第3章陣數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算

1、第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算7、符號(hào)方程求解、符號(hào)方程求解a.線性方程組的符號(hào)解法線性方程組的符號(hào)解法 函數(shù)命令函數(shù)命令 linsolve 用來(lái)求解線性方程組符號(hào)解。用來(lái)求解線性方程組符號(hào)解。對(duì)方程對(duì)方程 a*x=b，linsolve 的調(diào)用格式為：的調(diào)用格式為： x = linsolve(a,b) 等同于等同于 x = sym(a)sym(b) a=sym(10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10)a = 10, -1, 0 -1, 10, -2 0, -2, 10 b=(9;7;6)b =9;7;6102021010110a679b linsolve(a,b

2、)ans = 473/475 91/95 376/475 vpa(ans,6)ans = .995789 .957895 .791579矩陣矩陣 a 必須至少是行滿秩的必須至少是行滿秩的。當(dāng)當(dāng) a 的列數(shù)大于的列數(shù)大于行數(shù)時(shí)，將給出解不惟一的警告提示。行數(shù)時(shí)，將給出解不惟一的警告提示。 b. 非線性方程的符號(hào)解法非線性方程的符號(hào)解法用用函數(shù)零點(diǎn)法函數(shù)零點(diǎn)法求求非線性方程非線性方程的解有兩個(gè)函數(shù)命令，即的解有兩個(gè)函數(shù)命令，即 fzero 和和 fsolve。 fzero命令用于求一元函數(shù)零點(diǎn)命令用于求一元函數(shù)零點(diǎn) fsolve命令用于求命令用于求解非線性方程組解非線性方程組首先需將方程首先需將方

3、程 f(x)=g(x)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為 f(x)=f(x)-g(x)=0，方程組也方程組也是如此是如此 ；然后再將函數(shù)；然后再將函數(shù) f(x)寫成寫成 matlab 的的 m 函數(shù)，以函數(shù)，以便在便在 fzero 和和 fsolve 命令中調(diào)用。命令中調(diào)用。求解的過(guò)程為：求解的過(guò)程為：先猜測(cè)一個(gè)先猜測(cè)一個(gè)初始零點(diǎn)，初始零點(diǎn)，或者該零點(diǎn)大概所在的區(qū)間；或者該零點(diǎn)大概所在的區(qū)間；然后通過(guò)計(jì)算，然后通過(guò)計(jì)算，使猜測(cè)值不斷精確化，使猜測(cè)值不斷精確化，或使猜測(cè)區(qū)間不斷或使猜測(cè)區(qū)間不斷收縮收縮 ，直到達(dá)到預(yù)先指定的精度為止。，直到達(dá)到預(yù)先指定的精度為止。第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算第第

4、3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算求一元函數(shù)零點(diǎn)命令求一元函數(shù)零點(diǎn)命令fzero 的調(diào)用格式為：的調(diào)用格式為： x = fzero(fun,x0)：求一元函數(shù)零點(diǎn)命令的最簡(jiǎn)形式；：求一元函數(shù)零點(diǎn)命令的最簡(jiǎn)形式； x,fval,exitflag =fzero(fun,x0,options,p1,p2,.)：求一元函：求一元函數(shù)零點(diǎn)命令的完整格式。數(shù)零點(diǎn)命令的完整格式。x0 是初始猜測(cè)的零點(diǎn)；是初始猜測(cè)的零點(diǎn)； options 是優(yōu)化迭代所采用的參數(shù)選項(xiàng)，是優(yōu)化迭代所采用的參數(shù)選項(xiàng)，options的缺省設(shè)置可以用命令的缺省設(shè)置可以用命令 options=optimset(fzero)

