導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及應(yīng)用(二)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)總結(jié)4、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù) f(x)在區(qū)間x1, x2上的平均變化率為:f(X2)f(Xl)X2Xi2. 導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù) y f (x)在區(qū)間(a,b)上有定義，% (a,b),若 x無限趨近于 0時(shí)，比值x一x) f(xo)無限趨近于一個(gè)常數(shù) A,則稱函數(shù)f(x)在x %處可導(dǎo)，并稱該常數(shù) A為函數(shù)f(x)在x xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f (xo)。函數(shù)f(x)在x xo處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。3. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：(1 )求函數(shù)的增量y f(%x) f(x0) ； (2)求平均變化率：工0x)f(xo); (3)取極限，當(dāng)x無限

2、趨近與0時(shí)，f(x-x)f(xo)無限趨近與一個(gè)常數(shù)A,則xxf (xo) a .4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f(x)在x %處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y f(x)在點(diǎn)(xo, f(xo)處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：(1)求出y f (x)在x。處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線 y f(x)在點(diǎn)(%, f (%)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y yo f (xo)(x xo)o當(dāng)點(diǎn)P(xo，yo)不在y f(x)上時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)P的y f(x)的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地，如果曲線y f

3、(x)在點(diǎn)(%, f(%)處的切線平行與y軸,這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為xxo。5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動的位移S是時(shí)間t的函數(shù)S(t),則V S(t)表示瞬時(shí)速度，a v表示瞬時(shí)加速度。、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 .常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1) (kx b)k(k, b 為常數(shù));(3) (x) 1 ;(5) (x3)3x2；(x)2.x(2) C o(C為常數(shù))；(4)(x2)2x ；(6)(1)=；xx(8)(x")以" 1 ( a 為常數(shù))；(9) (ax)axlna(a 0,a 1)；(11) (ex)ex;(13) (sin x) cosx ;2. 函

4、數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：(1) f(x) g(x) f (x) g (x);(10) (loga x) 1logae -(a 0,a 1);x xin a(12) (in x) 1；x(14) (cosx) sin x °(15) Cf (x) Cf (x) (C為常數(shù))；(16) f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x) ;(4)上嗎f (x)g(x)2 f(x)g (x) (g(x) 0)。g(x)g (x)3. 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：若 y f (u), u ax b ,貝U yx yu ux , gp yx yu a o三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 求函數(shù)的單調(diào)性：

5、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù) y f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果恒f (x) 0,則函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)；(2)如果恒f (x) 0,則函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)；(3)如果恒f (x) 0,則函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)y f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)f (x);解不等式f (x) 0 ,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式f (x) 0,解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來，也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題(如確定參數(shù)的取值范圍)：設(shè)函數(shù)y f (x)

6、在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，(1)如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為增函數(shù)，則f (x) 0(其中使f (x) 0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；(2)如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為減函數(shù)，則f (x) 0(其中使f (x) 0的x值不構(gòu)成區(qū)間)；(3)如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間(a,b)上為常數(shù)函數(shù)，則f (x) 0恒成立。f(x) f(%)(或 f(x) f(x。)，2. 求函數(shù)的極值：設(shè)函數(shù)y f(x)在x0及其附近有定義，如果對x0附近的所有的點(diǎn)都有則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的極小值(或極大值)。可導(dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：(1)確定函數(shù)f(x)的定

7、義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f(x); (3)求方程f(x) 0的全部實(shí)根，x1 x2 L xn, 順次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x變化時(shí)，f (x)和f(x)值的變化情況：x(，x1)x(為()xn(xn，)f (x)正負(fù)0正負(fù)0正負(fù)f(x)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性(4)檢查f(x)的符號并由表格判斷極值。3.求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù)f(x)在定義域I內(nèi)存在x0,使得對任意的x I ,總有f(x) f(%),則稱f(x0)為函數(shù)在定義 域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值和最小值的步驟:1 )求 f (x) 在區(qū)間 (

8、a, b) 上的極值；(2)將第一步中求得的極值與f(a), f(b)比較，得到f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值。4. 解決不等式的有關(guān)問題：( 1)不等式恒成立問題(絕對不等式問題)可考慮值域。f (x)(x A) 的值域是 a, b 時(shí)，不等式f(x) 0恒成立的充要條件是f(x)max 0 ，即 b 0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要條件是f(x)min 0 ，即 a 0。f (x)(x A) 的值域是 (a,b) 時(shí)，不等式f(x) 0恒成立的充要條件是b 0 ；不等式 f(x) 0 恒成立的充要條件是a 0 。( 2 ) 證 明 不 等 式 f(x) 0 可 轉(zhuǎn)化 為 證 明 f(x)max 0 ， 或 利 用 函 數(shù) f (x)