極限與連續(xù)整章(1)課件

1、第一章極限與連續(xù) 數(shù)列的極限 函數(shù)的極限 無窮大量與無窮小量 極限的運(yùn)算法則 二個重要極限 無窮小的比較 函數(shù)的連續(xù)性 極限概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用1.數(shù)列的定義 一個定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)(稱為整標(biāo)函數(shù)),當(dāng)自變量按正整數(shù)依次增大的順序取值時，函數(shù)值按對應(yīng)的順序排成一串?dāng)?shù)：稱為一個無窮數(shù)列，簡稱數(shù)列數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)， 稱為數(shù)列的一般項(xiàng)。1.2.1數(shù)列的極限),(,),3(),2(),1(nffffnynf也也可可表表示示為為),(nny21 nyn11 nyn2 2) 1(1nny ,161,81,41,21. 1,45,34,23, 2. 2, 8 , 6 , 4 , 2. 31

2、,10, 0. 4 下面我們來看幾個無窮數(shù)列的例子下面我們來看幾個無窮數(shù)列的例子, ,先找先找出它們的通項(xiàng)出它們的通項(xiàng)xxfy21)( xxfy11)( xxfy2)( 2) 1(1xy 截丈問題：截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭”;211 X第一天截下的杖長為第一天截下的杖長為;212122 X為為第二天截下的杖長總和第二天截下的杖長總和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖長長總總和和為為第第nnX211 1我們再來分析一下這幾個數(shù)列的變化趨勢數(shù)數(shù)不不趨趨向向于于一一個個確確定定的的常常時時nyn,)4( 數(shù)數(shù)不不趨趨向向于于一一個個確確定定的的

3、常常時時,)3( nyn0,)1( nyn時時1,)2( nyn時時nny21 nyn11 nyn2 2) 1(1nny . 1)1(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當(dāng)當(dāng)nxnnn 問題問題: “無限接近無限接近”意味著什么意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它刻劃它. 1nxnnn11)1(1 ,1001給定給定,10011 n由由,100時時只要只要 n,100111 nxn有有,10001給定給定,1000時時只要只要 n,10000111 nxn有有,100001給定給定,10000時時只只要要 n,1000111 nxn有有, 0 給給定定,)1(時時只要只要

4、Nn.1成成立立有有 nxnxn11 如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的就說數(shù)列是發(fā)散的.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例例. 1)1(lim1 nnnn證證明明證證1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任給任給,1 nx要要,1 n只只要要,1 n或或所以所以, 11 N取取,時時則則當(dāng)當(dāng)Nn 1)1(1nnn就就有有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：說明：說明： 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，以項(xiàng)數(shù)為自變量的整標(biāo)函數(shù) 如果一個數(shù)列有極限，我們就稱此數(shù)列是收斂的，否則就稱它是發(fā)散的l常數(shù)數(shù)列的極限為此常數(shù) 一自變量趨向無窮大時函數(shù)的極

5、限一自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限 二自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 三極限的性質(zhì)三極限的性質(zhì)第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限一、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限xxf11)( 1 例例)()(,)(limxAxfAxfx或x11+10 xy一般的對于函數(shù) 和常數(shù)A，若 時， 無限趨近于A，則稱A為 時函數(shù) 的極限，記為 xx)(xf)(xf)(xf當(dāng) 的絕對值無限增大時(記為 ) 的值無限趨近于1，x)(xfx注意：是刻劃（x）與A的接近程度的，是任意給定的，M是隨 而定的。:.10情形情形x兩種特殊情形兩種特殊情形:Axfx)(lim

6、Axfx )(lim:.20情形情形x Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且 當(dāng) 沿 軸的正向趨向無窮時，函數(shù) 無限趨近于常數(shù)A，則稱常數(shù)A為 +時，函數(shù) 的極限。記為 xx)(xfx)(xf 當(dāng) 沿 軸的負(fù)向趨向無窮時，函數(shù) 無限趨近于常數(shù)A，則稱常數(shù)A為 -時函數(shù) 的極限。記為 xx)(xf)(xfx二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限 例例1 函數(shù)函數(shù) ,由觀察可知，當(dāng)由觀察可知，當(dāng) 趨趨 近于近于1（記為（記為 1）時，函數(shù)）時，函數(shù) 的值無限趨近的值無限趨近 4， 我們稱我們稱4為為 1時，時， 的極限。記為的極限。記為