5、獲得；獲得；p1，p2是向函數(shù)是向函數(shù) fun 傳遞的附加參數(shù)。它的具體取名和函數(shù)傳遞的附加參數(shù)。它的具體取名和函數(shù) fun 中一中一致；致；x是輸出參數(shù)，為所求的零點(diǎn)自變量值；是輸出參數(shù)，為所求的零點(diǎn)自變量值；fval是輸出參數(shù)，為函數(shù)是輸出參數(shù)，為函數(shù) fun 在在 x 處的值；處的值；exitflag是描述函數(shù)是描述函數(shù) fun 的退出情況。若的退出情況。若 exitflag0，則表示找到函數(shù)，則表示找到函數(shù)零點(diǎn)后退出；若零點(diǎn)后退出；若 exitflag0，則表示沒(méi)有找到零點(diǎn)或在搜索過(guò)程中遇到，則表示沒(méi)有找到零點(diǎn)或在搜索過(guò)程中遇到了無(wú)窮大的函數(shù)值。了無(wú)窮大的函數(shù)值。第第3章章 矩陣、數(shù)組

6、和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算用用 fzero 命令求解函數(shù)命令求解函數(shù) 的零點(diǎn)的零點(diǎn) （ 1）建立函數(shù)）建立函數(shù) f(x)的的 m 文件。文件。 function y=fun1(x) y=x.4-4*x-5; （ 2）建立水平橫軸的）建立水平橫軸的 m 文件。文件。 function y=fun2(x) y=0; （ 3）用作圖法估計(jì)函數(shù)零點(diǎn)位置。）用作圖法估計(jì)函數(shù)零點(diǎn)位置。 fplot(fun1,-5,5,r) hold on fplot(fun2,-5,5,r)（ 4）用）用 zoom 和和 ginput 命令獲得零點(diǎn)的初始近似值命令獲得零點(diǎn)的初始近似值 在程序中輸入下列命令，在程序中輸

7、入下列命令，可得到函數(shù)的局部放大圖及鼠標(biāo)可得到函數(shù)的局部放大圖及鼠標(biāo)操作線操作線。 zoom on %局部放大命令 tt=ginput(1) yy=ginput(1) %用鼠標(biāo)獲取 2 個(gè)零點(diǎn)猜測(cè)值 zoom off %恢復(fù)原來(lái)圖形大小 54)(4xxxf顯示所得零點(diǎn)初始猜測(cè)值，結(jié)果為：顯示所得零點(diǎn)初始猜測(cè)值，結(jié)果為： tt = -0.9838 0.0001 yy = 1.8762 0.0091（5）用函數(shù)）用函數(shù) fzero 命令求函數(shù)的精確零點(diǎn)命令求函數(shù)的精確零點(diǎn) x,fval,exitflag=fzero(fun1,tt(1),) %靠近 tt(1)點(diǎn)處的精確零點(diǎn) x,fval,exit

8、flag=fzero(fun1,yy(1),) %靠近 yy(1)點(diǎn)處的精確零點(diǎn) 結(jié)果為：結(jié)果為： zero found near tt.x = -1 fval = 0 exitflag = 1 第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算zero found near yy.x = 1.8812 fval = -6.2172e-015 exitflag = 1解非線性方程組的解非線性方程組的函數(shù)命令函數(shù)命令fsolve 其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為： x=fsolve(fun,x0) ：解非線性方程組最簡(jiǎn)單的調(diào)用格式。：解非線性方程組最簡(jiǎn)單的調(diào)用格式。該式中除兩個(gè)輸入?yún)?shù)外，其余輸入輸

