7獨(dú)立檢驗(yàn)的思想及應(yīng)用

1、廠(chǎng)n?中國(guó)高考數(shù)學(xué)母題(第262號(hào))獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想及應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)是課標(biāo)屮的新增內(nèi)容,離考大綱對(duì)“獨(dú)立性檢驗(yàn)”的要求較低，只要求:填寫(xiě)2x2列聯(lián)表;計(jì)算/的觀(guān) 測(cè)值;會(huì)查臨界值表,并作出獨(dú)立性推斷.y *合計(jì)jgg金計(jì)3bi)500. 025 oki q. (mhh母題結(jié)構(gòu):(1)(列聯(lián)表)：設(shè)兩個(gè)分類(lèi)變量x和y,它們的可能取值分別為氐,x和 yby2,其樣本頻數(shù)列聯(lián)表為：(ii) (k2公式)：ld="一"，其中 n=a+b+c+d;(a + h)(c + d)(a + c)(b + d)(iii) (關(guān)系表)：如果k>6. 635,就冇99%的把握認(rèn)為“x與y

2、冇關(guān)系”； 曲小卜側(cè) 如果k>3 841,就有95%的把握認(rèn)為“x與y有關(guān)系”；如果k>2. 706, 二 '?恥 就有90%的把握認(rèn)為“x與y有關(guān)系”;如果kw2 706,就認(rèn)為沒(méi)有充分的證據(jù)顯示“x與y有關(guān)系”.母題解析:略.仁基本程序子題類(lèi)型i ：(2009年遼寧高考試題)某企業(yè)有兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的數(shù)值落在29. 94, 30. 06)的零件為優(yōu)質(zhì)品從兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)的零件中各抽hl / 500件,量其內(nèi)徑尺寸，得結(jié)果如下表：“m,29 b.zpjd >【29.90.29 94)29.91.30.02) 3jo 01. ju. 0(

3、) .1jl.bji. iq) i30.10.30.14).ml,12.iil.132i9h【29. 86. 29. 9u |29.90.29.94) .i29.91 29. 9刃.i29. 93 jo. 02) .i(30.12.31.16)、jo jjkjo.h) 131.10.39.14),",tlt1596人is.(i )試分別佔(zhàn)計(jì)兩個(gè)分廠(chǎng)生產(chǎn)零件的優(yōu)質(zhì)率;e l乙廠(chǎng)ittma >心1艮合ft 0、*r,or i今計(jì)3ko(all),321(1112)，h0(az1)isvazz)jzi gu*z).501 gil) i501u2) innn(a)(11)111以上統(tǒng)計(jì)

4、數(shù)擁填下面2x2列聯(lián)表，并問(wèn)是否有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠(chǎng)的零件的質(zhì)量有差異”p(x = k) 0.050.01卩k3.8416.635*解析:(!)由表知，從甲廠(chǎng)抽出的500件產(chǎn)品中，有86+182+92=360件 優(yōu)質(zhì)品，故屮廠(chǎng)的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為竺二72%,從乙廠(chǎng)抽出的500件產(chǎn)品中, &杪9+76p20件優(yōu)質(zhì)品,故乙廠(chǎng)的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為翳64%;(h)由汪轡濃巖磐5 3盹635.所以有99%的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠(chǎng)的零件的質(zhì)量有差異”.點(diǎn)評(píng):解答“獨(dú)立性檢驗(yàn)”問(wèn)題的一般程序：依搖2x2列聯(lián)表，計(jì)算弋的觀(guān)測(cè)值、并通過(guò)觀(guān)測(cè)值k與臨界值k。比較, 作出獨(dú)立性推斷.同類(lèi)試題:1. (2010年

5、全國(guó)課標(biāo)試題)為了調(diào)査菜地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了 500位務(wù)如43如2仙老年人，得結(jié)果如下：(i) 估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；(ii) 能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？(iii) 根據(jù)(ii)的結(jié)論，能否捉供更好的調(diào)查方法來(lái)估計(jì)該地區(qū)老年人屮，需要志愿 者提供幫助的老年人的比例？說(shuō)明理由.附:k2=川曲加f(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)p(kk)0. 050.0100. 001"k3. 8416. 63510. 82(2.頻率分布子題類(lèi)型ii : (20

