平面向量的概念+加減法運算課件

1、 2.12.1向量的基本概念向量的基本概念一、向量的定義一、向量的定義既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量叫做的量叫做向量向量。二二 、向量的表示方法向量的表示方法有向線段有向線段 （ 起點、起點、 ）1 幾何表示法：幾何表示法： a ，b2 字母表示法：字母表示法：ABB（終點）A（起點） 方向方向、長度長度單位向量單位向量-長度（模）等于長度（模）等于1個單位長度的向量叫作單位向量。個單位長度的向量叫作單位向量。2 2兩個特殊向量：兩個特殊向量： 問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點問：在平面上把所有單位向量的起點平移到同一點P，那么它們，那么它們的終點的集合組成什么圖形？的終

2、點的集合組成什么圖形？三、三、 向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念零向量零向量-長度長度(模模)為為0的向量叫做零向量，記作的向量叫做零向量，記作 0。1.向量的向量的長度長度（模模）：向量）：向量AB的的大小大小也就是向量的也就是向量的長度（模）長度（模）。 | a |AB| 或或記作記作P1.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（ ） 判斷題判斷題2.向量的模是一個正實數(shù)。（向量的模是一個正實數(shù)。（ ） 3.若若|a|b| ，則，則a b注注:向量不能比較大小向量不能比較大小 長度相等且方向相同的兩個向量表示相等向量， 但是兩個向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小

3、之分，“對于向量，或”這種說法是錯誤的.3向量間的關(guān)系向量間的關(guān)系 平行向量又叫做共線向量平行向量又叫做共線向量各向量的終點與直線各向量的終點與直線l之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？如：如：abc（）（）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量。叫做平行向量。記作 a b c規(guī)定：規(guī)定：0與任一向量平行。與任一向量平行。問：問：把一組平行于直線把一組平行于直線l的向量的起點平移到直線的向量的起點平移到直線l上的上的 一點一點O ，這時它們是不是平行向量？，這時它們是不是平行向量？ol .COC = cAOA = a OB = b B向量相等向量相等 向量

4、向量平行平行平行向量一定是相等向量嗎平行向量一定是相等向量嗎?相等向量一定是平行向量嗎相等向量一定是平行向量嗎?（2）相等向量：相等向量：長度長度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量。的向量叫做相等向量。記作：記作：a = b規(guī)定：規(guī)定：0 = 0 ab1.若非零向量若非零向量AB/CD ，那么，那么AB/CD嗎？嗎？2.若若a/b ,則則a與與b的方向一定相同或相反嗎？的方向一定相同或相反嗎？o.b aABCDDCBA11個個例例1如圖設(shè)如圖設(shè)O是正六邊形是正六邊形ABCDEF的中心，寫出圖中的中心，寫出圖中 與向量與向量OA相等的向量。相等的向量。OA = DO = CB變式一：

5、與向量變式一：與向量OA長度相等的向量長度相等的向量 有多少個？有多少個？變式二：是否存在與向量變式二：是否存在與向量OA長度相等，方向長度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，為存在，為 FECB、DO、FE變式三：與向量變式三：與向量OA長度長度相等的相等的共線向量有哪些？共線向量有哪些？1.下面幾個命題：下面幾個命題： （3）若）若|a|=|b|，則，則a = b（2）若）若|a|=0，則，則a = 0|a|=|b|a b（4）兩個向量）兩個向量a、b相等的充要條件是相等的充要條件是（1）若）若a = b，b = c，則，則a = c。當(dāng)當(dāng)b 0時成立。時成立。變：若變：若 a b

6、， b c, 則則a c A0B. 1 C. 2 D. 3 其中真命題的個數(shù)是其中真命題的個數(shù)是( )（5）若）若A、B、C、D是不共線的四點，則是不共線的四點，則AB=DC是是 四邊形四邊形ABCD是平形四邊形的充要條件。是平形四邊形的充要條件。ABDCBACD向量向量定義定義長度（模）長度（模）表示表示幾何表示法：有向線段幾何表示法：有向線段符號表示法：符號表示法：零向量零向量單位向量單位向量向量間向量間的關(guān)系的關(guān)系相等相等平行（共線）平行（共線）a ，bAB向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念特殊向量特殊向量小結(jié)小結(jié): :知識回顧 1. 向量與數(shù)量有何區(qū)別? 2. 怎樣來表示向量怎樣來表示向量?