9、出參數(shù)都可以缺?。辉撌街谐齼蓚€(gè)輸入?yún)?shù)外，其余輸入輸出參數(shù)都可以缺省；x,fval,exitflag,output,jacob=fsolve(fun,x0,options,p1,p2.)：解非解非線性方程組最完整的調(diào)用格式。線性方程組最完整的調(diào)用格式。x0 是表示零點(diǎn)數(shù)是猜測(cè)值的向量；是表示零點(diǎn)數(shù)是猜測(cè)值的向量；options 是是 優(yōu)優(yōu) 化化 迭迭 代代 所所 采采 用用 參參 數(shù)數(shù) 的的 結(jié)結(jié) 構(gòu)構(gòu) 數(shù)數(shù) 組組 。p1 和和 p2是向函數(shù)是向函數(shù) fun 傳遞的參數(shù)；傳遞的參數(shù)；x 和和 fval是輸出參數(shù)，所求零點(diǎn)的自變量值和函數(shù)值；是輸出參數(shù)，所求零點(diǎn)的自變量值和函數(shù)值；output是

10、輸出此命令所用的計(jì)算方法、迭代次數(shù)等信息。是輸出此命令所用的計(jì)算方法、迭代次數(shù)等信息。jacob是函數(shù)在是函數(shù)在 x 處的處的 jacobian。第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算求方程組求方程組 的根。的根。首先編制函數(shù)文件首先編制函數(shù)文件fc.mfunction y=fc(x)y(1)=x(1)-0.7*sin(x(1)-0.2*sin(x(2);y(2)=x(2)-0.7*cos(x(1)+0.2*sin(x(2);y=y(1),y(2);然后用然后用fsolve求解求解x,fval,exitflag,output,j

11、acob=fsolve(fc, 1.,1.,) %1.,1.為初值為初值x = 0.3367 0.5553fval = 1.0e-008 * 0.2029 0.5242exitflag = 102sin2 . 01cos7 . 0202cos2 . 01sin7 . 01xxxxxxoutput = firstorderopt: 5.7877e-009 iterations: 5 funccount: 16 cgiterations: 4 algorithm: 1x43 charjacob = (1,1) 0.3393 (2,1) 0.2313 (1,2) -0.1700 (2,2) 1.17

12、00求方程組求方程組 的解。的解。初始零點(diǎn)猜測(cè)值為：初始零點(diǎn)猜測(cè)值為：x0,y0=0.0, -0.0058 用用fsolve 函數(shù)命令求精確解函數(shù)命令求精確解 fun=sin(x(1)+x(2),x(1)+6*x(2); %用字符串表達(dá)式形式命令用字符串表達(dá)式形式命令。 注意自變量必須寫成注意自變量必須寫成x(1)和和 x(2) fun 函數(shù)也可用函數(shù)也可用 m 函數(shù)文件的形式函數(shù)文件的形式 function yy=fun(x) yy(1)=sin(x(1)+x(2); yy(2)=x(1)+6*x(2); xx,yy=fsolve(fun,x0(1),y0(1) %解此非線性方程組解此非線性

13、方程組 xx = 1.0e-016 * -0.5464 0.1214 yy = 1.0e-016 * -0.4250 0.1821060sinyxyx第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算c.一般代數(shù)方程一般代數(shù)方程(組組)的符號(hào)解的符號(hào)解slove 命令可以解一般代數(shù)方程，包括命令可以解一般代數(shù)方程，包括線性方程、非線性方程和超越方線性方程、非線性方程和超越方程程。當(dāng)方程不存在符號(hào)解，且又無(wú)其他自由參數(shù)時(shí)，函數(shù)。當(dāng)方程不存在符號(hào)解，且又無(wú)其他自由參數(shù)時(shí)，函數(shù) solve 將給出將給出數(shù)值解。數(shù)值解。命令調(diào)用格式為：命令調(diào)用格式

14、為：solve(eqn1,eqn2,.,eqnn)：對(duì)：對(duì) n 個(gè)方程的默認(rèn)變量求解；個(gè)方程的默認(rèn)變量求解； solve(eqn1,eqn2,.,eqnn,var1,var2,.,varn)：對(duì)：對(duì) n 個(gè)方程的個(gè)方程的 var1,var2,.,varn 變量求解。要注意變量的英文字母順序，且在變量求解。要注意變量的英文字母順序，且在變量前變量前不可有空格不可有空格； s=solve(eqn1,eqn2,.,eqnn,var1,var2,.,varn)：對(duì)：對(duì) n 個(gè)方程個(gè)方程的的var2,.,varn 變量求解；變量求解；s 是一個(gè)結(jié)構(gòu)數(shù)組是一個(gè)結(jié)構(gòu)數(shù)組;x1,x2,xn=solve(eqn