6、14年安黴高考試題)某高校共有學(xué)生15000人,英中男生10500人，女生4500人為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，釆用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)抓(單位：小時(shí)).(i )應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(ii) 根據(jù)這300個(gè)樣木數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖 所示)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為0, 2, (2, 4, (4, 6, (6, 8, (8,10, (10, 12,估計(jì) 該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率；(iii) 在樣本數(shù)抹中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，請(qǐng)完成每周平均 體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與

7、性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)” 附：自n(ad - 處)2(d + b)(c + d)a + c)(b + d)解析:(i )由 300 x450015000p(kk。)0.10&0. 020. 010p0. 005ak；2. 7063. 841p6. 6357. 873二90 z=>應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù);(ii) 由頻率分布直方圖得:該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的頻率-1-2(0. 025+0. 100)-0. 75,估計(jì)該校學(xué)生毎2 士一ic ”每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)問(wèn)與性別聯(lián)表，更生女生"總計(jì)&qu

8、ot;每周平均體肓運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小時(shí)，4丹30q7毎周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)，165門(mén)60“225“總計(jì)210心90.、300“周平均體育坯動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí)的概率=0. 75;(iii) 由仃i)知,300位學(xué)生中有300 x 0. 75=225人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過(guò)4小時(shí),75人的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不超過(guò)4小吋，乂iii樣本數(shù)據(jù)中有210份是關(guān)于男生 的,90份是關(guān)于女生的=> 每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表如下： 辰號(hào)獸需唱訥762和心有徹的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)吋間與性別有關(guān)”.點(diǎn)評(píng):頻率分布直方圖與“獨(dú)立性檢驗(yàn)”的結(jié)合已成為文科高考的常態(tài)，由頻率分布

9、直方圖填寫(xiě)2x2列聯(lián)表、依據(jù)2 x2列聯(lián)表計(jì)算弋、并作出獨(dú)立性推斷，是解決該類(lèi)問(wèn)題的懇本程序.同類(lèi)試題:2. (2012年遼寧高考試題)電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀(guān)眾對(duì)某類(lèi)體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了 100名觀(guān)眾進(jìn)行調(diào)脊，其中女性?xún)?5名.下面是根據(jù)調(diào)脊結(jié)果繪制的觀(guān)眾h均 收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖：將日均收看該體育節(jié)冃時(shí)間不低于40分鐘的觀(guān)眾稱(chēng)為“體育迷”， 已知'體育迷”中有10名女性.(i )根據(jù)已知條件完成卜面的2x2列聯(lián)表并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？(1【)將日均收看該體育項(xiàng)目不低于50分鐘的觀(guān)眾稱(chēng)為“超級(jí)體育 迷”，已知“超級(jí)體育迷”中有2名女

10、性，若從“超級(jí)體育迷”中任 意選取2人，求至少有1名女性觀(guān)眾的概率.附:n(ad - 處)2(d + b)(c + d)a + c)(b + d)0.050.01k i 184166353.圖表信息2非體育迷-體育迷2合計(jì)a男卩女&553合計(jì)皰疹面積60. 65)(65. 70)(70. 75)75. 80頻數(shù)30402010表1注射藥物礪皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表子題類(lèi)型川：(2010年遼寧高考試題)為了比較注射入b兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的而積，選200只家兔做試驗(yàn)，將 這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其屮一組注射藥物a, 另一組注射藥物b.(i) 甲、乙是200只家兔中

11、的2只，求甲、乙分在不同組的概率;(ii)下表i和表ii分別是注射藥物a和b后的試驗(yàn)結(jié)果(皰疹面 積單位血).(i)完成下面頻率分布直方圖,并比較注射兩種藥物后皰疹而積的 中位數(shù)大小；(i i)完成下而2x2列.聯(lián)表，并冋答能否有99. 9%的把握認(rèn)為“注 射約物a后的皰疹面積與注射藥物b后的皰疹面積有差異” wa枳小千70 mm1“疹面枳不小于70 mm1合計(jì)注射藥a c =合計(jì)n (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)附：宀解析:甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為p嚨嘀;(ii)(i)頻率分布直方圖如圖：山頻率分布直方圖可以看出注射藥物a后的皰 疹面積的中位數(shù)在65至70

