二元線性回歸模型及參數(shù)估計(jì)

1、二元線性回歸模型的估計(jì)最簡單的多元線性回歸模型是二元線性回歸模型,即具有一個(gè)被解釋變量和兩個(gè)解釋變量的線性回歸模 型:匕=00 + 0皿 + 吋22+旳,一、二元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)1.偏回歸系數(shù)的估計(jì)對(duì)于二元線 性回歸模型：近=00 +QX1Z+/?2%2+"Z , =1, 2, , n ,其中的參數(shù)00、Q 1、Q 2稱為偏回歸系數(shù)。所謂偏回歸系數(shù)，是指多元線性回歸模型中解釋變量前的系數(shù)。其含義是:當(dāng)其他解釋變量保持不變時(shí)，某一解釋變量變化一個(gè)單位而使被解釋變量Y平均改變的數(shù)值，即某一解釋變量對(duì)被解釋變量Y的影響程度。要估計(jì)二元線性回歸模型£ = 00 + 0Xi +

2、 02X2/ +旳中的 參數(shù)00、01、02,常用的方法仍然是普通最小二乘法。設(shè)根據(jù)給定一組樣本數(shù)據(jù)(Yi, Xh, X2i),掃1, 2, n , 采用普通最小二乘法估計(jì)得到的樣本回歸模型為Y產(chǎn)叭 +際儀+ % ,貝0參數(shù)估計(jì)量方°、81、方2應(yīng) 該使殘差平方和斤 °孔a °紅/X入oz 彳二工屮-佻0Xi ”2“i=l i=li=i達(dá)到最小。根據(jù)極值存在的必要條件，應(yīng)該有r 2； e ?-= 22 (匕Bo AlX"公2 X2i)= ° %Oe?八 =22(匕一Qo Q1X" Q2X2i)Xi = O I OQON efzs =2

3、2(/ Qo Q1X1Z Q2X2i)X2i = O %2從而得到正規(guī)方程組另屁-久九加2')= 0廠"=0<s(yz-3o-久X1, - 加2“口 = 0=> V"Xh = 02(/-30- 分2X2,)X2i = 0Jj"X2i = 0如果X與X2之間不存在線性關(guān)系，那么，由上述正規(guī)方程組可以解出Ao、B 2 :rI /v c /v p = Y - jB X QX | 0 1 1 2 22(s y x )(s a： ) (s y)(s兀)J i 1Z2ir 2ili 2i2 2 2(Z X XX X ) - (S X x ) 2(s y x

4、 )(藝兀)-(x y x )(藝兀 xi 2i1,i i1, 2i2 2 2 (S X )(s X ) - (s X ) 1Z2Z1Z 2i一 一 一1 其中，Xi = Xj - X , yi -YiY , X =乞 X j , Y = n1Z2ii 2i/V卩2)1 mon如果X|與X2之間存在線性關(guān)系，那么，上述計(jì)算右 “2的公式的分子、分母將變?yōu)?,從而無法求解。2.隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差o'?的無偏估計(jì) 2沁b =72 3其中，Ze1的簡捷計(jì)算公式為I22八-工© =Ey. 0 工，.兀（3 YyxII1 I h 2 i 2i3.偏回歸系數(shù)Bi、/?2的方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差1、

5、Beta系數(shù)和彈性系數(shù)在多元回歸分析中，需要說明各個(gè)解釋變量 的相對(duì)重要性，或者比較被解釋變量對(duì)各個(gè)解釋 變量的敏感性。然而，偏回歸系數(shù)與變量的原有計(jì)量單 位有直接聯(lián)系，計(jì)量單位不同，彼此不能直 接比較。為此，需要引進(jìn)Beta系數(shù)和彈性系數(shù)。1- Beta系數(shù)Beta系數(shù)是由偏回歸系數(shù)轉(zhuǎn)換來的oBeta系數(shù),則可見，Beta系數(shù)是用解釋變量標(biāo)準(zhǔn)差(SXj)和被解釋變 量標(biāo)準(zhǔn)差 怡丫)的比例對(duì)估計(jì)的偏回歸系數(shù)進(jìn)行調(diào)整后 得到的，其數(shù)值與變量的單位無關(guān)，因而可以直接比較, 用于說明多元回歸模型中解釋變量的相對(duì)重要性。對(duì)于二元線性回歸模型，可以按下列公式計(jì)算Beta系數(shù):由于所以，Beta系數(shù)的含義

6、是：若解釋變量Xj變化1個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 差（即Mj=Sxj）,則被解釋變量Y變伽;個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（即 八*AK = p jSY ）0例如 P =1.02,厲=0.24,則表示：解釋變量X變化1個(gè) 標(biāo)準(zhǔn)差，將引起被解釋變量Y變化1.02個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差；解釋變 量X2變化1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，將引起被解釋變量Y變化0.24個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)差。因此，可以說，Y對(duì)于X變化的敏感程度遠(yuǎn)大于Y對(duì)于X2變化的敏感程度。2彈性系數(shù)彈性系數(shù)是某一變量的相對(duì)變化引起另一變量的相對(duì) 變化的度量，即變量的變化率之比。用心表示彈性系數(shù)，貝UdY !dx jdYX j入 X j耳 j Y X j dX j Y 一 P)Y平均彈性是指在樣本均值附近的彈性，即彈

7、性系數(shù)與原解釋變量的計(jì)量單位沒有任何關(guān)系，因此 很適宜用來說明被解釋變量對(duì)解釋變量變化的敏感程度O 例如=1.78 , “2二°45，則表示：在樣本均值附近，X每增加1%,將使被解釋變量Y增加1.78%；而X2每增加1%, 將使被解釋變量Y增加0.45%,所以，被解釋變量Y對(duì)于解 釋變量X變化的敏感程度遠(yuǎn)大于對(duì)解釋變量X2變化的敏感 程度。3.偏相關(guān)系數(shù)在二元線性回歸分析中，也可以用偏相關(guān)系數(shù)來分析 被解釋變量Y對(duì)于哪一個(gè)解釋變量（X和X?）的變化 更敏感。偏相關(guān)系數(shù)：是指在控制或消除其他變量影響的情況 下，衡量多個(gè)變量中的某兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度 的指標(biāo)。當(dāng)X2保持不變時(shí)，Y與X之間的偏相關(guān)系數(shù)為r- r- rXY 2 X"“ 2）（1宀）如果力x > rYX ，則表示被解釋變量Y與解釋變量XI1 2