7、4) 1(2lim)(lim11xxfxx) 1( 2)( xxfxx)(xf)(xfx8) 35(8)(xxf無限接近于無限接近于0 例例2 的值無限接近的值無限接近8。)(,1, 35)(xfxxxf時時當(dāng)當(dāng) 換言之，換言之， 當(dāng)當(dāng) 1時，時，x（此時可以說（此時可以說 8就是就是 1, 函數(shù)函數(shù) 的極限）的極限）x)(xf那么那么8就是當(dāng)就是當(dāng) 1時，函數(shù)時，函數(shù) 的極限的極限)(xfx（此時可以說（此時可以說 13就是就是 2時，函數(shù)時，函數(shù) 的極限）的極限）x)(xf 例例3 =5 +3,5 +3,當(dāng)當(dāng) 2 2時，時， 的值無限接近的值無限接近13。x)(xfx)(xf13) 35(

8、13)(xxf換言之，當(dāng)換言之，當(dāng) 2時，時，x就說當(dāng)就說當(dāng) 2時，函數(shù)時，函數(shù) 的極限是的極限是13 x)(xf無限接近于無限接近于0（無限?。o限小）2.幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時域時鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf.,越越小小越越好好后后找找到到一一個個顯顯然然 定理定理4(4(唯一性定理唯一性定理) ) 如果函數(shù)在某一變化過程中如果函數(shù)在某一變化過

9、程中 有極限，則其極限是唯一的有極限，則其極限是唯一的 函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限的性質(zhì)定理定理5(5(有界性定理有界性定理) ) 若函數(shù)若函數(shù)f (x)當(dāng)當(dāng)x x0 0時極限存在，時極限存在，則必存在則必存在x0 0的某一鄰域，使得函數(shù)的某一鄰域，使得函數(shù)f (x)在該鄰域內(nèi)有界在該鄰域內(nèi)有界定理定理6(6(兩邊夾定理兩邊夾定理) ) 如果對于如果對于x0 0的某鄰域內(nèi)的一切的某鄰域內(nèi)的一切 x( ( 可以除外可以除外) )，有，有 ，且，且00lim()lim()xxxxh xg xA 0lim( )xxf xA 則則0 x()()()h xf xg x3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,0, 1

10、0,1)(2xxxxxf設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx 當(dāng) 從0的左側(cè)趨向于0時，有1)1(lim0 xx當(dāng) 從0的右側(cè)趨向于0時，有1)1(lim20 xxyox11-xx2+1xxA.f(x)f(x)Af(x):xxxxxx 000limlimlim1定定理理.lim0不不存存在在驗(yàn)驗(yàn)證證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例8證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x思考題思考題0,50,100, 1)(2xxxxxxf 在在0 x處的左、 右極限是否

11、存在？當(dāng)處的左、 右極限是否存在？當(dāng)0 x時，時，)(xf的極限是否存在？的極限是否存在？ 思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 1) 1(lim0 xx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.例如例如, 01lim xx.1時時的的無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù) xx, 0)1(lim nnn.)1(時的無窮小時的無窮小是當(dāng)是當(dāng)數(shù)列數(shù)列 nnn注意注意1.無窮小是變量無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)零是可

12、以作為無窮小的唯一的數(shù).一、無窮小一、無窮小1.定義定義:極限為零的變量稱為極限為零的變量稱為無窮小量無窮小量.無窮小與無窮大無窮小與無窮大2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:3.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)無窮小的運(yùn)算性質(zhì): 定理定理2 在同一過程中在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小和仍是無窮小.定理定理3 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小. 推論推論 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.定理定理4: 有限個無窮小的乘積也是無窮小有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮大二、無窮大絕對值無限增大的變量稱為絕對值無限增大

