二次函數(shù)圖像與性質(zhì)總結(jié)(含答案)

1、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：y =ax2的性質(zhì):a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(0，0)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；xc0時(shí)，y隨 x的增大而減小；X =0時(shí)，y有最小值0 .a <0向下（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁c0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0 .a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小。22. y =ax c的性質(zhì):上加下減。a的符號(hào):開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；xc0時(shí)，y隨 x的增大而減??；x=0時(shí)，y有

2、最小值c .a <0向下(0, c)y軸x>0時(shí)，y隨x的增大而減??；xc0時(shí)，y隨 x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c .23. y二a x -h 的性質(zhì):左加右減。a的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a a0向上(h , 0)X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而增大；xvh時(shí)，y 隨x的增大而減?。粁 = h時(shí)，y有最小值0 .a v0向下(h，0)X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減小；x<h時(shí)，y 隨x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值0 .24. y=ax-hj4k 的性質(zhì):a的符號(hào)；開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)a >0向上(h, k )X=hx>

3、h時(shí)，y隨x的增大而增大；x<h時(shí)，y 隨x的增大而減??；x = h時(shí)，y有最小值k .a c0向下(h, k )X=hx>h時(shí)，y隨x的增大而減?。粁ch時(shí)，y 隨x的增大而增大；x = h時(shí)，y有最大值k .、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式 y =a(xh 2 +k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)(h , k )； 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h , k處，具體平移方法如下：y=ax2A y=ax 2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|個(gè)單位向上(k>0)向上(k>0)【或下(k<0)平移|k

4、個(gè)單位向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|個(gè)單位向右(h>0)【或左(*0)】平移|k|個(gè)單位【或下(k<0)】平移|k|個(gè)單位H y=a(x-h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|個(gè)單位y=a(x_h)22. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”.概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”方法二：y = ax2 bx c沿y軸平移：向上(下)平移 m個(gè)單位，y = ax2 bx c變成2 2y = ax bx c m (或 y = ax bx c - m )y二ax2 bx c沿軸平移：向左(右)平移m個(gè)單位，

5、y二ax2 bx c變成y 二 a(x m)2 b(x m) c (或 y =a(x -m)2 b(x - m) c)、二次函數(shù) y=a(xhj+k 與 y=ax2+bx+c 的比較從解析式上看，y =a x-h 亠k與y =ax2，bx - c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即“ax 42I 2a 丿 4ab2a，,4acb2k 4a四、二次函數(shù)y=ax2 Fx，c圖象的畫法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù) y=ax2，bx化為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2,確定 其開口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱軸兩側(cè)，左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與 y軸的交點(diǎn)0 , c

6、、以及0 , c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn) 2h , c、 與x軸的交點(diǎn)xi, 0 , X2, 0 (若與x軸沒有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向，對(duì)稱軸，頂點(diǎn)，與x軸的交點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn).五、二次函數(shù)y = ax2 bx c的性質(zhì)1當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為b 4ac -b22a ' 4a當(dāng)x 時(shí)，y隨x的增大而減??；當(dāng)x b時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 2a2a2a2時(shí)，y有最小值4ac 一.4af2 2. 當(dāng)acO時(shí)，拋物線開口向下，對(duì)稱軸為x=-，頂點(diǎn)坐標(biāo)為,4心當(dāng)2a2a 4a yx 時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時(shí)，y隨x

7、的增大而減小；當(dāng)x 時(shí)，y2a2a2a2有最大值4ac-b .4a六、二次函數(shù)解析式的表示方法21. 一般式：y 二ax bx c （ a , b , c為常數(shù)，a=0 ）；2. 頂點(diǎn)式：y 二a（x-h）2（ a , h , k 為常數(shù)，a =0 ）；3. 兩根式：y二a（xxj（xX2）（ a=0,為,x?是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式，只有拋物線與 x軸有交點(diǎn)，即b2_4ac_0時(shí)，拋物線的解析式才可以用交 點(diǎn)式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化七、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1. 二次項(xiàng)

8、系數(shù)a二次函數(shù)y =ax2 bx c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然 a = 0 當(dāng)a 0時(shí)，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之 a的值越小，開口越大； 當(dāng)a ：0時(shí)，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之 a的值越大，開口越大.總結(jié)起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.2. 一次項(xiàng)系數(shù)b在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸.在a 0的前提下，當(dāng)b 0時(shí)，- <0，即拋物線的對(duì)稱軸在 y軸左側(cè)；2a當(dāng)b =0時(shí)，- =0，即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b <0時(shí)，- b 0，即拋物線對(duì)稱軸在 y軸的右側(cè).2a在a