12、z間，而注射藥物b 后的皰疹而積的中位數(shù)在70至75之間a注射 藥物a后皰疹血積的中位數(shù)小于注射藥物b后 皰疹面積的中位數(shù).(11)2x2列聯(lián)表如表3:辰20(x70x65 - 35x30)2100x100x105x95庖疹而積60, 65)65. 70)70. 75)卩5, 80)80, 85頻數(shù)1025203015表2注射藥物b后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表060 « 70 75 » » llff«圖i注射藥物a后皮膚皰疹 面積的頻率分布廈方圖p(kf) | 0.100 0.050k 2.706 184?圖ii注射藥物b后皮膚皰疹 而積的頻率分布直方圖

13、0.025 0.010 0,00£ 5.024 6.635 10.828- - - - r<r，:壬l±o (67$ 10 k5 1>審駅注射藥物a后皮膚皰疹面積的額率分布直方圖24 561相痔血幟小于70mn?枳不小于70mm1含計(jì)aa -7030100| 注d-651001葉195殲.200注射藥物b后皮膚皰疹而積的頻率分布直方圖山k2>10. 828 =有99. 9%的把握認(rèn)為“注射藥物a后的皰疹而積于注射藥物b后的皰疹而積有差異”點(diǎn)評(píng):圖表信息與“獨(dú)立性檢驗(yàn)”的結(jié)合勢(shì)必成為高考的常態(tài)，由圖表信息填寫(xiě)2x2列聯(lián)表、依據(jù)2x2列聯(lián)表計(jì)算 k彳、并作出獨(dú)

14、立性推斷，是解決該類(lèi)問(wèn)題的基本程序.同類(lèi)試題:3. (2013年福建高考試題)某工廠(chǎng)有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名為研究丁人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡冇關(guān)現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從小抽取了 100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的i i平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下” 分為兩組，在將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組： 50, 60), 60, 70), 70, 80), 80, 90), 90, 100),分別加以 統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖：(i )從樣木中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一

15、名“25周歲以下組”工人的頻率;(1【)規(guī)定h平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請(qǐng)你根據(jù)己知條件完成2x2的列聯(lián)表并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”？4 子題系列：附"nl»nlfntlnupg)0.1000.0500.0100.001k17063.8416.63510. 8284(2010年廣東高考試題)某電視臺(tái)在一次對(duì)收看文藝節(jié)目少新聞節(jié)目觀(guān)眾的抽查調(diào)查屮，隨機(jī)抽取了 100名電視觀(guān)眾，相關(guān)的數(shù)據(jù)如下表所示：(i) 由表中數(shù)據(jù)直觀(guān)分析，收看新聞節(jié)目的觀(guān)眾是否與年齡有關(guān)？(ii) 用分層抽樣方法在收看新聞節(jié)h的觀(guān)眾中隨機(jī)抽取5名，大于4

16、0歲的觀(guān)眾應(yīng)該抽取兒名？p文藝節(jié)目卩新聞節(jié)目門(mén)總計(jì)a20至40歲42125%大于40歲"234厶總計(jì)6840100(iii)在上述抽取的5名觀(guān)眾屮任取2名，求恰冇1名觀(guān)眾的年齡為20至彳0歲的概率.桶歡彩fhtieo20sow生101020合it7030100（ii）已知在被調(diào)査的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中2 名喜歡甜品，現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，求至多冇1人 克歡甜品的概率.p(x5)0 100 0.050 0.0102 706 3.841 6.6355. （2014年遼寧高考試題）某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查調(diào)杳結(jié)果如下表所

17、示：（i ）根據(jù)表中數(shù)據(jù).問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北 方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方而有差異”；6. （2017年全國(guó)ii高考試題）海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、i口網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了 100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)戢各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位:kg）,m 頻率分布直方圖如圖：（i ）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立, 記a表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于 50kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg” .估 計(jì)a的概率：（ii）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷頻車(chē)/組距舊養(yǎng)殖法0.06s頻率/組距新養(yǎng)殖法35 40 45 50 55 60 65 70 霜產(chǎn)童 g是否冇99%的把握認(rèn)為箱

