作用在物體上的合力，反號即可。3）邊界面或流面（流線所組成的面）。這些面上沒有動量進(jìn)出，因而動量的通量等于零；4）速度及壓力分布已知的面。二、動量矩定理用同樣的方法，我們可以推導(dǎo)出理想流體作定常運(yùn)動時的動量矩定理即繞某一點(diǎn)或某一軸的動量矩變化率等于外力對同一點(diǎn)或軸的力矩之和。式中為取矩點(diǎn)到流體質(zhì)點(diǎn)的矢徑。與前面動量定理一樣，外力包括質(zhì)量力、表面力以及流體中物體對流體的作用力。寫成直角坐標(biāo)形式為 （-）上面的動量定理和動量矩定理雖然是針對

14、理想流體導(dǎo)出的，但它們也可用于實(shí)際流體，此時只要在表面力項(xiàng)中把作用于控制面上的切向力包括進(jìn)去即可。注意：1）兩個定理均不能用于非定常流動。因?yàn)閷τ诜嵌ǔＡ鲃?，除了進(jìn)出控制面的動量流會引起動量變化之外，速度場的非定常性也會引起動量的變化。式（-）的右邊還要增加一項(xiàng) （-），2）單知道控制面上物理量的分布而不知道內(nèi)部的物理量的分布時，這一體積分是不能計算的。也就是說，雖然對于非定常流動可以把動量定理寫成式（-），但它并無多大實(shí)用價值。動量定理的應(yīng)用例六 流體對彎管管壁的壓力如圖-，取管壁和截面1、2組成的封閉面為控制面，對此控制面內(nèi)流體應(yīng)用動量定理右邊是控制面內(nèi)流體單位時間的動量變化。因此即 圖-

15、在所研究的問題中重力比其他各項(xiàng)小許多，可略去 例七 射流對傾斜平板的沖擊力 如圖-，由伯氏方程知 12取如圖中虛線所示的封閉曲面為控制面，列立方向和方向的動量定理：由連續(xù)性方程 圖-考慮到，有012所以 式中：為流體對平板作用的切向分力。因?yàn)榧僭O(shè)為理想流體，故切向分力為零?？倹_擊力n沿平板法向。1、2分別是流束沖擊平板后分為兩股流束的厚度?？梢钥闯霎?dāng)是銳角時，12。這時因?yàn)?，在拐彎曲率小的那邊，流體能順地流過去，因此有更多的流體擁向這邊，使得曲率小的這邊流束較厚。取為參考點(diǎn)，用動量矩定理來求n作用點(diǎn)離開點(diǎn)的距離。注意寫出動量矩和力矩時，反時針為正，順時針為負(fù)。列出動量矩方程式整理可得上式中的負(fù)

16、號表示n作用點(diǎn)位于軸的負(fù)向上。例八 氣墊船基本原理氣墊船結(jié)構(gòu)如圖-所示。設(shè)艇底作用的壓力為，以單位厚度的噴柱為討論對象，討論右邊單個噴柱，取控制體如圖所示，沿水平方向列動量方程。在方向垂直方向，所以 或 圖-式中：為噴出的流體動量，由風(fēng)扇的功率所決定。氣墊船重量越大時，間隙越小。而底面積增大時，則增大。所以氣墊船的形狀比較扁平，以使較大。例九 滑行艇的基本原理滑行艇如圖-所示。 除了滑行艇的底部外，自由上處處為大氣壓力0，根據(jù)伯努利方程得120 圖-由連續(xù)方程0水平方向列動量方程：=sin所以 或 式中：為艇對流體的作用力。為負(fù)值表示它的方向與圖-所示的方向相反。根據(jù)作用與反作用的關(guān)系可知，則圖示的正好就是流體對滑行艇的作用力。例4.2 阻力測定的試驗(yàn) 見圖4-18，試求如下定義的阻力系