7、 3. 什么叫相等向量向量什么叫相等向量向量?數(shù)量只有大小沒有方向數(shù)量只有大小沒有方向,如如:長度長度,質(zhì)量質(zhì)量,面積等面積等向量既有大小又有方向向量既有大小又有方向,如位移如位移,速度速度,力等力等1)用有向線段來表示用有向線段來表示,線段的長度表示線段的大小，箭頭所線段的長度表示線段的大小，箭頭所指方向表示向量的方向指方向表示向量的方向。AB2）用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終用字母來表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示點字母表示.如aAB,長度相等長度相等,方向相同的向量相等方向相同的向量相等.(正因為如此正因為如此,我們研究的向量是我們研究的向量是與起點無關(guān)與

8、起點無關(guān)的的自由向量自由向量,即任何向即任何向量可以在不改變它的大小和方向的前提下量可以在不改變它的大小和方向的前提下,移到任何位置移到任何位置.) 上海上海香港香港臺北臺北引入引入1：上海上海香港香港臺北臺北O(jiān)ABOABOA+AB=OB向量加法的三角形法則：向量加法的三角形法則：abba abCAB ,abAABa BCbACabababABBCAC 、內(nèi)點 ，則與，記 則 這稱為 已知非零向量在平面任取一作 已知非零向量在平面任取一作向量叫做的和作即向量叫做的和作即種求向量和種求向量和向量加法的三角向量加法的三角方法，方法，形法形法的。的。首尾相接首尾相接嘗試練習(xí)一：嘗試練習(xí)一：ACABC

9、DE_ABBC _BCCD _ABBCCD BD AD（1）根據(jù)圖示填空：）根據(jù)圖示填空：_ABBCCDDE AE 例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b abab 則則 OBab OABaba 三角形法則三角形法則作法作法1：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa ABb b例題講解：例題講解：思考思考1：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量：如圖，當(dāng)在數(shù)軸上兩個向量共線共線時，加法的時，加法的三角形三角形法法 則則是否還適用？如何作出兩個向量的和？是否還適用？如何作出兩個向量的和？abab（1）（2）| |ababab 若 ， 方向相同，則ABCBC

10、Aabab00aaa規(guī) 定 ：| | | | | | | |aba babba 若， 方向相反，則（或） 當(dāng)向量當(dāng)向量 不共線時，和向量的長度不共線時，和向量的長度 與向量與向量 的長度和的長度和 之間的大小關(guān)系如何？之間的大小關(guān)系如何？a b 、|abab、|ababab三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的兩邊之和大于第三邊| |ababab 當(dāng)向量、不共線時有綜合以上探究我們可得結(jié)論：| |abab 圖圖1 1表示橡皮條在兩個力表示橡皮條在兩個力F F1 1和和F F2 2的作用下，沿的作用下，沿MCMC方向方向伸長了伸長了EOEO；圖；圖2 2表示橡皮條在一個力表示橡皮條在一個力F F的作

11、用下，沿相同的作用下，沿相同方向伸長了相同長度方向伸長了相同長度EOEO。從力學(xué)的觀點分析，力。從力學(xué)的觀點分析，力F F與與F F1 1、F F2 2之間的關(guān)系如何？之間的關(guān)系如何？MCEOF1F2圖圖1ME OF圖圖2F=FF=F1 1+F+F2 2F2F1F引入引入2：OABCabba ,Oa bOACBOOCaabbabOAOBOC 點 為點兩個為鄰邊則為點對線與 這平行四邊則稱為 以同一起的已知向量 、 作, 以同一起的已知向量 、 作,以起的角就是 的和即以起的角就是 的和即向量加法的向量加法的種求向量和的方法，種求向量和的方法，形法形法。起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：