18、產(chǎn)量l養(yǎng)殖方法冇關(guān):（111）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0. 01）n(ad 一 be?(a + b)(c + d)a + c)(h + d)祐嚴(yán) l«t<50kglit 50kgtn nwiikp淋0.0500.0100.001k3.8416.63510.8285 子題詳解:1.解：（i）由喘4%n需耍志愿者提供幫助的老年人的比例由炸駕鴿冊(cè)黑9967>6. 633 n冇99%的把握認(rèn)為該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助少性別冇關(guān);（iii）根抓（ii）的結(jié)論，該地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)抓看該地區(qū)男

19、性老年人與女性老非體育迷a體育迷3合計(jì)a3m15p45心女2z10#155q合計(jì)卩759253女比例，再把老年人按性別分為兩層并采用年人需要幫助的比例有較大差異，因此在調(diào)查時(shí)先確定該地區(qū)老年人屮的男、 分層抽樣方法，比采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好.2.解：（i ）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人,=>2x2 列聯(lián)表如下:由 xj 10030x10-45x15）2 二型3. 03<3. 841 => 沒(méi)冇45x55x75x2533理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)；（ii）由頻率分布直方圖知/超級(jí)體育迷”為5人,設(shè)3名男性分別為a, b, c, 2名女性分別為

20、x, y,則任意選取2人有：a,b,a, c, a, x）, a, y, b, c, b, x）, b, y, c, x, c, y, x, y,共 10 種，其中，至少有 1 名女性觀(guān)眾的有:a, x, a, y,b, x, （b, y）, c, x, c, y）, x, y,計(jì) 7 種=> 概率 p=0. 7.3解：（i ）由樣木中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名n樣本中h平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中,25周歲以上組工人有60x0. 05=3（人），記為a, b, c, 25周歲以下組工人有40x0. 05二2（人），記為x, y,則隨機(jī)抽取2名有:a, b,

21、a, c, a, x）, a, y, b, c, b, x, b, y）, c, x, c, y, x, y,共 10 種，其中，至少抽到一名 “25 周歲以 f組”工 人的計(jì)7種=> 概率p-0.7;q生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計(jì)卩25周歲以上姐1545p2s周歲以下組j152534"307w100（ii）在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60x0. 25=15（人）25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40x 0. 375=15（人）,據(jù)此可得2x2列聯(lián)表如下:k2= 1（）“15門(mén)5-1“1.）-二竺 .7%2. 706=沒(méi)有90% 的把握認(rèn)為 60x 40x 30x

22、 7014“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”4解：(i )收看新聞節(jié)目的觀(guān)眾與年齡冇關(guān)；(ii)大于40歲的觀(guān)眾應(yīng) 該抽取藝x5=3名;4560. 65)65, 70)70, 75)7s 80)80> 851025203015表2汪射騎柿b后慶朕鎖陌積的頻數(shù)分布表(iii) 在上述抽取的5名觀(guān)眾中,20到40歲的觀(guān)眾2名記為ab a2；大于40歲的觀(guān)眾3名記為bb滋b?任取2名的所有情況 是:h a2;abbl;abb2;abb3；a2, b.;a2, b2;a2, bs；bb b2;bbb3;b2, bs,有 10 種；恰有 1 名觀(guān)眾的年齡為 20 至 40 歲的情況是:a.b);ab b2;a b.;a2, b1；a2, ik有6種.所以恰有1名觀(guān)眾的年齡為20至40歲的概率p= =0. 6.5.解：由炸駕冊(cè)泮唱皿762>3. 841.有滅的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方而有差異”;(ii)設(shè)2名喜歡甜品的分別為x, y,其他3名分別為a, b, c,則隨機(jī)抽取3人有：x, y, a), x, y, b), x, y, c), x, a, b), x, a, c), x, b, c), y, a, b, y, a, c), y, b, c), a, b, c),共 10 種,其中,至多有 1 人喜歡甜品的計(jì) 7 種=> 概率