13、的變量稱為無窮大無窮大.11lim1 xx例例特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大特殊情形：正無窮大，負(fù)無窮大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.無窮大是變量無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;3. 無窮大是一種特殊的無界變量無窮大是一種特殊的無界變量,但是無但是無界變量未必是無窮大界變量未必是無窮大.)(lim. 20認(rèn)為極限存在認(rèn)為極限存在切勿將切勿將 xfxx三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系0）1(xlim而1x1lim例1x1x 定理定理4 4 在同一過程中在同一過程中, ,無窮大的倒數(shù)為無窮小無窮大的倒數(shù)為無窮小; ;恒不

14、為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大. . 2x2xxlim,0 x1lim而而四、小結(jié)四、小結(jié)1、主要內(nèi)容、主要內(nèi)容:2、幾點(diǎn)注意、幾點(diǎn)注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1） 無窮?。o窮?。?大）是變量大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2 2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小. .（3） 無界變量未必是無窮大無界變量未必是無窮大.一、極限運(yùn)算法則一、極限運(yùn)算法則定理定理. 0,)()(lim)3(;)()

15、(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)第四節(jié)極限的運(yùn)算法則第四節(jié)極限的運(yùn)算法則推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2二、求極限方法舉例二、求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limli

16、m3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 解解)32(lim21 xxx, 0 商的法則不能用商的法則不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的極限都是零分母的極限都是零分子分子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1

17、)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子,分母分母,以分出無窮小以分出無窮小,然后再求極限然后再求

18、極限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是無無窮窮小小之之和和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時時當(dāng)當(dāng)xx .sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x. 0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩個單側(cè)極限為兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1

19、)1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故三、小結(jié)三、小結(jié)1.極限的四則運(yùn)算法則及其推論極限的四則運(yùn)算法則及其推論;2.極限求法極限求法;a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.思考題思考題 在某個過程中，若在某個過程中，若 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 是否有極限？為是否有極限？為什

20、么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考題解答思考題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運(yùn)算法則可知：由極限運(yùn)算法則可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤第五節(jié)第五節(jié) 兩個重要極限兩個重要極限 一一 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則二 兩個重要極限三 小結(jié)四 思考題一、極限存在準(zhǔn)則一、極限存在準(zhǔn)則1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限準(zhǔn)準(zhǔn)則則 如如果果當(dāng)當(dāng))(00 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,

21、有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在, , 且且等等于于A. .注意注意: :.,的極限是容易求的的極限是容易求的與與并且并且與與鍵是構(gòu)造出鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)nnnnzyzy2.單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)增加單調(diào)增加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列準(zhǔn)準(zhǔn)則則 單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限.例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limx

22、xx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 二、兩個重要極限二、兩個重要極限(1)1sinlim0 xxx例例 xxxtanlim0例例 求求)0(k1 sinlim0 一一般般地地xkxxsinlim0(2)exxx )11(limennn )11(lim)71828. 2( eexxx)11 (limexxx 10)1(lime 10)1(lim例例4 4.)21(limxxx 求求解解令令20)1(lim)21(lim0,2,2 xxxxxx所所以以時時當(dāng)當(dāng)那那么么2210210)1(lim)1(lime 三、小結(jié)三、小結(jié)1.兩個

23、準(zhǔn)則兩個準(zhǔn)則2.兩個重要極限兩個重要極限夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則 .; 1sinlim10 某某過過程程.)1(lim210e 某某過過程程,為某過程中的無窮小為某過程中的無窮小設(shè)設(shè) 一、無窮小的比較一、無窮小的比較例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當(dāng)當(dāng)xxxxxx 極限不同極限不同, 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在觀察各

24、極限觀察各極限無窮小的比較無窮小的比較);(, 0lim)1( o記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比就就說說如如果果定義定義: :. 0, 且且窮小窮小是同一過程中的兩個無是同一過程中的兩個無設(shè)設(shè);),0(lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與就就說說如如果果 CC;, 1lim 記作記作是等價的無窮小是等價的無窮小與與則稱則稱如果如果特殊地特殊地例例1 1解解.tan4 ,0:43為為同同階階無無窮窮小小與與時時當(dāng)當(dāng)證證明明xxxx430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,043為為同同階階無無窮窮小小與與時時故故當(dāng)當(dāng)xxxx例例2 2是是否