15、1,eqn2,.,eqnn,var1,var2,.,varn)：對(duì)：對(duì)變量變量 var1,var2,., varn 求解，求解的結(jié)果分別賦給求解，求解的結(jié)果分別賦給 x1,x2,xn(按照變按照變量量var1,var2,.varn 在英文字母中的順序給在英文字母中的順序給 x1,x2,xn賦值賦值)。第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算求非線性方程組求非線性方程組 的解的解 。解：解：x,y,z=solve(x2+sqrt(2)*x+2=0,x+3*z=4,y*z=-1,x,y,z) x = (-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2) (-1/2-1/2*i*3(1/2

16、)*2(1/2) y= -51/73+3/73*i*3(1/2)-27/146*(-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2)-3/146*2(1/2) -51/73-3/73*i*3(1/2)-27/146*(-1/2-1/2*i*3(1/2)*2(1/2)-3/146*2(1/2) z = -1/3*(-1/2+1/2*i*3(1/2)*2(1/2)+4/3 -1/3*(-1/2-1/2*i*3(1/2)*2(1/2)+4/31430222yzzxxxd. 常微分方程的符號(hào)解常微分方程的符號(hào)解函數(shù)函數(shù) dsolve 用來(lái)求常微分方程的符號(hào)解。用來(lái)求常微分方程的符號(hào)解。在符號(hào)方程中，用符

17、號(hào)表達(dá)式中包含的字母在符號(hào)方程中，用符號(hào)表達(dá)式中包含的字母“ d”來(lái)代替微分運(yùn)算，來(lái)代替微分運(yùn)算，符符號(hào)號(hào) d2、d3、dn 分別對(duì)應(yīng)于第二、第三、分別對(duì)應(yīng)于第二、第三、第第 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)。因變量是。因變量是位于位于 d后面的變量，后面的變量，缺省的自變量為缺省的自變量為 t。dsolve 的調(diào)用格式為：的調(diào)用格式為： s=dsolve(eqn1,eqn2, .) 輸入?yún)?shù)包含三部分內(nèi)容：輸入?yún)?shù)包含三部分內(nèi)容：微分方程、初始條件和指定獨(dú)立變量微分方程、初始條件和指定獨(dú)立變量。輸出輸出s 是結(jié)構(gòu)數(shù)組。是結(jié)構(gòu)數(shù)組。初始條件或邊界條件寫成初始條件或邊界條件寫成y(a)=b或或dy(a)=b等。

18、等。a、b 可以是變可以是變量使用符以外的其他字符。量使用符以外的其他字符。當(dāng)初始條件少于微分方程數(shù)時(shí)，在所得解中將出現(xiàn)任意常數(shù)符當(dāng)初始條件少于微分方程數(shù)時(shí)，在所得解中將出現(xiàn)任意常數(shù)符 c1，c2，.，解中任意常數(shù)符的數(shù)目等于所缺少的初始條件數(shù)。，解中任意常數(shù)符的數(shù)目等于所缺少的初始條件數(shù)。當(dāng)無(wú)輸出參數(shù)時(shí)，當(dāng)無(wú)輸出參數(shù)時(shí)，matlab 工作內(nèi)存中在工作內(nèi)存中在 y1，y2，定義的輸出參定義的輸出參數(shù)中保存計(jì)算結(jié)果。數(shù)中保存計(jì)算結(jié)果。第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算 dsolve(dx=-a*x)ans =c1*exp(-a*t) dsolve(dx=-a*x,x(0)=2)