9、 .,0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b 0時(shí)，b 0，即拋物線的對(duì)稱軸在2ay軸右側(cè);當(dāng)b =0時(shí)，=0，即拋物線的對(duì)稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b ：0時(shí)，一加0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).總結(jié)起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱軸 x二在y軸左邊則ab 0 ,在y軸的右側(cè)則ab ： 0 ,概括的說就是“左同右異”總結(jié)：y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0 ； y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).3. 常數(shù)項(xiàng)c 當(dāng)c 0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與 當(dāng)c =0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與 當(dāng)c：0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下

10、方，即拋物線與 總結(jié)起來，c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.總之，只要a , b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式， 通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的 解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑拍苁菇忸}簡(jiǎn)便.一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲担话氵x用頂點(diǎn)式；3. 已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式八、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)

11、1. 關(guān)于x軸對(duì)稱y = a X - b x關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是 y = -ax2 -bx -c ；y =a x - h 2 k關(guān)于x軸對(duì)稱后，得到的解析式是ya x-h2-k ；2. 關(guān)于y軸對(duì)稱y = a x - bx關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y =ax2 - bx c ；y二a x -h彳k關(guān)于y軸對(duì)稱后，得到的解析式是y二a x h ? k ；3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱y - -ax2 bx -c ；y = aX - bx關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是y=a x h -關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱（即：拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）y二aX bx關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

12、后，得到的解析式是y 一ax? _bx c 一丄；2a2y =a X h 亠k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后，得到的解析式是2y = _a x _h k .5.關(guān)于點(diǎn)m , n對(duì)稱2 2y =a X -h !亠k關(guān)于點(diǎn) m , n對(duì)稱后，得到的解析式是 y二-a x h -2m2n k根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對(duì)稱變換， 拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達(dá)式已知的拋物線）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向，然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.選擇合適再確二次函數(shù)圖像參考:y=2

13、 x2y=2 x2 -4十y=3(x-2) 2y=3(x+4) 2y=-2(x-3)y=-2xy=-2x【例題精講】-、一元二次函數(shù)的圖象的畫法1 2【例1】求作函數(shù)y x2 4x 6的圖象 21 2 1 2【解】y = x 4x 6 = (x 8x 12)2 2J(x24)2 -4 J(x24)2 -22 2以x - -4為中間值，取x的一些值，列表如下:x-7-6-5-4-3-2-1y52032-232052【例2】求作函數(shù)y二X2 4x 3的圖象。【解】y = X2 _4x 3 = -(x2 4x -3)=(x 2)2 一7 = (x 2)27先畫出圖角在對(duì)稱軸x - -2的右邊部分，列

14、表x-2-1012y76543【點(diǎn)評(píng)】畫二次函數(shù)圖象步驟：(1) 配方；(2)列表；(3)描點(diǎn)成圖；也可利用圖象的對(duì)稱性，先畫出函數(shù)的左(右)邊部分圖象，再利用對(duì)稱性描出右(左)部分就可。二、一元二次函數(shù)性質(zhì)【例3】求函數(shù)y =x2 6x 9的最小值及圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)，并求它的單調(diào)區(qū)間?！窘狻?y = x2 6x 2 = x2 6x 9 - 7 = (x 3)2 - 7由配方結(jié)果可知：頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-3, -7)，對(duì)稱軸為x = -3 ;1 0當(dāng) X3 時(shí)，ymin 一7函數(shù)在區(qū)間(-：，-3上是減函數(shù)，在區(qū)間-3, ：)上是增函數(shù)?！纠?】求函數(shù)y = -5x2 3x 1圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)、

15、對(duì)稱軸、最值。b _ _3= 32a 2 (-5)104ac -b24a24 ( -5) 1 - 34 (-5)29203 2929函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 （一，），對(duì)稱軸為x -10 20 203當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)取得最大值 y10-5 : 0maz_ 29"203函數(shù)在區(qū)間（_：,上是增函數(shù)，在區(qū)間-3, ：）上是減函數(shù)?！军c(diǎn)評(píng)】要研究二次函數(shù)頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、單調(diào)區(qū)間等性質(zhì)時(shí)，方法有兩個(gè)：配方法；如例3（2）公式法：適用于不容易配方題目（二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)）如例4,可避免出錯(cuò)。任何一個(gè)函數(shù)都可配方成如下形式：y二a（x -匕）2 - 4a_b 0）2a4a【二次函數(shù)題型總結(jié)】1