12、向量加法的平行四邊形法則：OABCabba 起點相同起點相同向量加法的平行四邊形法則：向量加法的平行四邊形法則： 文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行文字表述為：以同一起點的兩個向量為鄰邊作平行四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是四邊形，則以公共起點為起點的對角線所對應(yīng)向量就是和向量。和向量。例例1.如圖，已知向量如圖，已知向量 ，求作向量，求作向量 。, a b ababO例題講解：例題講解：作法作法2：在平面內(nèi)任取一點：在平面內(nèi)任取一點O，作作 ， ，OAa OBb OAOB、以以 為鄰邊作為鄰邊作 OACB ，.OCOAOBab 連結(jié)連結(jié)OC，則，則abba BCA平

13、行四邊形法則平行四邊形法則嘗試練習(xí)二：嘗試練習(xí)二：(3)(3)已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法則三角形法則和和平行四邊形平行四邊形法則作出法則作出a b 、ab abbba思考思考2:數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對任意數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即對任意 ，有有,a bR,abba()().abcabc 那么對任意向量那么對任意向量 的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？的加法是否也滿足交換律和結(jié)合律？請畫圖進行探索。請畫圖進行探索。,a b OABCabba abba abccb cba ACDabba()().a b c a b c 例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常

14、常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來表示）。2 3ADBC,ADABADABABCDAC 圖， 、為鄰邊則實際.解解：（1 1）如如所所示示表表

15、示示船船速速表表示示水水速速以以作作表表示示 船船航航行行的的速速度度例例2.長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪船進行運輸，如圖所示，一艘船從長江南岸如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以點出發(fā)，以 km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h.（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度的夾 角來表示）。角來

16、表示）。2 3(2)| 2,| 2 3RtABCABBC 解： 在中，2222|2(23)4 ACABBC 2 3tan32CAB60 .CAB答：船實際航行速度為答：船實際航行速度為4km/h,方向與水的流速間的夾角為方向與水的流速間的夾角為60。ADBC（1）你還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？）你還能回想起實數(shù)的相反數(shù)是怎樣定義的嗎？（2）兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？）兩個實數(shù)的減法運算可以看成加法運算嗎？思考思考：如設(shè)如設(shè),x yR xy()xy 實數(shù)實數(shù) 的相反數(shù)記作的相反數(shù)記作 。aa如何定義向量的減法運算呢？如何定義向量的減法運算呢？ 向量的減法運算及其幾何意義向量

17、的減法運算及其幾何意義回顧：回顧：一、相反向量：一、相反向量：規(guī)定：規(guī)定：設(shè)向量設(shè)向量 ，我們把與，我們把與 長度相同，方向相反長度相同，方向相反aa的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。a（1）()a （3）設(shè)）設(shè) 互為相反向量，那么互為相反向量，那么,a b,0ab ba ab 2.2.2 向量的減法運算及其幾何意義向量的減法運算及其幾何意義記作：記作： a的相反向量仍是的相反向量仍是 。00二、向量的減法：二、向量的減法：()abab （2）()aa()aaa00BACab設(shè)設(shè),AB b ACa DEb()AEab 又又b BC a 所以所以BCa b ababab你能利用我們學(xué)

18、過的向量的加法法則作出你能利用我們學(xué)過的向量的加法法則作出 嗎？嗎？ ()ab 不借助向量的加法法則你能直接作出不借助向量的加法法則你能直接作出 嗎？嗎？ a b三、幾何意義：三、幾何意義： 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba（1）如果從）如果從 的終點指向的終點指向 終點作向量，所得向量是什么呢？終點作向量，所得向量是什么呢？ab（2）當(dāng)）當(dāng) ， 共線時，怎樣作共線時，怎樣作 呢？呢？ababABOABOaOA bOB abBA 注意：注意：（1）起點必須相同起點必須相同。（。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。ba

19、一般地一般地abBabbAO（三角形法則）（三角形法則）a練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (5)OA OB DB CA ACADBA 三、幾何意義三、幾何意義注意：注意：（1）起點必須相同。（）起點必須相同。（2）指向）指向被減向量被減向量的終點。的終點。一般地一般地abBabbAO 可以表示為從向量可以表示為從向量 的終點指向向量的終點指向向量 的終點的向量的終點的向量ba ba練習(xí)：練習(xí)：(1)ABAD (3)BCBA (2)BABC (4)OD OA (6)AO BO (5)OA OB DB CA ACADAB BA 已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ， 。ab例例3, , ,a b c d cd a