19、ans =2*exp(-a*t) dsolve(df - f -sin(t)=0, f(pi/2) = 0)ans =-1/2*cos(t)-1/2*sin(t)+1/2*exp(t)/(cosh(1/2*pi)+sinh(1/2*pi) y = dsolve(dy)2 + y2 = 1,y(0) = 0)y = sin(t) -sin(t) 第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算求求 ， ， f(0)=1, g(0)=2 的解。的解。 s = dsolve(df = f + g,dg = -f + g,f(0) = 1,g(0) = 2) s = f: 1x1 sym g: 1

20、x1 sym s.f ans = exp(t)*(cos(t)+2*sin(t) s.g ans = exp(t)*(-sin(t)+2*cos(t)函數(shù)函數(shù) dsolve 命令求解微分方程時(shí)，如果得不到其解，則命令求解微分方程時(shí)，如果得不到其解，則給出給出警告信息警告信息。 gftfddgftgdd第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算8、符號(hào)函數(shù)的二維圖、符號(hào)函數(shù)的二維圖二維符號(hào)函數(shù)的專用命令二維符號(hào)函數(shù)的專用命令ezplot格式為：格式為： ezplot(sym-fun，limits) 參數(shù)含義如下：參數(shù)含義如下： sym-fun：符號(hào)函數(shù)或代表它的符號(hào)變量；：符號(hào)函數(shù)或代

21、表它的符號(hào)變量； limits：為自變量：為自變量 x 的取值范圍，即的取值范圍，即 limits=x1,x2，其默認(rèn)，其默認(rèn)值為值為-2pi,2pi。用用ezplot 繪函數(shù)圖繪函數(shù)圖syms x f=(x2)(cos(x)2); ezplot(f)第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算9、圖示化函數(shù)計(jì)算器、圖示化函數(shù)計(jì)算器a. 單變量函數(shù)分析界面單變量函數(shù)分析界面 用于考察用于考察兩個(gè)一元函數(shù)各自性質(zhì)及其相互關(guān)系兩個(gè)一元函數(shù)各自性質(zhì)及其相互關(guān)系。該函數(shù)計(jì)算。該函數(shù)計(jì)算器由器由funtool.m 文件生成。文件生成。在在 ma

22、tlab 命令窗口中鍵入下面命令即可：命令窗口中鍵入下面命令即可：funtool第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算單函數(shù)運(yùn)算、函數(shù)和常數(shù)單函數(shù)運(yùn)算、函數(shù)和常數(shù)a的運(yùn)算、兩個(gè)函數(shù)之間的運(yùn)算的運(yùn)算、兩個(gè)函數(shù)之間的運(yùn)算和輔助操作和輔助操作輔助操作輔助操作b.b.泰勒級(jí)數(shù)逼近分析界面泰勒級(jí)數(shù)逼近分析界面 觀察函數(shù)觀察函數(shù) f(x)在給定區(qū)間位置上的在給定區(qū)間位置上的 n 階泰勒多項(xiàng)式階泰勒多項(xiàng)式 逼近的逼近的情況。情況。在在matlab 工作窗口中輸入命令：工作窗口中輸入命令： taylortool或或taylortool(fx)fx為字符串為字符串第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算第第3章章 矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算矩陣、數(shù)組和符號(hào)運(yùn)算10、符號(hào)計(jì)算的、符號(hào)計(jì)算的maple 接口接口maple 具有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能和豐富的應(yīng)用數(shù)學(xué)函數(shù)。具有強(qiáng)大的符號(hào)計(jì)算功能和豐富的應(yīng)用數(shù)學(xué)函數(shù)。為了能夠?yàn)榱四軌蛟谠?matlab 的工作環(huán)境中利用的工作環(huán)境中利用 maple 的符號(hào)計(jì)算的符號(hào)計(jì)算能力，能力，matlab 提供有專門的指令用于提供有專門的指令用于