16、. 關(guān)于二次函數(shù)的概念2例1如果函數(shù)y =（m-3）xm J3m'2 - mx 1是二次函數(shù)，那么m的值為例2 拋物線y =x2 2x4的開口方向是 ;對(duì)稱軸是 ;頂點(diǎn)為。2. 關(guān)于二次函數(shù)的性質(zhì)及圖象例3函數(shù)y = ax bx c（a嚴(yán)0）的圖象如圖所示,則 a、b、c，厶，a b c， ab c 的符號(hào)例4已知a b + c=0 9a+ 3b+ c=0,則二次函數(shù) y=ax2 + bx + c的圖像的頂點(diǎn)可能在（ ）（A）第一或第二象限（B）第三或第四象限（C）第一或第四象限（D）第二或第三象限3. 確定二次函數(shù)的解析式(A)y = -x2 2x 3(B)y :=x2 -2x -3

17、(C)y - -x2 _ 2x 3(D)y :2-x -2-3例5已知：函數(shù)y二ax2 bx c的圖象如圖：那么函數(shù)解析式為（x4. 一次函數(shù)圖像與二次函數(shù)圖像綜合考查例6已知一次函數(shù)y=ax+c二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a豐0）,它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的大致圖象是 （）例7如圖： ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，AB在X軸上，點(diǎn)C在第一象限，AC與Y軸交于點(diǎn)D,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1 ,0）（ 1）求B、CD三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）拋物線y二ax2 bx c 經(jīng)過B、C D三點(diǎn)，求它的解析式；【練習(xí)題】-6一、選擇題21. 二次函數(shù)y=x -4x-7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A.(2, 11) B.(- 2, 7

18、)C. (2, 11) D.(2, - 3)2. 把拋物線y=-2x2向上平移1個(gè)單位，得到的拋物線是()A. y = -2(x 1)2 B. y = -2(x -1)2 C. y = -2x2 1 D. y = -2x2-12k3.函數(shù)y =kx -k和y （k =0）在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的（）4. 已知二次函數(shù)y二ax2 bx c（a = 0）的圖象如圖所示,則下列結(jié)論：a,b同號(hào)； 當(dāng)x =1和X =3時(shí)，函數(shù)值相等；4a b = 0當(dāng)y二-2時(shí)，x的值只能取0.其中正 確的個(gè)數(shù)是（）A.1個(gè)5. 已知二次函數(shù)由圖象可知關(guān)于B.2 個(gè) C. 3 個(gè) D. 42y二ax bx

19、c（a =0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-1 , -3.2 ）及部分圖象（如圖）, x的元二次方程 ax2 bx 0的兩個(gè)根分別是 x 1.3和x2 口（ ）A. 1 .6.已知二次函數(shù)第一象限第三象限A.C.B.-2.3C.-0.3D.-3.32=ax bxc的圖象如圖所示，B.第二象限D(zhuǎn)第四象限則點(diǎn) （ac,bc）在（ ）c22x -x =xA.0 個(gè)B.18.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),A. y = x2C. y = x27.方程的正根的個(gè)數(shù)為C.2與y軸交于點(diǎn)x -2B._x -2或 y = -x2D.個(gè).3C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為y = -x2 x 22 、 2y =

20、 -x _x-2或 y = x x 2二、填空題9. 二次函數(shù)y10. 已知拋物線=x2 bx 3的對(duì)稱軸是x = 2，y=-2（ x+3）2+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是11. 一個(gè)函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點(diǎn)（一 1, 2），當(dāng)xv 0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x的 增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個(gè)即可）。12拋物線y =2（x-2）2 -6的頂點(diǎn)為C,已知直線y kx 3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐 標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。2 213.二次函數(shù)y=2x -4x -1的圖象是由y =2x bx c的圖象向左平移1個(gè)單位,再向 下平移 2 個(gè)單位得到的 ,貝

21、H b= ,c=。14如圖，一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是 跨度是40米，在線段AB上離中心 M處5米的地方，橋的高度是 L n取3.14）.三、解答題:15.已知二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是5x 3 = 0,圖象經(jīng)過（1,-6）,且與y軸的交點(diǎn)為（0,）.2（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；當(dāng)x為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值為0?當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大？第15題圖.如152二-2x 4, 2x 4等(答案不唯一)三、解答題15 . (1)設(shè)拋物線的解析式為2y二ax bx c,由題意可得一32aa b c = _65c = 一L 2 (2) X = -1 或-5解得15125-1 一?所以廠寧存? X ： -316. 某種爆竹點(diǎn)燃后，其上升高度h(米)和時(shí)間t (秒)符合關(guān)系式h=v0t_gt2 (0<t < 2),2其中重力加速度g以10米/秒2計(jì)算.這種爆竹點(diǎn)燃后以vo=2O米/秒的初速度上升，(1) 這種爆竹在地面上點(diǎn)燃后，經(jīng)過多少時(shí)間離地15米？(2) 在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至1.8秒這段時(shí)間內(nèi)，判斷