25、否同同階階無無窮窮小小關(guān)關(guān)于于時時當(dāng)當(dāng)3sintan,0 xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1tan(lim20 xxxxx ,21 .sintan,03是是同同階階無無窮窮小小與與時時當(dāng)當(dāng)xxxx 常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當(dāng)當(dāng) x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 二、等價無窮小替換二、等價無窮小替換定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) ).limlim,lim, 則則存存在在且且設(shè)設(shè)證證 lim)lim( limlimlim.lim 例例3 3.cos12tanli

26、m20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 時時當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 不能濫用等價無窮小代換不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換. .注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當(dāng)當(dāng) 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0時時當(dāng)當(dāng) x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯錯 三、小結(jié)三、小結(jié)1.無窮小的比較無窮小的比較:反映了同一過程中反映了

27、同一過程中, 兩無窮小趨于零的速度兩無窮小趨于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較但并不是所有的無窮小都可進(jìn)行比較.2.等價無窮小的替換等價無窮小的替換: 求極限的又一種方法求極限的又一種方法, 注意適用條件注意適用條件.高高(低低)階無窮小階無窮小; 等價無窮小等價無窮小; 無窮小的階無窮小的階.思考題思考題任何兩個無窮小量都可以比較嗎？任何兩個無窮小量都可以比較嗎？思考題解答思考題解答不能不能例當(dāng)例當(dāng) 時時 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是無窮小量都是無窮小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大故當(dāng)故當(dāng) 時時 x)(x

28、f和和)(xg不不能能比比較較. 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 一一 連續(xù)函數(shù)的概念連續(xù)函數(shù)的概念二二 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)三三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則四四 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量.,),(,)()(0000的增量的增量稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 2.連續(xù)的定義連續(xù)的定義定義定義 1 1

29、設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)有定義內(nèi)有定義, ,如如果當(dāng)自變量的增量果當(dāng)自變量的增量x 趨向于零時趨向于零時, ,對應(yīng)的函對應(yīng)的函數(shù)的增量數(shù)的增量y 也趨向于零也趨向于零, ,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x連續(xù)連續(xù), ,0 x稱為稱為)(xf的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn). .,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定義義 2 2 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)有有定定義義, ,如如果果函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時時的的極極限限存存

30、在在, ,且且等等于于它它在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù). .例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定義由定義2知知.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處處既既左左連連續(xù)

31、續(xù)又又右右連連續(xù)續(xù)在在是是函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處處右右連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱且且內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在若若函函數(shù)數(shù)xxfxfxfbxxf 例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)

32、間上叫做在該區(qū)間上的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn):)(0條條件件處處連連續(xù)續(xù)必必須須滿滿足足的的三三個個在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf;)()1(0處有定義處有定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).

33、()(),()(,00或間斷點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)為為并稱點(diǎn)并稱點(diǎn)或間斷或間斷處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)則稱則稱要有一個不滿足要有一個不滿足如果上述三個條件中只如果上述三個條件中只xfxxxf例例4 4.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x0lim)(lim00 xxfxx1)1 (lim)(lim00 xxfxx例例5 5.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxf解解, 1)1( f2)(lim1 xfx),1(f .

34、1為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x22lim)(lim11 xxfxx2)1 (lim)(lim11 xxfxx例例6 6.0, 0, 0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解oxy.0為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x0lim)(lim00 xxfxx xxfxx1lim)(lim00例例7 7.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x注意注意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個別的幾個點(diǎn).三、小結(jié)三、小結(jié)1.函數(shù)在

35、一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);四、四則運(yùn)算的連續(xù)性四、四則運(yùn)算的連續(xù)性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)故故xxxx極限符號可以與函數(shù)符號互換極限符號可以與函數(shù)符號互換;例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10

36、 xxx eln 解解)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx 有有處處連連續(xù)續(xù)的的定定義義及及由由函函數(shù)數(shù)在在一一點(diǎn)點(diǎn),lim000 xxxxx 六、初等函數(shù)的連續(xù)性六、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對對數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在定理定理5 5 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .定理定理6 6 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .例如例如,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在